Методы уточнения корня
Пусть дано уравнение 
причем корень 
отделен, т. е. 
1. Метод половинного деления
Согласно методу половинного деления, сначала отрезок 
делится пополам и из двух полученных отрезков выбирается тот, на концах которого функция 
имеет противоположные знаки. Затем выбранный отрезок снова делится пополам и проводятся аналогичные рассуждения.
Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока на каком-то k -м этапе либо середина отрезка окажется корнем уравнения, либо получится отрезок 
такой, что 
За приближенное значение корня следует взять 
при этом
2. Метод хорд
Суть метода хорд состоит в том, что дуга кривой 
заменяется стягивающей ее хордой и за приближенное значение корня берется абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox.
Если 
на (при этом 
на ), то
(33.16)
Если 
на (при этом 
на ), то
Для оценки погрешности метода хорд можно пользоваться формулой (33.15). Можно также применить формулу:
если выполняется условие
(33.17)
где 
3. Метод Ньютона (метод касательных)
Суть метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к ней и за приближенное значение корня берется абсцисса точки пересечения касательной с осью Ox. Уточнение корня производится по формуле
(33.18)
причем если на ;
если на 
Для оценки погрешности метода Ньютона можно пользоваться формулой (33.15).
4. Комбинированный метод хорд и касательных
Метод заключается в последовательном применении метода хорд и метода Ньютона (метода касательных).
|
|
|
Если на , то
где
Если на 
то
где
Процесс вычислений прекратится, как только будет выполнено неравенство 
За приближенное значение корня следует принять где 
и 
– приближенные значения корня соответственно с недостатком и с избытком.
Пример 1. Методом половинного деления найти корни уравнения 
с точностью до 
Решение. Поскольку 
при 
то очевидно, что на отрезке 
находится единственный действительный корень данного уравнения.
Чтобы уточнить искомый корень 
уравнения методом половинного деления, составим следующую таблицу:
| 
| 
| 
| 
| Знаки функции | ||
|
| 
| |||||
| 0,5 0,5 0,625 0,625 0,656 0,672 0,68 0,68 0,682 0,682 | 0,75 0,75 0,688 0,688 0,688 0,688 0,684 0,684 0,683 | 0,5 0,75 0,625 0,6875 0,6565 0,672 0,68 0,684 0,682 0,683 0,6825 | –0,375 0,171875 –0,13085… 0,01245… –0,06055… –0,02453… –0,005568 0,00401… –0,00078… 0,00161… | – – – – – – – – – – | – + – + – – – + – + | + + + + + + + + + + |
Поскольку 
то требуемая точность вычислений достигнута. Следовательно, 
Пример 2. Методом хорд найти больший положительный корень уравнения 
с точностью до 
Решение. Отделим корни уравнения аналитически. Находим
|
|
|
Составим таблицу знаков функции 
| 
| 
| 
| |
| – | + | – | + |
Итак, уравнение имеет три действительных корня:
Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1:
|
| –2 | –1 | ||||
|
| – | + | + | – | – | + |
Значит, 
Уточним больший положительный корень 
заданного уравнения методом хорд. Проверим выполнимость условия (33.17):
Условие (33.17) не выполняется. Уменьшим отрезок, содержащий корень. Возьмем середину отрезка 
т. е. точку 
Так как 
то корень 
Снова проверим выполнимость условия (33.17):
Определим, по какой из формул нужно производить вычисления. В данном случае имеем 
при 
Значит, вычисления нужно вести по формуле (33.16), где х0 = 3; 
Составим следующую таблицу:
|
| 
|
| 
|
| 3,1356 3,1595 3,1635 3,1641 3,1642 3,16424… | –2 –0,37719… –0,06336… –0,01000… –0,00197… –0,00064… | 0,135593… 0,023895… 0,003967… 0,000625… 0,000123… 0,000040… |
Так как 
то требуемая точность вычислений достигнута. Следовательно, больший положительный корень 
Пример 3. Методом Ньютона найти корни уравнения 
с точностью до
Решение. Отделим корни уравнения графически. Представим данное уравнение в виде 
и рассмотрим графики двух функций: 
и 
(рис. 33.1).
|
|
|
Рис. 33.1
Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке, абсцисса которой принадлежит отрезку 
Таким образом, единственный корень уравнения находится на отрезке 
причем 
Имеем 
при 
Поэтому, чтобы воспользоваться методом Ньютона, следует выбрать 
Вычисления будем вести по формуле (33.18), где 
Составим таблицу:
|
| 
| 
| 
| 
|
| 0,684 0,577 0,567 | 1,71828… 0,35554… 0,02745… –0,00039… | 5,43656… 3,33733… 2,80814… | –0,31606… –0,10653… –0,00977… |
Воспользовавшись формулой (33.15), найдем
Тогда из неравенства
следует, что 
Так как 
то требуемая точность вычислений достигнута. Следовательно, 
Задания
I уровень
1.1. Определите, сколько действительных корней имеет уравнение:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Отделите графически корни уравнения:
1) 
2) 
1.3. Отделите аналитически корни уравнения:
1) 
2) 
1.4. Отделите корни уравнения 
указав отрезки длины 0,1.
1.5. Найдите действительные корни уравнения 
методом половинного деления.
1.6. Решите уравнение с помощью метода хорд:
1) 
2) 
1.7. Решите уравнение методом Ньютона:
1) 
2) 
1.8. Найдите все действительные корни уравнения:
1) 
2) 
II уровень
2.1. Найдите действительные корни уравнения 
при 
методом половинного деления с точностью до 
|
|
|
2.2. Найдите методом хорд с точностью до 
действительные корни уравнения:
1) 
2) 
2.3. Используя метод Ньютона, найдите с точностью до действительные корни уравнения:
1) 
2) 
2.4. Комбинированным методом хорд и касательных найдите с точностью до 
действительные корни уравнения 
III уровень
3.1. Докажите, что уравнение 
имеет три простых действительных корня тогда и только тогда, когда коэффициенты p и q удовлетворяют неравенству 
3.2. Приближенным значением корня уравнения 
является 
Определите абсолютную погрешность этого значения.
3.3. Найдите наименьший положительный корень уравнения 
с точностью до 
3.4. Найдите 
где 
с тремя верными значащими цифрами в узком смысле.
3.5. Составьте алгоритмическую схему приближенного решения уравнения 
с заданной точностью методом половинного деления.
3.6. Составьте алгоритмическую схему приближенного решения уравнения с заданной точностью методом хорд.
3.7. Составьте алгоритмическую схему приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Ньютона.
3.8. Составьте алгоритмическую схему приближенного решения уравнения с заданной точностью комбинированным методом хорд и касательных.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 29; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!