Задача 4. Статистическая обработка результатов измерений
Произвести статистическую обработку ряда наблюдений измеряемой величины с учетом объема этого ряда. Выявить и исключить промахи в результатах наблюдений. Определить значение результата измерения, предполагая отсутствие систематической погрешности. Определить случайную среднеквадратическую погрешность результата измерения. Построить гистограмму результатов наблюдений.
Набор ряда наблюдений: 287, 308, 290, 306, 296, 301, 291, 295, 290, 292, 290, 310, 304, 312, 324, 323, 318, 293, 293, 275, 275, 280, 269, 319, 297, 354.
Доверительная вероятность = 0.9342
Решение:
1. Объем ряда наблюдений составляет n = 26.
2. Исключаем из заданного ряда наблюдений грубые ошибки– промахи. Для этого найдём:
а) среднеарифметическое значение (мат. ожидание) результатов наблюдения
где n – общее число наблюдений;
б) абсолютные погрешности каждого наблюдения
; -12,69; 8,31; -9,69; 6,31; -3,69; 1,31; -8,69; -4,69; -9,69; 10,31; 4,31; 12,31; 24,31; 23,31; 18,31; -6,69; -6,69; -24,69; -24,69; -19,69; -30,69; 19,31; -2,69; 54,31. в) среднеквадратическое значение (СКО) одного ряда измерения | (2) |
3. После определения СКО следует определить критерий промаха. Для
=0,9342 критерий промаха будет равен:
Выполняя сравнение, определяем, что указанному условию не удовлетворяет значение = 54,31, которому в исходной последовательности соответствует число 354 – исключаем его из ряда измерений.
4. Записываем ряд наблюдений, оставшийся после исключения грубых ошибок:
287, 308, 290, 306, 296, 301, 291, 295, 290, 292, 290, 310, 304, 312, 324, 323, 318, 293, 293, 275, 275, 280, 269, 319, 297.
|
|
Теперь объем ряда составляет n = 25.
5. На основании оставшегося ряда измерений повторно определяем
6. Используя выражение (2), определяем абсолютные погрешности :
-10,52; 10,48; -7,52; 8,48; -1,52; 3,48; -6,52; -2,52; -6,52; 12,48; 6,48; 14,48; 26,48; 25,48; 20,48; -4,52; -4,52; -22,52; -22,52; -17,52; -28,52; 21,48; -0,52.
7. Используя выражение (3), определяем СКО для нового ряда
8. Для полученного значения СКО новый критерий промаха составит =27,26. Этому критерию не удовлетворяют значения = -28,52. Этому значению соответствует результат 269 – исключаем его из ряда измерений.
9. Вновь запишем получившийся ряд:
287, 308, 290, 306, 296, 301, 291, 295, 290, 292, 290, 310, 304, 312, 324, 323, 318, 293, 293, 275, 275, 280, 319, 297.
n = 24.
10. Пункты 5–9 выполняются до тех пор, пока не будут исключены все грубые ошибки, при этом каждый раз определяем
Продолжая поиск промахов получаем:
: -11,71; 9,29; -8,71; 7,29; -2,71; 2,29; -7,71; -3,71; -8,71; -6,71; -8,71; 11,29; 5,29; 13,29; 25,29; 24,29; 19,29; -5,71; -5,71; -23,71; -23,71; -18,71; 20,29; -1,71.
= 25,8 – промахов не обнаружено.
11. Из оставшихся результатов наблюдения выстраиваем вариационный ряд, т.е. располагаем результаты в прядке возрастания их значений и выбираем минимальное и максимальное значения – крайние члены вариационного ряда.
275; 275; 280.; 287; 290; 290; 290; 291; 292.; 293; 293; 295; 296; 297.; 301; 304.; 306; 308; 310.; 312.; 318; 319; 323; 324;
|
|
=275; =324.
12. Разбиваем вариационный ряд на r – число равных интервалов – бинов. Число интервалов r определяется числом измерений n и может быть выбрано на основании табл. №1.2., рекомендованной ВНИИМ [1, 120 ].
Таблица 1.2.
n | r |
< 30 | 5 – 8 |
30 – 100 | 7 – 9 |
100 – 500 | 8 – 12 |
500 – 1000 | 10 – 16 |
1000 – 10000 | 12 – 22 |
Выберем r = 8.
13. Ширина бинов определяется по формуле
14. Определяем границы интервалов между выбранными бинами
Получим 275, 281, 287, 293, 299, 305, 311, 317, 324.
15. Подсчитываем частоты попадания результатов в каждый из выделенных интервалов, равные числу результатов, лежащих в каждом i – интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы
Получаем : 3, 0, 6, 5, 2, 3, 1, 4.
16. Вычисляем вероятности попадания значений вариационного ряда в каждый из выделенных интервалов
где n – общее число наблюдений, оставшихся после исключения промахов.
Получаем: = 0,125; 0; 0,25; 0,2083; 0,0833; 0,125; 0,0416; 0,1666.
17. Если теперь разделить полученные оценки вероятностей на длину интервала, то получим величины, являющиеся оценками средней плотности распределения вероятности в интервале
(8) |
Получаем:
Запишем полученные результаты в таблицу.
|
|
№ | Вариац. ряд | Границы бинов | № бинов | |||||
-12,69 | ||||||||
8,31 | 0,125 | |||||||
-9,69 | ||||||||
6,31 | 0,25 | |||||||
-3,69 | 0,2083 | |||||||
1,31 | 0,0833 | |||||||
-8,69 | 0,125 | |||||||
-4,69 | 0,0416 | |||||||
-9,69 | 0,1666 | |||||||
10,31 | ||||||||
4,31 | ||||||||
12,31 | ||||||||
24,31 | ||||||||
23,31 | ||||||||
18,31 | ||||||||
-6,69 | ||||||||
-6,69 | ||||||||
-24,69 | ||||||||
-24,69 | ||||||||
-19,69 | ||||||||
-30,69 | ||||||||
19,31 | ||||||||
-2,69 | ||||||||
54,31 | ||||||||
|
|
18. Откладываем вдоль оси абсцисс интервалы в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале строим прямоугольник с высотой равной
19. Вычисляем среднеквадратическое отклонение среднеарифметических значений k – серии рядов по n измерениям одной и той же физической величины
где среднеквадратическое отклонение единичного ряда измерений, найденное после исключения всех промахов, абсолютная погрешность каждого результата единичного ряда из n измерений.
20. Записываем результат измерения (если n < 50) в следующем виде
= = ± 3,74 |
где коэффициент Стъюдента, зависящий от количества измерений n и заданной доверительной вероятности P.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 134; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!