Кинетикалық моменттiң өзгеруi туралы теорема
Материялық нүкте қозғалыс мөлшерiнiң қандай да бiр центрге қатысты алынған моментiн оның кинетикалық моментi дейдi.
О центрiне қатысты алынған кинетикалық моменттi 
әрпiмен белгiлейiк. Сонда = 
X m 
немесе = 
(m 
). Кинетикалық момент күш әсерiнен уақыт өткен сайын өзгерiп тұрады (3.4-сурет).
3.4-сурет
Оның өзгерiсiнiң күшке тәуелдiлiгiн табайық. Ол үшiн негiзгi теңдеудiң екi жағын да нүктенiң радиус-векторына вектораша көбейтейiк:
X m 
= X 
. (3.15)
Бұл теңдеудiң сол жағындағы векторлық көбейтiндiнi түрлендiрейiк:
X m = 
( X m ) - 
X m = ( X m ) (3.16)
Бұл арада азайғыш векторлық көбейтiндiнiң нольге айналатынын ескердiк. Ол екi коллинеарлық вектордың векторлық көбейтiндiсi болу себептi нольге айналады. (3.15) теңдiктiң сол жағындағы векторлық кобейтiндiнi (3.16) түрiнде аламыз:
= X . (3.17)
Осы теңдiк бiзге керектi теореманы өрнектейдi. Бұл материялық нүкте қозғалыс мөлшерi моментiнiң өзгеруi туралы немесе басқаша айтқанда, нүктенiң кинетикалық моментiнiң өзгеруi туралы теорема. Жоғарыда берiлген материялық нүктенiң кинетикалық моментi деген анықтаманы қолдану арқылы (3.17) теңдiгiн басқа түрде де жазуға болады:
= 
(3.18)
Теореманы () түрінде жазу көрнектілік туғызып, оның мазмұнын айқындай түседі.
|
|
|
(3.17) не (3.18) теңдігімен өрнектелетін теорема былай айтылады:
Қандай да бiр центрге қатысты нүкте кинетикалық моментiнiң уақыт бойынша туындысы сол центрге қатысты күш моментiне тең.
Егер нүктенiң О центрiне қатысты алынған секторлық жылдамдығының өрнегiн еске алсақ мынаны аламыз:
X = 2 
Онда (13.19) теңдiгiн осы секторлық жылдамдық арқылы да жазуымызға болады:
2m 
= X . (3.19)
Бұл теңдеуден материялық нүктенiң массасы мен О центрiне қатысты секторлық үдеуiнiң екi еселенген көбейтiндiсi сол центрге қатысты күш моментiне тең болатынын көремiз.
(3.17) векторлық теңдеудi координаталық үш оське проекциялап жазайық. Мұндағы векторлар проекцияларын көрсетейiк: (x, y, z), (
), (
, 
, 
). Олай болса
m (y 
)= 
,
m (z 
)= 
, (3.20)
m (x 
)= 
,
Бұл скалярлық теңдеулердi моменттер белгiлеулерiн қысқа түрде жазайық. Олар (3.18) векторлық тендеунiң координаталық осьтердегi проекцияларына тең:
= 
(), 
= 
(), 
= 
(), (3.21)
(3.20) немесе (3.21) теңдiктерi нүктенiң координаталар осьтерiне қатысты алынған кинетикалық моменттерiнiң өзгеруiн сипаттайды: координаталар осьтеріне қатысты алынған нүкте кинетикалық моменттерiнiң уақыт бойынша туындылары сол осьтерге қатысты алынған күш моменттеріне тең.
|
|
|
Ендi бұл теореманың қай жағдайларда бiрiншi интегралдар беретiнiн тағайындайық. Ол үшiн (3.17) теңдiгiнiң оң жағындағы бөлiгi векторлық көбейтiндi, яғни О центрiне қатысты күш моментi нольге тең болуы қажет. Ал күш моментi күштiң өзi Р=0 болғанда немесе күш үнемi радиус-векторға параллель болғанда нольге айналады. Бiрiншi жағдай өзiнен—өзi түсiнiктi, сондықтан да күш моментiнiң нольге айналатын екiншi жағдайына тоқтайық. Нүктеге әсер ететiн күш радиус-векторға коллинеар вектор болсын:
= 
. (3.22)
Мұндағы -күштiң радиус бағытындағы проекциясы оң да, терiс те болуы мүмкiн. (3.22) түрiндегi күштер центрлiк күштер делiнедi. Мұндай күштердiц әсер ету сызықтары үнемi бiр центрдi басып өтедi (13.4-сурет). Ол центр күштер центрi деп аталады. (3.22) күшiнiң О центрiне қатысты моментi нольге тең болады:
()= 
X = X = 0
Сондықтан да (13.20) теорема теңдiгiнен алатынымыз:
|
|
|
=0
Осыдан нүкте кинетикалық моментiнiң тұрақты екенiн анықтаймьтз:
=const= 
. (3.23)
немесе кинетикальық момент өрнегiн пайдаланып және (3.23) теңдiгiнiң екi жағын да нүкте массасына бөлiп бұл теңдiктi мына түрге келтiремiз:
X = 
(3.23`)
Сөйтiп, центрлiк күш әсерiнен қозғалатын материялық нүкте қозғалысы теңдеулерiнiң бiр векторлық бiрiншi интегралын екiншi теоремадан (3.23) немесе (3.23`) түрiнде оңай тауып алуға болады екен. Бұл интегралды материялық нүктенiң кинетикалық моментiнiң сақталу заңы деп атайды. Векторлық бiр бiрiншi интеграл (3.23`) үш скалярлық бiрiншi интегралдарға эквивалент болады.
(y )= 
,
(z )= 
,
(x )= 
. (3.24)
Мұндағы , , 
— тұрақты вектордың координаталық осьтердегi проекциялары.
Егер күш центрлiк күш, сол себептен ()=0 болса, онда (3.24) түрiндегi үш скалярлық бiрiншi интегралдар бар болады. Осыған ендi керiсiнше (3.23`) түрiндегi бiр векторлық бiрiншi интеграл немесе (3.24) түрiндегi скалярлық үш бiрiншi интегралдар бар деп есептеп күш моментiнiң неге тең болатынын анықтайық. Ол үшiн векторлық бiрiншi интеграл теңдеуiн, яғни (3.23)-тi (3.18) теорема теңдiгiне апарып қояйық:
|
|
|
()= 
= 
=0
Демек, қандай да бiр центр О-ға қатысты алынған кинетикалық момент тұрақты вектор екенiн көрсететiн бiрiншi интеграл бар болса, онда сол центрге катысты күш моментi нольге тең болады екен. Сондықтан да нольге тең емес күш центрлiк күш болады, яғни оның әсер ету сызығы үнемi О центрiнен өтiп отырады.
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 1; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!