Теоретическая часть.

Четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма.

Признаки параллелограмма

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны. 2.Противолежащие углы параллелограмма равны. 3.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1.Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 3.Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника.	Признаки прямоугольника.
1.Диагонали прямоугольника равны.	1.Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник. 2.Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба.	Признаки ромба.
1.Диагонали ромба перпендикулярны, и являются биссектрисами его углов	1.Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны; либо квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Параллелограмм

Ромб

Прямоугольник

Квадрат

Теорема 1. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

А В Дано: АВСD – четырёхугольник.

Доказать: Сумма углов АВСD

равна 360°.

D C Доказательство: Пусть АВСD –

произвольный чет-к.

1.Разобьем его на Δ АВС и Δ ВСD;

2.Как известно, сумма углов Δ АВС = 180° и

Δ ВСD = 180°;

3.Т.о. сумма углов АВСD = 360°.

Теорема 2. Противолежащие стороны параллелограмма равны.

В С Дано: АВСD -параллелограмм.

А D Доказать: АВ = СD и ВС = АD.

Доказательство: 1. Проведем диагональ АС;

2. Δ АВС и Δ АСD равны по второму признаку равенства треугольников; 3. Т.о. АВ = СD

Практическая часть

1. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Проведите в ней диаметр и хорду. Чему равен диаметр окружности.

2. В Δ АВС постройте высоту, медиану и биссектрису.

3. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его гипотенузе АВ = 5см.

Замечание: задачи на построение необходимо выполнить только с помощью циркуля и линейки.

4. В четырёхугольнике АВСD (рис.2) АВ = ВС, АD = DC. Докажите, что углы А и С равны.

рис.2 рис.3 рис.4 рис.5

5. Найдите углы параллелограмма АВСD (рис.3).

6. Найдите углы параллелограмма, если:

а) один из углов на 56° больше другого; б) в 3 раза меньше другого.

7. Периметр параллелограмма равен 126 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как 4:5.

8. В параллелограмме АВСD АВ = 7 см, АD = 12 см. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите отрезки ВЕ и ЕС.

9. В четырёхугольнике АВСD (рис.4) АD = ВС, <1 = <2. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

10. В прямоугольнике АВСD (рис.5) О – точка пересечения диагоналей. <АОD = 70°. Найдите угол OСD.

9.Перпендикуляры, опущенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника на две его соседние стороны, равны 5см и 7см. Найдите периметр прямоугольника.

10. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

11. АВСD - ромб (рис. 6). Найдите угол α.

рис.6 рис.7