Задачи на тему: «Средние величины и показатели вариации»
Тема 1.6 «Средние величины и показатели вариации»
1. Понятие о средней величине, её основные элементы.
2. Виды средних величин и порядок их расчёта.
3. Показатели вариации.
«1»
Каждая единица совокупности характеризуется своим признаком (показателем), который отличается от других единиц.
Например: зарплата – Иванов – 1500 руб. (х1)
Петров – 1200 руб. (х2) } индивидуальные
Сидоров - 1300 руб. х3) величины
А для характеристики совокупности в целом рассчитывают среднюю вели-
_
чину (х).
Средние величины - это обобщающие показатели, выражающие типичные размеры варьирующих признаков качественно однородных общественных явлений.
Однако, для правильного исчисления средней необходимы следующие условия:
1. совокупность должна быть достаточно большой (массовой);
2. совокупность должна быть однородной;
3. если совокупность разнородна, то её нужно разделить на однородные группы и для каждой группы исчислить свою среднюю величину.
Например : зарплата, руб.
560 _
580 } х1 = 583,3 руб.
610
920 _
1040 } х 2 = 1036,7 руб.
1150
1890 _
|
|
|
2130 } х3 =2093,3 руб.
2260
Основные элементы средних величин:
1. Варианта (х) – столбец (признак), из которого рассчитывается средняя величина.
2. Частота (весы) (f) – столбец, который показывает, сколько раз повторяется данный признак.
3. n – число единиц совокупности (может быть равен ∑f).
4. W = х · f - это произведение варианты и частоты.
Например : х- урожайность, ц/га
f- посевная площадь, га
W – валовый сбор, ц
или х – зарплата 1 работника, руб.
f- количество работников, чел.
W – общий фонд зарплаты, руб. и т.п.
«2»
В зависимости от исходной информации различают несколько видов средних величин:
1. средняя арифметическая:
а) простая – вычисляется в том случае, если признак, из которого вычисляется средняя, встречается один или одинаковое число раз.
_ ∑х х1 + х2 +…+ хn
х = ----- = --------------------
n n
Например: зарплата по бригаде, руб.
|
|
|
Иванов – 1650
Петров - 1720
Жаров - 1810
Решение: _ 1650+1720+1810
х = -------------------- = 1727 руб.
3
б) взвешенная - вычисляется в том случае, если признак, из которого вычисляется средняя, встречается неодинаковое число раз.
_ ∑х∙f х1·f1+х2∙f2+…+хn·fn
х = ------- = ------------------------
∑f f1 + f2 + … + f n
Например:
| Заплата по бригаде, руб. (х) | Количество чел. (f) |
| 1500 | 3 |
| 1600 | 6 |
| 1400 | 4 |
_ 1500 ·3 + 1600 ·6 +1400 ·4
Решение: х = ----------------------------------= 1515 руб.
3 + 6 + 4
Например:
| № бригады | Урожайность, ц/га (х) | Посевная площадь, га (f) |
| 1 | 15 | 190 |
| 2 | 18 | 210 |
| 3 | 16 | 250 |
_ 15 · 190 + 18 · 210 + 16 · 250 10630
Решение: х = ------------------------------------- = --------- = 16,4 (ц/га)
190 + 210 + 250 650
2. средняя гармоническая:
а) взвешенная – вычисляется в том случае, если даны варианты (х) и произведение (W) и не известны частоты (f).
_ ∑ W W1 + W2 + … +Wn
х = ------- = ----------------------------
|
|
|
∑ W W1 W2 Wn
х ---- + ---- + … + ----
х1 х2 Хn
Например:
| № бригады | Урожайность, ц/га (х) | Валовый сбор, ц (W) |
| 1 | 10 | 1600 |
| 2 | 12 | 2400 |
| 3 | 15 | 3750 |
_ 1600 + 2400 + 3750 7750
Решение: х = ---------------------------- = -------- =12,7 (ц/га)
1600 2400 3750 610
------- + ------- + -------
10 12 15
б) простая - встречается и используется очень редко
_ n
х = ------
∑ 1
х
3.средняя хронологическая (простая) – вычисляется в моментном динамическом ряду с равными интервалами времени:
_ ½ х1 + х2 + х3 + … +½хn
х = ----------------------------------
n - 1
Например: имеется численность работников на:
1.01.- 126 чел.
1.02.- 132
1.03.- 138
1.04.- 129
Определить среднюю численность работников за 1 квартал?
|
|
|
_ ½·126 + 132+138+½∙129
Решение: х = --------------------------------- = 133 (чел.)
