Cұрақ. Сфералық координаталардағы нүкте жылдамдығын қорытыңыз.

М нүктесінің кеңістіктегі орны түзу сызықты декарттық координанттар жүйесінде х,у,z координаттармен, ал сфералық координаттар жүйесінде

q₃=Ө шамаларымен анықталады дейік. Мұндағы r - координаттардың бас нүктесі О дан М нуктесіне дейінгі қашықтықты көрсетеді. Ал, Ө бұрышы ОМ₁ мен нүктенің радиус векторы r- дің оң бағытының арасындағы бұрыш, φ- Ох өсімен, М нүктесінің радиус векторымен Оху жазықтығындағы проекциясы OM’ тің оң бағыттары арасындағы бұрыш. Нүктенің түзу сызықты декарттық координаттары х,у,z және қисық сызықты сфералық координаттары арасындағы байланысты, суреттің көмегімен алынған мына тендіктермен өрнектейміз:

X=r cos Өcosφ; y=r cos Өsinφ; z=r sinӨ

Сфералық координаттардың өстерінің бойымен бағытталатын бірлік векторларды e_r, e_φ, e _Ө деп белгілейік. Олар бір бірімен тік бұрыш жасай бағытталады.

Жылдамдықтың жалпы жағдайдағы қисық сызықты координаттар өстеріне жіктелуін өрнектейтін

υ=H₁q₁e₁+H₂q₂e₂+H₃q₃e₃

Формуласын сфералық координатаға лайықты етіп жазайық:

_{r r}+ +

Мұндағы H_r, H_φ, H_Ө сфералық координаттармен берілген Ламе коэффициенттері төмендегі формуламен анықталады:

= (1)

Мұндағы, H_r Ламе коэффициентін анықтауға керекті х,у,z координаттардан бойынша алынған дербес туындыларды есептейік:

= (2)

H_φ Ламе коэффициентін анықтауға керекті х,у,z координаттардан бойынша алынған дербес туындыларды есептейік:

= (3)

H_Ө Ламе коэффициентін анықтауға керекті х,у,z координаттардан бойынша алынған дербес туындыларды есептейік:

= , = , =

=-r , =r , =0.

=- , =sin𝜃cos =r cos𝜃.

(1),(2),(3) Тендіктердегі дербес туындылар мәндерін (1) тендіктеріндегі орындарына қойсақ, одан әрі жүргізілетін есептеулерді орындасақ, Ламе коэффициенттерін табамыз:

Қорыта келгенде, H_r=1, H_φ=rcosӨ, H_Ө=r. (5)

Жылдамдық векторының сфералық координаттар өстеріне жіктелуін көрсететін формула бойынша:

= , = , = . (6)

Екенін көреміз.

(5)Тендіктердегі Ламе коэффициенттерін мәндеріooн (6) дағы орындарына қойсақ:

= , =r , =r . (7)

Тендіктерін аламыз. Бұл формулалар жылдамдық векторының сфералық координатттар өстеріндегі проекцияларын өрнектейді.

Сфералық координаттар жүйесі ортогоналдық жүйе болғандықтан, жылдамдық квадратын (7) дағы проекциялары арқылы мына формуланы табуға болады:

=

 

Бұдан жылдамдықтың өрнегін екі жағынан квадраттасақ:

= + 𝜃+ .

 

---

Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 1; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!