Логарифмические неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам.
План.
Понятие логарифмического неравенства.
Методы решения логарифмических неравенств.
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.
Рассмотрим простейшие логарифмические неравенства.
| | |
  .
|
 ,
  .
|
|
| |
  .
|
,
 .
|
v Неравенство вида 
при a > 1 равносильно системе:
Для получения ответа достаточно решить только второе неравенство, так как 
.
Ø При 0 < a < 1 вторая часть системы меняет свой знак неравенства на <:
v Неравенство вида 
при a > 1 равносильно системе
Ø При 0 < a < 1 вторая часть системы меняет свой знак неравенства на >:
Для получения ответа достаточно решить только 2-ое неравенство.
В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств
|
| f(x) > g(x), |
| g(x) > 0. |
Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств
|
| f(x) < g(x), |
| f(x) > 0. |
Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
|
|
|
Типы логарифмических неравенств и методы их решения.
1). Простейшие логарифмические неравенства .
Пример 1. 
Пример 2. 
Пример 3. 
Пример 4. 
Пример 5. 
Пример 6. 
.
Решение:
Т. к. 
; 
убывает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
Ответ: (0,2;0,4).
Пример 7. 
.
Решение:
Т. к. ; 
убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе
Ответ: (0,75;2).
Пример 8. Решить неравенство: 
Решение: Так как 
, то решаем неравенство по второй системе, и знак первого неравенства системы меняем на противоположный.
Ответ: 
Пример 9. Решить неравенство: 
Решение: Так как lg – логарифм по основанию 10 и 10 > 1,то данное неравенство решаем по аналогии первой системы.
Ответ: 
Пример 10. 
Пример 11. 
Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим логарифмическим неравенствам.
Пример 1. 
.
Решение:
,
,
.
Т. к. и 
возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно системе
т. к. 
, при 
, то система равносильна неравенству 
.
|
|
|
,
.
Ответ: 
.
Пример 2. 
Пример 3. 
.
Решение:
,
,
,
.
Т. к. ; 
возрастает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
.
Ответ: 
.
Пример 4. 
.
Решение:
.
Т. к. ; 
убывает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
.
Ответ: 
.
Пример 5. 
.
Решение:
.
Т. к. ; 
возрастает на всей области определения и 
, то неравенство равносильно системе
.
Ответ: 
.
Логарифмические неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени.
Пример 1. 
.
Решение:
. Пусть 
тогда
,
Вернёмся к переменной 
. Т. к. , то
возрастает на всей области определения, то
Ответ: 
.
Пример 2. 
Пример 3. Решить неравенство: 
Решение: Сразу отметим, что 
.
Заменяем 
. Тогда имеем
Так как 
и, 
то имеем:
С учетом области определения неравенства , получаем 
.
Ответ:
Пример 4. 
.
Решение:
.
Т. к. , то для нахождения области допустимых значений переменной 
составим систему:
.
В найденной области допустимых значений переменной преобразуем неравенство.
,
,
,
,
возрастает на всей области определения и 
, а также 
.
|
|
|
С учётом области допустимых значений переменной 
получим:
Ответ: 
.
Логарифмические неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам.
Пример 1 . 
.
Решение:
Пусть 
и 
, тогда
,
,
Вернёмся к переменной 
. Т. к. , то
возрастает на всей области определения
Ответ: 
.
Пример 2. 
.
Решение:
.
Т. к. , то 
В найденной области допустимых значений переменной 
преобразуем данное неравенство к виду:
Пусть 
.
Тогда 
Вернёмся к переменной 
.
возрастает на всей области определения и 
, 
Ответ: 
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!