4 – 1
4. средняя хронологическая (взвешенная) – вычисляется в моментном динамическом ряду с разными интервалами времени:
_ (х1+х2)∙f1 +(х2+х3)∙f2 + …+ (хn-1 + хn)∙fn-1
х = ---------------------------------------------------
2∑f
где f – промежуток времени между датами (см. тему «Ряды динамики»).
5. средняя геометрическая – применяется для расчёта среднего темпа роста в рядах динамики:
_ n n
х = √ х1·х2∙х3·…·хn = √ П·х,
где х1 , х2 , и т.д. – цепные темпы роста в рядах динамики, П – произведение ( см.тему «Ряды динамики»).
6. средняя из интервального ряда – формула выбирается исходя из имеющихся данных (арифметическая или гармоническая).
При этом если признак, из которого рассчитывается средняя, выражен в виде интервалов, то вначале необходимо эти интервалы преобразовать в дискретный ряд (ряд с одним числом) или, другими словами, найти середину интервала. Эти данные принимаются за варианту (х).
Например: По имеющимся данным рассчитать средний возраст работников предприятия:
| Группы работников по возрасту, лет | Количество работников, чел. (f) | *Дискретный ряд (середина интервала), лет (х) | *х·f |
| 18 – 24 | 15 | 21 | 315 |
| 24 – 36 | 28 | 30 | 840 |
| 36 – 48 | 19 | 42 | 798 |
| св. 48 | 8 | 54 | 432 |
| Итого: | 70 | х | 2385 |
_ ∑х∙f 2385
* - расчётные графы х =------- = -------- = 34 (года)
∑ f 70
7. средняя прогрессивная – формула также выбирается исходя из имеющихся данных (арифметическая или гармоническая).
Принцип расчёта заключается в том, что берутся не все данные условия, а выбираются наилучшие показатели варианты.
Например: По имеющимся данным рассчитать среднюю прогрессивную сменную выработку:
| № предприятия | *1 | 2 | 3 | *4 | *5 | *6 | 7 |
| Сменная выработка 1 работника, дет.(х) | 90 | 50 | 48 | 75 | 82 | 60 | 36 |
| Общая выработка, дет. (W) | 540 | 400 | 384 | 375 | 492 | 420 | 324 |
* - наилучшие данные по выработке
_ ∑ W 540 + 375 + 492 + 420
х = ------- = ----------------------------- = 76 (дет.)
∑ _W 540 375 492 420
х ----- + ----- + ---- + -----
90 75 82 60
Таким образом, средняя прогрессивная выработка составляет 76 деталей. То есть все предприятия с меньшей выработкой, должны равняться на данный показатель.
«3»
Информации о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточно для анализа экономических явлений или процессов. Поэтому необходимо учитывать вариацию (отклонение) значений отдельных единиц совокупности относительно средней величины, которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.
Так, например, если взять совокупность из 10-30 с.х.-предриятий района и сравнить по ним такие показатели, как: урожайность культур, продуктивность животных, трудоёмкость или себестоимость 1 ц продукции, то эти показатели будут отличаться при переходе от одного хозяйства к другому, т.к. зависят от многочисленных факторов, влияющих на них. А сочетание этих факторов в хозяйствах различно, поэтому и результаты будут различаться (варьировать).
Например: на урожайность влияют следующие факторы: сорт семян, их качество, состав почвы, количество вносимых удобрений, сроки и качество работ, климатические условия и т.д. На продуктивность коров влияет: уровень и качество кормления, условия содержания, породный и возрастной состав животных и т.д.
Чем лучше сочетание этих факторов, тем выше и результат. Однако на практике, такое сочетание редко, поэтому показатели колеблются (варьируют).
В связи с этим, рассматриваемая совокупность по данному признаку может быть однородной или разнородной. А вот чем однороднее совокупность, тем меньше будет и вариация признака.
Например: Рассмотрим вариацию урожайности зерновых по 10 хозяйствам Лукояновского района Нижегородской области:
| Наименование с.-х.предприятий | Урожайность, ц /га |
| Полянский | 24,1 - хmax |
| Родина | 19,4 |
| Поя | 18,9 |
| Единство | 17,4 |
| Победа | 16,4 |
| Крюковское | 13,3 |
| Пичингушский | 12,9 |
| Красный Октябрь | 12,7 |
| Дружба | 9,1 |
| Правда | 7,6 – хmin |
Для того чтобы правильно измерить вариацию, рассчитывают следующие показатели:
1. Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака:
R = Хmax - Х min
2. Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из абсолютных отклонений вариант от их средней:
_
_ ∑| х – х |
для невзвешенного ряда - d = ------------
n
_
_ ∑|х – х |∙f
для взвешенного ряда - d = --------------
∑f
· Единицы измерения те же, что и у показателя.
