Для 7 класса татарской средней

Б. Г. Зив, В. М. Мейлер

ГЕОМЕТРИЯДӘН ДИДАКТИК МАТЕРИАЛЛАР

Татар урта гомуми белем мәктәбенең 7 нче сыйныфы өчен

Казан • «Мәгариф» нәшрияты Москва • «Просвещение» 2002

УДК 372.8:51

ББК 74.262.21

3-54

Зив Б. Г., Мейлер В. М.

Дидактические материалы по геометрии для 7 класса.— М.: Просвещение, 2000.

Охраняется Законом РФ «Об авторском праве и смежных правах». Воспроизведение всей книги или ее части на любых видах носителей запрещается без письменного разрешения издательства.

Переводное издание учебника выпущено в свет по Лицен­зионному договору 3/7 от 1.04.2002 г. Экземпляры переводного издания подлежат распространению исключительно на территории Республики Татарстан, а также среди татарской диаспоры на тер­риториях других субъектов Российской Федерации.

Зив Б. Г., Мейлер В. М.

3-54 Геометриядән дидактик материаллар: Татар урта го­муми белем мәкт. 7 нче с-фы өчен / Русчадан Л. X. Мө- хәммәтҗанова тәрҗ.— Казан: Мәгариф, 2002. — 128 б.: рәс. б-н.

ISBN 5-7761-1027-0

Әлеге ярдәмлектә мөстәкыйль һәм контроль эш күнегүләре, шулай ук 7 нче сыйныф геометрия курсы буенча математик диктантлар бирелә. Бу китап Л. С. Атанасян редакциясендәге «Геометрия 7—9» дәреслегенә кулланма буларак тәкъдим ителә.

©Издательство «Просвещение», 1995 © Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2000 Все права защищены

© Татарчага тәрҗемә, «Мәгариф» нәш­рияты, 2002

КЕРЕШ

Ярдәмлектә 26 мөстәкыйль эш, 5 контроль эш, 4 математик диктант һәм геометриядән имтиханнарга үрнәк мәсьәләләр китерелгән.

Мөстәкыйль эшләр тиңдәшле номер белән М хәрефе ярдә­мендә тамгаланган. Мәсәлән, М—2 икенче мөстәкыйль эш бу­ла. Тәкъдим ителгән мөстәкыйль эшләрнең максаты — уку­чыларның индивидуаль үзенчәлекләрен һәм хәзерлек дәрәҗә­ләрен исәпкә алып, мәсьәләләр чишү эшен оештыруда укыту­чыга ярдәм итү. Моннан тыш, мөстәкыйль эшләрне укучылар­ның белемнәрен һәм күнекмәләрен көндәлек тикшерүдә фай­даланырга була.

Мөстәкыйль эшләр дүрт вариантта бирелгән.

Һәр эшнең беренче һәм икенче вариантларындагы мәсьәлә­ләрне чишү өчен, укучылар минималь программа таләпләре дәрәҗәсендәге белемне кулланырга тиеш.

Өченче һәм дүртенче вариантлар уртача катлаулыктагы мәсьәләләрдән тора. Бу мәсьәләләрне чишү өчен, стандарт ситуациядәге төшенчәләрне танып белү, стандарт шартлардагы яки алардан беразга гына аерылган белемнәрне куллана белү сорала. Өченче һәм дүртенче вариант мәсьәләләре катлаулыгы буенча дәреслектәге төп мәсьәләләрнең күпчелегенә якынча туры килә.

Бишенче һәм алтынчы вариантлар яхшырак хәзерлекле укучылар өчен бирелә. Бу варианттагы мәсьәләләрне чишү — катлаулы ситуацияләрдә белемнәрне куллана белү, җитәрлек югары дәрәҗәдә хисаплау күнекмәләре һәм бердәй рәвеш үзгәртү күнекмәләре булдыруны таләп итә.

Катлаулыгы буенча бу мәсьәләләр дәреслекнең төп һәм өстәмә мәсьәләләренең авырракларына якынча туры килә.

Җиденче һәм сигезенче вариантлар, мәсьәләләрне чиш­кәндә, белемнәрне иҗади куллана белү таләп иткән мәсьәләләр­дән тора. Биредә стандарт булмаган катлаулы геометрик ситуацияләрне анализларга, мөстәкыйль рәвештә яңа фактлар ачарга, алар арасындагы нисбәтләрне ачыкларга туры килә. Катлаулыгы буенча бу мәсьәләләр дәреслекнең « Катлаулырак мәсьәләләр» бүлегенә якынча туры килә.

