Построение «деревьев событий и причин» в задачах расчета рисков

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Взаимосвязанные и взаимодействующие события и причины образуют иерархические, цепные структуры или системы, графическое изображение которых представляет собой дерево с ветвями. Таким образом, «дерево событий и причин» — это графическая модель различных параллельны и последовательных соединений, которые привели или могут привести к реализации нежелательного (главного) события.

При построении «дерева событий и причин» используют специальные условные обозначения событий (табл.1) и логические элементы (вентили, операторы) (табл.2), которые наглядно иллюстрируют взаимодействие между ними.

Таблица 1 - Условные обозначения, которые используются при построении «дерева событий и причин»

№	Условное обозначение	Название события
1		Главное событие – заглавие дерева событий и причин, заранее определенное нежелательное событие
2		Верхнее событие – промежуточное событие подразумевающее дальнейший анализ.
3		Базисное событие – событие, которое не требует дальнейшего анализа.
4		Трансфер (неописанное продолжение) – событие, которое уже учитывалось в данном дереве событий и причин

Таблица 2 - Основные логические элементы (операторы), которые используются при построении «дерева событий и причин»

№	Условное обозначение	Логический элемент (оператор)
1		«И» - логическое произведение (конъюнкция). Указывает, что для получения данного выхода необходимо выполнить все условия на входе. Перед тем, как произойдет событие Г, должны произойти события А и Б либо АБВ.
2		«ИЛИ» - логическая сумма (дизъюнкция). Указывает, что для получения данного выхода должно быть выполнено хотя бы одно из условий на входе. Означает, что событие Г будет иметь место, если произойдет: для двух - хотя бы одно из событий А или Б (или оба); для трех – А или Б или В (или три события вместе).

Порядок выполнения задания

1. В «дереве событий и причин» инфекционного заболевания гриппом (рис.1) расставить логические элементы (вентили) «конъюнкция» («И») или «дизъюнкция» «ИЛИ»).

Связь событий в «дереве событий и причин» осуществляется с помощью двух основных логических элементов (операторов) «И» и «ИЛИ», которые подразумевают определенные математические действия по вычислению вероятностей.

Расстановка вентилей в «дереве событий и причин» начинается от заранее определенного нежелательного (главного) события к базисным, которые не требуют дальнейшего анализа:

— появлению главного события «ГРИПП» с вероятностью инфекционного заболевания Р_∑ предшествуют верхние события Р₁ и Р₂. Они несовместны в данном случае, потому что не могут появиться вместе (инфицирование гриппом происходит либо в результате эпидемии, либо в результате простуды (ОРВИ)), поэтому вентиль между событиями Р₁ и Р₂ – «ИЛИ» (рис.2);

— инфицирование гриппом в результате эпидемии Р₂ возможно при одновременном выполнении событий Р₃ и Р₄, в этом случае применяем логическое произведение «И»;

— каждое из базисных событий F ₇ и F ₈ отдельно является причиной верхнего события Р₃, поэтому базисные события совместны и соединяются с помощью логического оператора «ИЛИ»;

— для возникновения события Р₄требуется выполнение одного из событий F ₁ или Р₅, которые являются несовместными («инфицирование на работе» исключает «инфицирование дома») и соединяются с помощью логического оператора «ИЛИ»;

— событие Р₅ «инфицирование дома» может иметь место только в случае обязательного выполнения обоих событий F ₂ и Р₆, в этом случае применяем логическое произведение «И»;

— верхнее событие Р₇ и базисное событие F ₃ «ослабленная иммунная система» совместны и соединяются логическим оператором «ИЛИ»; каждое из них не исключает появление другого и влияет на событие Р₆;

— в левой ветви каждое из трех базисных событий F ₄ - F ₆ является причиной появления верхнего события «неудовлетворительный уровень жизни», они считаются совместными и соединяются логическим оператором «ИЛИ»;

— правая ветвь начинается событием Р₁ «простуда (ОРВИ)», вероятность наступления которого определяется логическим произведением уже вычисленных ранее событий Р₆ и Р₃;

— появлению главного события «ГРИПП» с вероятностью инфекционного заболевания Р_∑ предшествуют верхние события Р₁ и Р₂. Они несовместны в данном случае, потому что не могут появиться вместе (инфицирование гриппом происходит либо в результате эпидемии, либо в результате простуды), то есть вероятность главного события Р_∑ определяется логической суммой.

2. Произвести расчет вероятностей верхних событий.

2.1 . «И» - логическое произведение (конъюнкция)

События А и Б называются независимыми, если появление одного их них не влияет на вероятность появления другого.

Вероятность произведения независимых событий вычисляется по формулам

Р(Г) = Р(А) ∙ Р(Б); (1.1)

Р(Г) = Р(А) ∙ Р(Б) ∙ Р(В). (1.2)

2.2 .«ИЛИ» - логическая сумма (дизъюнкция)

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если они не могут появиться вместе (выпадение орла и решки при подбрасывании монеты; попадание и промах при одном выстреле; пожар в присутствии хозяина и без хозяина и т.п.).

К любому числу несовместных событий применяется теорема сложения вероятностей

Р(Г) = Р(А+Б+В) = Р(А) + Р(Б) + Р(В). (1.4)

В случае, когда события совместные, вероятность суммы этих событий выражается формулами

Р(Г) = Р(А+Б) = Р(А) + Р(Б) – Р(А ∙ Б); (1.5)

Р(Г) = Р(А + Б + В) = Р(А) + Р(Б) + Р(В) – Р(АБ + АВ + БВ) + Р(А ∙ Б ∙ В)(1.6)

2.3. С учетом (1.1-1.6) для «дерева событий и причин» (рис. 2) получаем

Р₇ = F ₄ + F ₅ + F ₆ – ( F ₄ ∙ F ₅ + F ₄ ∙ F ₆ + F ₅ ∙ F ₆ ) + F ₄ ∙ F ₅ ∙ F ₆ ; (1.7)

P ₆ = F ₃ + P ₇ – F ₃ ∙ P ₇ ; (1.8)

P ₅ = F ₂ ∙ P ₆ ; (1.9)

P ₄ = F ₁ + P ₅ ; (1.10)

Р₃ = F ₇ + F ₈ – F ₇ ∙ F ₈ ; (1.11)

Р₂ = Р₃ ∙ Р₄; (1.12)

Р₁= Р₆ ∙ Р₃; (1.13)

3. Определить вероятность главного события

P_∑ = P₁+ P₂ (1.14)

4. Определить значение вероятностей минимальных сечений.

Минимальным сечением называют совокупность базисных событий, которая при совместной их реализации приводят к появлению главного события и определяется с помощью логических операторов, которые находятся в точках пересечения составляющих его событий. При этом событиями, которые не входят в минимальное сечение, пренебрегают.

Для расчета заданных минимальных сечений используют определения и зависимости теории вероятностей (1.1- 1.6).

Минимальное сечение, состоящее из событий F ₄ , F _2, F ₈ (рис. 3) определяется выражением

F_min = F _{4 ∙} F _{2 ∙} F _8.(1.15)