3. Среднее квадратическое отклонение – наиболее точно характеризует отклонение вариант от средней величины. Имеет ту же размерность, что и изучаемый признак, например: ц/га.
_ ∑ ( х – х )2
G = √ -------------- - для невзвешенного ряда
n
_ ∑ ( х – х )2 ∙ f
G = √ ------------------ - для взвешенного ряда
∑ f
4. Дисперсия – это квадрат среднего квадратического отклонения. Единиц измерения не имеет, используется в дисперсионном анализе.
_ _
∑ ( х – х )2 ∑ ( х – х )2∙f
G2 = -------------- или G2 = ----------------
n ∑ f
5. Коэффициент вариации – характеризует относительную колеблемость признака вокруг средней величины, выражается в %.
_
V = (G / х) ∙ 100 %
* Если коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.
На практике, чтобы рассчитать все показатели вариации, строится вспомогательная таблица:
| № хоз-ва | Урожай-ность, ц/га (х) | Посевная плащадь, га ( f ) | х∙f | _ х | _ х -х | _ |х - х|·f | _ (х – х )2 | ( х – х )2∙f |
| 1 | 24,1 | 150 | 3615 |
16,7
| 7,4 | 1110 | 54,8 | 8220 |
| 2 | 19,4 | 630 | 12222 | 2,7 | 1701 | 7,3 | 4599 | |
| 3 | 18,9 | 400 | 7560 | 2,2 | 880 | 4,8 | 1920 | |
| 4 | 17,4 | 345 | 6003 | 0,7 | 242 | 0,5 | 173 | |
| 5 | 16,4 | 775 | 12710 | -0,3 | 232 | 0,1 | 78 | |
| 6 | 13,3 | 100 | 1330 | -3,4 | 340 | 11,6 | 1160 | |
| 7 | 12,9 | 225 | 2903 | -3,8 | 855 | 14,4 | 3240 | |
| 8 | 12,7 | 232 | 2946 | -4,0 | 928 | 16,0 | 3712 | |
| 9 | 9,1 | 60 | 546 | -7,6 | 456 | 57,8 | 3468 | |
| 10 | 7,6 | 125 | 950 | -9,1 | 1138 | 82,8 | 10350 | |
| Итого | х | 3042 | 50785 | х | 7882 | 250,1 | 36920 |
_ ∑ х∙f 50785
х = ------ = ---------- = 16, 7 ( ц/га )
∑ f 3042
R = Хmax – Хmin = 24,1 – 7,6 = 16,5 ( ц/ га )
_ ∑|х – х | · f 7882
d = -------------- = ------- = 2,6 (ц/га )
∑ f 3042
_
∑ ( х – х )∙f 36920
G2= -------------- = --------- = 12,1
∑ f 3042
_
∑ (х – х )·f 36920
G = √ ------------- = √ ----------- =√ 12,1 =3,5 ( ц/га )
∑ f 3042
_
V = (G / х )∙100 % = 3,5 : 16,7 · 100% = 21(%)
Вывод: На основании произведённых расчётов можно сделать следующие выводы: урожайность по 10 хозяйствам района варьирует от 7,6 до 24,1 ц/га. Размах вариации составляет 16,5 ц/га. Средняя урожайность составляет 16,7 ц/га. В целом по данной совокупности хозяйств урожайность отклоняется от среднего уровня на 3,5 ц/га или на 21%. В данном случае коэффициент вариации характеризует небольшую колеблемость урожайности вокруг её средней величины, т.е. совокупность по урожайности можно считать однородной.
Задача на закрепление: Для определения урожайности нового сорта картофеля обследовано несколько участков, показавших следующее распределение по урожайности:
| Урожайность, ц/га | Посевная площадь, га |
| до 42 | 5 |
| 42-44 | 10 |
| 44-46 | 20 |
| 46-48 | 30 |
| 48-50 | 25 |
| св.50 | 10 |
| Итого: | 100 |
Вычислить:
1) среднюю урожайность картофеля;
2) показатели вариации.
Сформулировать вывод.