Җиденче һәм сигезенче вариантлардагы биремнәрне уку­чыларга, алар төп эшне башкарганнан соң, сыйныфтагы барлык укучылар белән беррәттән дәрестә буш калган вакытта бирергә, яки өйдә эшләү өчен мәҗбүри булмаган бирем сыйфатында, яки математика түгәрәкләрендәге дәресләрдә файдаланырга була.

Ярдәмлектә * тамгасы белән билгеләнгән өч мөстәкыйль эш бирелә. Бу эшләрнең беренче һәм икенче вариантла­рындагы мәсьәләләр, катлаулыклары буенча, минималь про­грамма таләпләренә караганда бераз авыррак. Бу эшләрне яхшырак хәзерлекле сыйныфларда үткәрергә тәкъдим ителә.

Ярдәмлектәге мөстәкыйль эшләр саны күпкә артык. Укучылар һәр эш биремнәренең һәрберсен мәҗбүри эшләп барырга тиеш дигән максатны укытучы куймаска тиеш. Әлеге ярдәмлектә бирелгән эшләр җыелмасы укытучыга теләсә кайсы дәрестә, дәреснең максатына, булган уку вакытына һәм укучыларның хәзерлек дәрәҗәсенә бәйле рәвештә кирәкле биремнәрне сайлап алырга мөмкинлек бирер дип күздә тотыла.

Ярдәмлектәге эшләр вариантлар буенча төзелгән.

Биремнәрнең сигез вариантта булуы укытучыга, бер китапны 8 кечкенә китапка бүлеп, һәр китапны аерым укучыга бирергә мөмкинлек бирә.

Контроль эшләр ярдәмлектә тиңдәшле номер белән К хәрефе ярдәмендә тамгалана. Алар дәреслекнең һәр дүрт бүлеге буенча (тиңдәшле рәвештә К—1, К—2, К—3, К—4) һәм бөтен VII сыйныф геометрия курсы буенча (К—5 эше) йомгаклау тикшерү эшләре үткәрү өчен билгеләнгән.

Контроль эшләр дүрт вариантта төзелгән. Барлык вариант­лардагы эшләрнең катлаулыгы якынча бертөрле. Һәр вариант­та ° тамгасы белән билгеләнгән ике бирем бар. Бу мәсьәләләр минималь программа таләпләре дәрәҗәсендә. Алар эшнең мәҗбүри өлешен тәшкил итәләр.

Киләсе өч бирем укучыларның математик белем үсешен тикшерә. Шул вакытта соңгы бирем белемнәрне иҗади кул­лану, стандарт булмаган геометрик конфигурацияләрне ана­лизлау, җитәрлек дәрәҗәдә катлаулы дедуктив фикерләүне таләп итә. Бу бирем * тамгасы белән билгеләнгән.

һәр эшне үткәргәндә, укытучы, укучыларның хәзерлек дәрәҗәсенә һәм эшкә бирелгән вакытка бәйле рәвештә, ^o тамгасы белән билгеләнмәгән мәсьәләләрнең кайсы бу эшкә керүен билгели. Менә, мәсәлән, 45 минутка исәпләнгән К—1 эше өчен биремнәрне болай төзергә була: көчде булмаган сыйныфта 1°, 2°, За яки 1°,2°, 36 биремнәре; көчле сыйныфта 1°, 2°, 36, яки 1°, 2°, 36, 4*, яки 1°, 2°, За, 36, 4* биремнәре.

Бу вакытта «3»ле билгесен алу өчен, 1°, 2° биремнәрен дөрес эшләү җитә. Ә инде «4»ле һәм «5»ле билгесен (яки шундый ике билгене — төп һәм өстәмәне беррәттән алу өчен)^o тамгасы белән билгеләнмәгән биремнәрне башкару кирәкле шарт булып тора.

Тәкъдим ителгән контроль эшләрдән икенче төрлерәк тә файдаланырга була. Математик диктантлар дәреслекнең

тиешле бүлегенә туры килгән тиңдәшле номер белән МД хәрефләре ярдәмендә тамгалана. Мәсәлән, МД—4 — IV бүлек буенча математик диктант.

