К выполнению контрольной работы
3.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧ 1,2
Весь процесс выполнения работы целесообразно разбить на 6 этапов.
1. Описание объекта управления – составление математической модели объекта управления, описывающей процессы в электрической схеме.
2. Конструирование функционала – нахождение выражения для энергии активных потерь в схеме в виде интегрального функционала.
3. Формулировка поставленной задачи как вариационной задачи на условный экстремум.
4. Синтез оптимального алгоритма (закона) управления – решение вариационной задачи на условный экстремум.
5. Анализ процессов в системе при оптимальном режиме и линейном напряжении источника питания.
6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах.
Рассмотрим эти этапы подробнее.
3.1.1. Описание объекта управления. Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид дифференциального уравнения:
, (1)
где x(t)=i(t), u(t)=e(t) для задачи 1 и x(t)=uC(t), u(t)=e(t) для задачи 2; p, b – числа, равные: p = – R/L, b = 1/L или p = –1/RC, b = 1/RC.
3.1.2. Конструирование функционала (критерия оптимальности). Находится выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время t1–t0, которое представляется в виде:
. (2)
Для этого записываем выражение для активной мощности потерь на сопротивлениях r и R. Для вариантов задачи 1 получаем:
или ,
а для вариантов задачи 2:
или
|
|
.
Таким образом, для вариантов задачи 1 q = R, m = 1/r, а для вариантов задачи 2 q = 1/R, n = –2/R, m = 1/r + 1/R.
3.1.3. Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум. Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).
3.1.4. Синтез оптимального алгоритма управления. Это наиболее важный и трудоемкий этап работы и его целесообразно разбить на 3 подэтапа.
1. Получение уравнений вариационной задачи. Уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид:
,
в которых функция Лагранжа имеет вид:
где l(t) – неопределенный множитель Лагранжа.
К полученным уравнениям нужно добавить уравнение модели объекта, в итоге получаем систему уравнений (3, 4, 5):
(3) | ||
(4) | ||
(5) |
2. Отыскание решения уравнений вариационной задачи. Рекомендуется следующий порядок решения уравнений (3) – (5).
а) Выразить из (5) u(t) и подставить его в (3) и (4). При этом получается система уравнений:
, (6)
с коэффициентами
a 11 = p – nb/2m, a 12 = b2/2m, a 21 = 2q – n2/2m, a 22 = nb/2m – p.
б) Записать систему (6) в матричной форме:
, (7)
где
, .
в) Записать решение уравнения (7) в виде:
, (8)
где – вектор начальных условий, а матричная экспонента
определяется по формуле Лагранжа–Сильвестра:
|
|
(l1, l2 – собственные числа матрицы А; Е – единичная матрица).
Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа l(t0), входящего в (8), необходимо:
– записать (8) для момента времени t1:
или
, (9)
где e 11, е 12, е 21, е 22 – элементы матрицы:
;
– определить l(t0) из первого уравнения системы (9):
г) Решить уравнение (7) и с учетом выражения (5) записать выражение для оптимальной траектории и оптимального управления.
3.1.5. Анализ процессов в системе.
1. Анализ процессов при оптимальном режиме заключается в построении графиков x°(t), u°(t) на интервале tÎ[t0,t1].
2. Анализ процессов при линейном изменении тока i(t) (варианты задачи 1) или напряжения uС(t) (варианты задачи 2). Полагая, что ток или напряжение изменяются линейно:
iЛ(t) = kt + d или uС = kt + d,
от заданного начального состояния до заданного конечного состояния, необходимо записать на основе (1) выражения для закона управления еЛ(t), обеспечивающего линейное изменение переменных, и построить графики процессов iЛ(t), еЛ(t) для вариантов задачи 1 и uЛ(t), еЛ(t) для вариантов задачи 2.
Величины k, d выбираются из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения.
3.1.6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах.
|
|
1. Вычислить энергию активных потерь при оптимальном режиме, подставив в (2) x°(t) и u°(t).
2. Вычислить энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки в (2) xЛ(t) и uЛ(t).
3. Сравнить величины активных потерь между собой, сделать вывод о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.
3.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 3
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 74; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!