Контрольные тесты по теме «Средние величины и показатели вариации»
1. Что такое варианта:
а) столбец, из которого рассчитывается средняя величина
б) показатель вариации
в) разность между наибольшим и наименьшим значениями признака
2. Как обозначается частота (весы):
а) х б) f в) G
3. Указать формулу средней арифметической простой:
_ _ _
а) х =∑W/∑(W/х) б) х= n/∑1/х в) х= ∑х/n
4. Указать формулу средней хронологической (простой):
_ n _ 1/2х1+х2+…1/2хn _ ∑х*f
а) х= √ П*х б) х= ---------------------- в) х=--------
n – 1 ∑f
5. Что такое размах вариации:
а) разность между максимальным и минимальным значениями признака
б) соотношение между максимальным и минимальным значениями
признака
в) разность двух вариант
6.Указать формулу коэффициента вариации:
_
∑(х - х) _
а) G = √ ----------- б) V= G/ х *100% в) R = Хмах - Хmin
n
7. Определить среднее квадратическое отклонение, если:
_
∑f =400, ∑(х – х)2f =3600
а) 9 б) 3 в) 12
8. Определить коэффициент вариации, если х =15, G =3:
а) 2 б) 20 в) 40
9. Какую формулу нужно использовать для расчёта среднего уровня, если
даны цены реализации и денежная выручка по пяти предприятиям:
а) среднюю арифметическую простую
б) среднюю арифметическую взвешенную
в) среднюю гармоническую взвешенную
Критерии оценки тестирования:
«5» - 93,8 % - правильных ответов
«4» - 75 %
«3» - 62,5 %; «2» - менее 62,5 %
Задачи на тему: «Средние величины и показатели вариации»
Задача 1. Рассчитать среднюю урожайность зерновых по хозяйству, если дано:
| № бригады | Валовый сбор, ц | Урожайность зерновых, ц/га |
| 1 | 2160 | 18,0 |
| 2 | 2130 | 14,2 |
| 3 | 1344 | 9,6 |
| 4 | 1216 | 12,8 |
Задача 2. Рассчитать среднюю цену реализации молока по предприятию, если дано:
| Квартал | Объём реализации молока, ц | Цена реализации 1ц, руб. |
| I | 2500 | 285 |
| II | 3200 | 315 |
| III | 2900 | 350 |
| IV | 3050 | 290 |
Задача 3. Рассчитать среднегодовую стоимость ОПФ, если дано:
| Дата | Стоимость ОПФ, тыс. руб. |
| 1.01.05 | 17380 |
| 1.04.05 | 14220 |
| 1.07.05 | 11750 |
| 1.10.05 | 9610 |
| 1.01.06 | 8560 |
Задача 4. Рассчитать средний возраст работников предприятия:
| Возраст, лет | Количество чел. |
| 18 | 35 |
| 20 | 18 |
| 23 | 9 |
| 25 | 23 |
Задача 5. Рассчитать среднюю зарплату работника цеха:
| № цеха | Зарплата 1 работника в месяц, руб. | Количество работни- ков, чел. |
| 1 | 1480 | 58 |
| 2 | 1560 | 32 |
| 3 | 1690 | 41 |
| 4 | 1770 | 15 |
| 5 | 1810 | 28 |
Задача 6. Рассчитать средний квалификационный разряд рабочих:
| Разряд | Количество рабочих, чел. |
| 1 | 22 |
| 2 | 53 |
| 3 | 68 |
| 4 | 41 |
Задача 7. Рассчитать средний размер зарплаты работников предприятия:
| Зарплата работников, руб. | Количество работников, чел. |
| 1500-1600 | 5 |
| 1600-1700 | 12 |
| 1700-1800 | 27 |
| 1800-2200 | 18 |
Задача 8. Рассчитать среднюю зарплату работника в бригаде, если дано:
| Ф.И.О. | Размер зарплаты, руб. |
| Иванов Н.Е. | 620 |
| Петров П.А. | 740 |
| Сидоров С.Г. | 810 |
| Рогов П.Н. | 590 |
| Мухин А.А. | 670 |
Задача 9. Рассчитать среднюю цену реализации изделия:
| № предприятия | Цена 1 изделия, руб. | Количество реализованных изделий, шт |
| 1 | 1250 | 50 |
| 2 | 1470 | 68 |
| 3 | 1340 | 44 |
Задача 10. Рассчитать средний балл по экзамену, если дано:
| Балл | Количество оценок |
| 5 | 7 |
| 4 | 13 |
| 3 | 9 |
| 2 | 3 |
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 41; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!