Математик диктантлар укучыларның теоретик белемнәрен системалаштыру өчен билгеләнә һәм контроль эш алдыннан үткәрелергә мөмкин. Диктант теоретик сораулар җыелма­сыннан һәм теорияне турыдан-туры куллану буенча зур булмаган мәсьәләләрдән гыйбарәт.

Диктантны үткәргәндә, укытучы сорау яки мәсьәлә бирә, ә укучылар берничә минут эчендә аларга җавап бирергә тиеш. Җавап бирү өчен кирәкле вакытны укытучы сорауның катлаулыгына һәм сыйныфның хәзерлегенә карап билгели. Мондый эшкә 30—35 минут вакыт бирелә, шуннан соң сый­ныф белән бергә укытучы куелган сорауларга җавапны тик­шерә һәм җибәрелгән хаталарны күрсәтә.

Укытучы үз ихтыяры буенча диктантның барлык бирем­нәрен түгел, ә ниндидер өлешен генә тәкъдим итә ала.

Ярдәмлек азагында барлык мөстәкыйль эшләргә һәм конт­роль эшләргә җаваплар, шулай ук катлаулырак биремнәргә күрсәтмәләр һәм аларның чишелешләре бирелә.

Авторлар

Дәреслек пунктлары буенча
мөстәкыйль эшләрнең бүленеше

Мөстәкыйль эш	Тема	Дәреслек пункты
М—1	Туры һәм кисемтә	1
М—2	Нур һәм почмак	3,4
М—3	Кисемтәләрне һәм почмакларны ча-
	гыштыру	5,6
М—4	Кисемтәләрне һәм почмакларны үлчәү	7, 8,9
М—5	Перпендикуляр турылар, чиктәш һәм вертикаль почмаклар	11, 12
М—6	Өчпочмак	14
М—7	Өчпочмаклар тигезлегенең беренче
	билгесе	15
М—8	Өчпочмакның медианалары, биссек­трисалары һәм биеклекләре. Тигезь­янлы өчпочмакның үзлекләре	17, 18
М—9	Өчпочмаклар тигезлегенең икенче һәм өченче билгеләре	19, 20
М—10*	Өчпочмакларның тигезлеге	15, 18, 19,20
М—11	Әйләнә	21
М—12	Циркуль һәм сызгыч (линейка} бе-
	лән төзү	22, 23
М—13	Ике турының параллельлек билгесе	24,25
М—14	Параллель турылар төзүнең прак­тик ысуллары. Параллель турылар ак­сиомасы һәм аннан чыккан нәтиҗәләр	26, 28
М—15	Ике параллель туры белән кисүче
	хасил иткән почмаклар турында тео­рема (Параллель турыларның үзлек­ләре)	29
М—16	Параллель турылар	25, 29
М—17	Өчпочмак почмаклары суммасы турында теорема. Кысынкы почмаклы, турыпочмаклы һәм җәенке почмаклы
	өчпочмаклар	30, 31
М—18	Өчпочмакның яклары һәм почмак­лары арасындагы нисбәтләр турында теорема	32
М—19	Өчпочмак тигесезлеге	33
∣M-20	Турыпочмаклы өчпочмакның ике кысынкы почмагының суммасы. 30° почмаклы турыпочмаклы өчпочмак	34
М—21	Турыпочмаклы өчпочмаклар тигез-
	легенең билгеләре	35
М—22	Перпендикуляр һәм авышлык. Нок­тадан турыга кадәрге ераклык. Парал­лель турылар арасындагы ераклык.	37
М—23*	Бирелгән турыдан тигез ераклыкта
	урнашкан нокталар күплеге	37
М—24	Өч элементы буенча өчпочмак төзү	38
М—25*	Өчпочмаклар төзүнең катлаулырак	38
М—26	очраклары
	Йомгаклау кабатлавы

МӨСТӘКЫЙЛЬ ЭШЛӘР

1 иче ВАРИАНТ

М—1 (Рәс.1)

1. АВ һәм CD кисемтәләре кисешә­ләрме?

2. АВ һәм CD турылары кисешә­ләрме?

3. Мноктасын CD турысында ятар­лык итеп, ә АВ кисемтәсендә дә, CD кисемтәсендә дә ятмаслык итеп билгеләгез.

4. CD турысында, А һәм В нокта­лары арасында ятучы 2Vноктасын билгеләгез. Мондый нокта ничек атала?

М—2

1. 1) 2 нче рәсемдә О ноктасыннан башланган ничә нур сурәтләнгән?

