Перечень вопросов к экзамену по курсу математики. Курс 1. Группы 514 - 517. Семестр осенний
- Понятие об определителе. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Решение систем уравнений методом Крамера.
- Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей.
- Матрицы. Типы матриц. Свойства матриц. Операции над матрицами (сложение, вычитание, умножение). Обратная матрица.
- Решение систем неоднородных и однородных линейных алгебраических уравнений методами Крамера, обратной матрицы, Гаусса.
- Понятие линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Свойства линейных пространств.
- Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Преобразование базиса и координат.
- Теоремы о линейной зависимости коллинеарных и компланарных векторов.
- Ранг системы векторов и матрицы. Нахождение ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров и элементарных преобразований.
- Однородные системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Фундаментальная совокупность решений системы. Общее решение однородной системы. (Привести пример). Неоднородные системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы. (Привести пример).
- Евклидово пространство. Свойства евклидовых пространств. Неравенство Коши – Буняковского. Преобразование базиса и координат. Ортонормированный базис.
- Скалярное произведение.
- Векторное произведение. Свойства векторного произведения.
- Смешанное произведение. Теорема о смешанном произведении.
- Прямолинейные и криволинейные системы координат. Преобразования координат: параллельный перенос и поворот. Декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
- Каноническое уравнение прямой. Общее уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой, угол между прямыми. Условия совпадения прямых и параллельности. Пересечение прямых. Нормальное уравнение прямой, прямая в полярных координатах.
- Плоскость в пространстве: параметрическое уравнение плоскости; общее уравнение плоскости; вектор нормали к плоскости; условия параллельности, совпадения, пересечения и угол пересечения плоскостей.
- Прямая в пространстве: параметрическое уравнение прямой: параметрическое уравнение прямой; прямая как пересечение плоскостей. Основные задачи о прямых и плоскостях: параллельность прямой и плоскости; расстояние от точки до плоскости; расстояние от точки до прямой; расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Кривые 2-го порядка. Квадратичные функции и их матрицы. Уравнение линии 2-го порядка. Ортогональные матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций.
- Преобразование линии 2-го порядка при повороте осей координат и параллельном переносе. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду.
- Типы кривых 2-го порядка: эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых, гипербола, пара пересекающихся прямых, парабола, пара параллельных прямых, пара мнимых пара параллельных прямых, пара совпадающих прямых.
- Директриса, фокус, эксцентриситет. Директориальное свойство эллипса, параболы, гиперболы.
- Фокальное свойство эллипса и гиперболы.
- Парабола, эллипс и гипербола в полярных координатах. Фокальный параметр эллипса, параболы, гиперболы. Уравнения параболы, эллипса и гиперболы при вершине.
- Алгебраические поверхности II порядка. Исследование методом сечений эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндрических поверхностей.
- Множества операции над ними. Операции над множествами, диаграммы Эйлера – Венна. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.
- Числовые множества: логическая символика, точные грани числовых множеств.
- Метод математической индукции. Суммирование. Бином Ньютона.
- Комплексные числа, действия с ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.
- Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
- Монотонные последовательности. Условия существования предела монотонной последовательности. Число е.
- Теорема Кантора о вложенных отрезках.
- Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- Критерий Коши сходимости последовательности.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!