2) Әлеге рәсемдә ничә почмак сурәтләнгән?

3) ОМ нурын АОМ почмагы җәен­ке булырлык итеп төзегез.

2. Почмак сызыгыз. Почмакның ягында ятучы М ноктасын, поч­макның эчке өлкәсендә ятучы N ноктасын һәм аның тышкы өлкә­сендә яткан Е ноктасын билге­ләгез.

М—3

1. 3 нче рәсемдә CB= BE, DE>AC. АВҺәм DB кисемтәләрен чагыштырыгыз. 2. 4 нче рәсемдә Z AOB= Z DOC. Рәсемдә тигез почмаклар та­гын бармы?

 

 

1. т турысында М, 2Уһәм К нокталары ята, өстәвенә MN= = 85 мм, Λ7Γ=1,15 дм. МК кисемтәсенең озынлыгы санти­метрларда нинди булыр?

2. Z AOB= 90°. ОС нурын ЛОСпочмады 45° ка тигез булырлык итеп үткәрегез (ике очракны карагыз).

1) СОВ почмагы күпмегә тигез?

2) СОВпочмагы нинди: кысынкымы, җәенкеме, әллә җәел­гән почмакмы?

3) ОС нуры АОВ почмагының биссектрисасы буламы?

М—5

1. Чиктәш почмаклар 4:1 ча­гыштырмасында. Бу почмак­ларны табыгыз.

2. 5 нче рәсемдә а һәм Ъ туры­лары перпендикуляр, Z 1 = 40°.

2, 3 һәм 4 почмакларын та­быгыз.

М—6

1. Δ МЕР = Δ ABC, MP = AC, Z E= 45⁰. В почмагын табыгыз.

2. 6 нчы рәсемдә BD= DC. АВСҺ&м. ABD өчпочмакларының периметрларын чагыштырыгыз.

В

AD                                            С

Рәс. 6

1. 7 нче рәсемдә BD= АС, ОВ^ ОС. ΔAOB= Δ COD икәнен ис­батлагыз.

2. 8 нче рәсемдә ОА = ОС, Z. 1 =Z 2. AB= ВС икәнен исбатлагыз.

 

М—8

1. 9 нчы рәсемдә сурәтләнгән өчпочмакларның барысы өчен дә уртак булган биеклекне үткәрегез. Бу өчпочмакларның кайсында бу биеклек өчпочмакның тышында урнаша?

2. 10 нчы рәсемдә АВ= ВС, BE— ABC өчпочмагының медиа­насы. Z ABE= 40^o30'. Z ABC ъш һәм Z FECiλh табыгыз.

1. 11 нче рәсемдә AB =BC,AK = KC, AAKE = ΛPKC. ΔAKE = = Δ КРС икәнен исбатлагыз.

2. 12 нче рәсемдә AS =2?С һәм AD = DC. jBZ? кисемтәсе ABC почмагының биссектрисасы булуын исбатлагыз.

 

	Рәс. 13

М—10

ABC һәм AJ5₁C₁ өчпочмакларында AB = A₁B₁, Z. A = Z. A_χ, Z,B = = Z. B_χ, ә D пәм Z>₁ нокталары тиңдәшле рәвештә АС һәм A_χC_χ якларында ята, өстәвенә CD= C_χD_χ. Δ BDC = Δ B_χD_χC_χ икәнен исбатлагыз. BD һәм B_χD_χ кисемтәләрен чагыштырыгыз.

М—11

1. 13 нче рәсемдә AS һәм CD хордалары тигез. Z АОВ= = 2. COD икәнен исбатла­гыз.

2. Кисемтә һәм нур сызы­гыз. Бирелгән нурда аның башлангычыннан бирел­гән кисемтәдән 2 тапкырга озынрак булган кисемтә салыгыз.

М—12

1. Кысынкы АвСһәм MONпочмаклары бирелгән. AS ягыннан ABC почмагының тышкы өлкәсенә MON почмагына тигез булган почмак салыгыз.

2. Туры почмак һәм аның биссектрисасын төзегез.

1. а һәм Ъ турылары параллельме (рәс. 14), әгәр:

1) Z 1 = Z3;

2) Z 1 = Z 4;

3) Z 1 + Z 2 = 180°;

4) Z 5 = Z 6 = 90° булса?

2. 15 нче рәсемдә Δ ABC= Δ CDE, BC= DE. АВ || СРикәнен ис­батлагыз.

 

М—14

1. Почмаклык һәм сызгыч ярдәмендә В һәм D түбәләре аша (рәс.16) ЛСга параллель а һәм Ъ турыларын үткәрегез, α∣∣b булырмы? Аңлатыгыз.

2. 17 нче рәсемдә d турысы Ъ турысын кисеп үтә. Бу туры а турысын кисеп үтәрме? Ни өчен?

 

Рәс. 16                                                 Рәс. 17

1. Ике параллель туры өченчесе белән кисешкәндә хасил булган эчке якташ почмакларның берсе икенчесеннән 3 тапкырга зуррак. Бу почмаклар күпмегә тигез булыр?

2. Турыпочмаклы АСВөчпочмагы (Z С= 90°) бирелгән, ЕЕАС, FEAB, өстәвенә EF∖∖CD, ЕК— AEFөчпочмагының биссек­трисасы. АЕК почмагы күпмегә тигез булыр?

М—16

1. 18 нче рәсемдә бирелгәннәрдән файдаланып, 1, 2 һәм 3 почмакларын табыгыз.

2.

Рәс. 19

19 нчы рәсемдә ∠4₁22₁1|AB, A_iK_l — MA_lB₁ почмагының бис­сектрисасы, АК— МАВ почмагының биссектрисасы. Z MA_iK_l = = Z МАК икәнен исбатлагыз. A₁K₁ һәм АК турылары кисе­шергә мөмкинме?

М—17

1. Өчпочмакларның почмаклары 60°13' , 69⁰48', 50° ка тигез була аламы?

2. Өчпочмакның тышкы почмагы аның белән чиктәш булма­ган почмаклардан тиңдәшле рәвештә 60° һәм 50° ка зуррак. Бу өчпочмак кысынкыпочмаклы буламы?

М—18

1. ABC һәм МРК өчпочмаклары бирелгән, АВ= МР= 5 см, АС= МК= 3 см, Z A = Z М. В һәм К почмакларын чагыш­тырыгыз.

2. ABC өчпочмагында Z A = Z С, М— ЛСягының уртасы. АМВ почмагын табыгыз.

1. 12 см озынлыктагы чыбыктан ян ягы 3 см булган тигезьян­лы өчпочмак бөгеп ясарга буламы?

2. ABC өчпочмагының АВ һәм АС якларында D һәм Е нок­талары билгеләнгән, өстәвенә Dноктасы — АВкисемтәсенең уртасы, АЕ= 12 см, DE= 1 см. АВ кисемтәсенең озынлыгы 27 см га тигез була аламы?

М—20

1. 20 нче рәсемдә Z BAD= Z. BCD = = 90^o, Z ADB =15⁰, Z BDC= 75°. АВ || DC булуын исбатлагыз.

2. ABC почмагында Z С = 60°, Z В = 90^o. ВВ_} биеклеге 2 см га тигез. ВА ны табыгыз.

М—21

1. 21 нче рәсемдә әйләнәнең АВ һәм CD диаметрлары перпенди­куляр турыларда ята, MO = ЕО. АМ= ВЕЪулуъш исбатлагыз.

2. Җәелмәгән А почмагы эчендә D ноктасы бирелгән. Бу ноктадан почмакның якларына DB һәм DC перпендикулярлары үткәрел­гән. Z ADB = Z ADC. АО нуры А почмагының биссектрисасы бу­луын исбатлагыз.

Рәс. 21

М—22

1. Ике параллель туры а һәм b бирелгән, а турысында А һәм В нокталары бирелгән, алардан b турысына АС авышмасы һәм BD перпендикуляры үткәрелгән. АС һәм BD кисем­тәләрен чагыштырыгыз.

2. ABC өчпочмагында Z С= 30°, АС= 10 см, ВС= 8 см. А түбә­се аша ВС га параллель булган а турысы үткәрелгән. Табыгыз:

а) В ноктасыннан АС турысына кадәрге ераклыкны;

б) а һәм ВС турысы арасындагы ераклыкны.

1. Ниндидер а турысы буенча АВ                              ^λ∙∙

кисемтәсенең уртасы АВ һәм а

турылары теләсә нинди вакыт _______________________ j___________________

моментында үзара перпендику-                                                                   _a

ляр булырлык итеп күчә (рәс. 22). А һәм В нокталарының кү-         в--

чешеннән хасил булган фигура нәрсәдән гыйбарәт? ^Рәс- 22

2. Җәелмәгән ABC почмагы һәм QP кисемтәсе бирелгән. ABC почмагының ВА ягында ВС турысыннан QP ераклыгына ераклашкан ноктаны төзегез.

М—24

1. МРКөчпочмагы бирелгән. Z A = Z М, AB= MP, AC= 2МК булган ABC өчпочмагы төзегез.

2. Бирелгән кисемтәдән ягы ике тапкырга кимрәк булган тигезьянлы өчпочмак төзегез.

М—25*

1. Ян ягы һәм нигезенә үткәрелгән медианасы буенча тигезь­янлы өчпочмак төзегез.

2. ABC өчпочмагы бирелгән. MP = 2AB, Z. M = Z. А, ә КЕ биеклеге ABC өчпочмагының CD биеклегенә тигез булган МРК өчпочмагы төзегез.

М—26

Рәс. 23

23 нче рәсемдә Z,BAC= 50⁰, Z АВС= = 80⁰, Z DBC= 50°, О ноктасы — АВ һәм МС кисемтәләренең уртасы.

1) ЛВС өчпочмагының тигезьянлы булуын исбатлагыз.

2) BD һәм АС турыларының ки­сешмәвен исбатлагыз.

3) Z МАВ ын табыгыз.

4) AM һәм АС кисемтәләрен ча­гыштырыгыз.

2 нче ВАРИАНТ

М—1 (Рәс. 24)

1. KL турысы .йУкисемтәсен кисеп үтәме?

2. KL турысы EF турысын кисеп үтәме?

3. EFтурысында яткан, ләкин KL турысында ятмаган А ноктасын билгеләгез.

4. Бер ук вакытта -й'/’кисемтэсендэ һәм LK турысында яткан нокта­лар буламы?

М—2

1. 1) 25 нче рәсемдә башлангычы О ноктасында булган ничә нур сурәтләнгән?

2) Бу рәсемдә ничә почмак сурәт­ләнгән?

3) ОА нурын AON почмагы җәел­гән булырлык итеп сызыгыз.

2. Почмак сызыгыз, а) Барлык нок­талары почмакның эчке өлкә­сендә яткан; б) барлык нокталары почмакның тышкы өлкәсендә ят­кан; в) нокталарының бер өлеше почмакның эчке өлкәсендә яткан кисемтә сызыгыз.

М—3

1. 26 нчы рәсемдә EO= NO, OK > OL. ЕКҺэы NL кисемтәләрен чагыштырыгыз.

2.27 нче рәсемдә Z MOL = Z KON. Рәсемдә тагын тигез почмак-

	Рәс. 28

		F
	Рас. 29

1. А, В һәм (7нокталары а турысында ята, өстәвенә АВ= 5,7 м, ВС = 730 см. АС кисемтәсенең озынлыгы дециметрларда нинди булыр?

2. ZAOB — 120°. ОСнурын ЛОСпочмагы 60° ка тигез булырлык итеп үткәрегез (ике очракны карагыз).

1) СОВ почмагы күпмегә тигез?

2) СОВпочмагы нинди: кысынкымы, җәенке яки җәелгәнме?

3) ОС нуры АОВ почмагының биссектрисасы буламы?

М—5

1. Чиктәш почмакларның берсе икен­чесеннән 40° ка зуррак. Бу почмак­ларны табыгыз.

2. 28 нче рәсемдә а һәм b турылары перпендикуляр, Z 1=130°. 2, 3 һәм 4 почмакларын табыгыз.

М—6

1. ΔAPC= Δ,MFB, Z P= Z М, FB =17 см. АС ны табыгыз.

2. 29 нчы рәсемдә ED= DK. DFK һәм EFK почмакларының периметрларын чагыштырыгыз.

1. 30 нчы,рәсемдә A4₁ = CC_l, BC= B_lC_l. ВС Ү AC, B_lC₁ ±A_lC_l. Δ АСВ = Δ A_iC_lB₁ икәнен исбатлагыз.

2. 31 нче рәсемдә Z AB = Z ВС, Z 1= Z 2. Z ADB= Z CBD икә­нен исбатлагыз.

 

М—8

1. 32 нче рәсемдә сурәтләнгән барлык өчпочмаклар өчен уртак биеклекне үткәрегез. Кайсы өчпочмаклар өчен бу биеклек өчпочмак эчендә ята?

2. 33 нче рәсемдә AB = ВС, Z FEC= 90^o, Z.AE— 10 дм,

Z ABC = 130ⁿ30^,. АС ны һәм Z ЕВС ын табыгыз. ............................... _............ -

1. 34 нче рәсемдә AB = ВС, MA = PC. Z. AMO = Z ОРС. Δ AMO = = Δ ОРСакэпен исбатлагыз.

2. 35 нче рәсемдә AB= CD, BC= AD. Z 1 = Z 2 икәнен исбатлагыз.

	Рәс. 34

	Рәс. 35

 

	Рәс. 36

М—10

ABC һәм A_λB_λC_γ өчпочмакларында AB = A₁B_v AC = A₁C₁, ∕,A=∕,A_v D һәм D₁ нокталары АС һәм -4₁C₁ якларында ята, Z DBC= Z D_χB₁C₁. Δ BDC= Δ B₁D_lC₁ икәнен исбатлагыз. BDC һәм B_lD_rC_l почмакларын чагыштырыгыз.

М—11

1. 36 нчы рәсемдә Z MON=A QOP. MN һәм QP хордаларының ти­гез булуын исбатлагыз.

2. Бирелгән турыда, нокталар ара­сындагы ераклык бирелгән ки­семтәдән ике тапкыр зуррак бу­лырлык итеп, ике нокта билге­ләгез.

1. Кысынкы MNK почмагы һәм җәенке ЛВС почмагы бирел­гән. АВ ягыннан ABC өчпочмагының эчке өлкәсенә MNK почмагына тигез булган почмак салыгыз.

2. Бирелгән ике кисемтәнең урталарын тоташтыручы кисемтә сызыгыз.

М—13

1. 37 нче рәсемдәге а һәм Ъ турылары параллельме, әгәр:

1) Z 1 =Z 2 = 90°;                   3)Z4=Z5;

2) Z 3 = Z 4;                             4)Z4 + Z6 = 180° булса?

2.38 нче рәсемдә ΔABD=ΔECF, AD= CF. AB∖∖ EFбулуын исбатлагыз.

 

М—14

1. Почмаклык һәм сызгыч ярдәмендә А һәм С нокталары аша BD га параллель булган т һәм п турыларын үткәрегез (рәс. 39). т || п булырмы? Җавапны аңлатыгыз.

2. 40 нче рәсемдә α±c һәм Ыс. d турысы а турысын кисеп үтә. Бу туры Ъ турысын кисеп үтәрме? Ни өчен?

1. Ике параллель туры өченчесе белән кисешкәндә хасил булган эчке берьяклы почмакларның берсе икенчесеннән 64° ка зуррак. Бу почмаклар күпмегә тигез булыр?

2. Турыпочмаклы MEF(Z, Е= 90°) өчпочмагы бирелгән, СЕМЕ, DEMF, өстәвенә CD∖∖EF, KEMD, Z KCD= 40°. МСКпочмагы күпмегә тигез?

М—16

1. 41 нче рәсем бирелгәннәре буенча 1, 2 һәм 3 почмакларын табыгыз.

2.42 нче рәсемдә DE∖∖AC, ЕМ—DEC почмагының биссек­трисасы, CN— ВСК почмагының биссектрисасы. Z МЕС = = Z АҮТАбулуын исбатлагыз. Л/ЕЪәм βVтурыларының уртак нокталары бармы?

	Рәс. 41

	Рәс. 42

 

 

М—17

1. Өчпочмакның тышкы почмагы 150° ка тигез. Аның ике почмагы 90⁰31' һәм 58⁰42' ка тигез була аламы?

2. Өчпочмакның беренче почмагы икенчесеннән 30° ка зуррак. Бу өчпочмак турыпочмаклы буламы?

М—18

1. ABC һәм МРК өчпочмаклары бирелгән, АС = МК , ZA = = Z М= 60°, Z C=Z К= 50°. АТ? һәм Т-ТГны чагыштырыгыз.

2. ABC өчпочмагында Z A = Z В, СЕ — биссектриса, АЕ һәм BE кисемтәләрен чагыштырыгыз.

1. 15 см озынлыктагы чыбыктан нигезе 8 см булган тигезьян­лы өчпочмак бөгеп ясарга буламы?

2. ABC өчпочмагының ЛБягы дәвамында В түбәсе артында D ноктасы билгеләнгән, АС= 18 см, BC= 5 см. AD кисемтәсе 12 см га тигез була аламы?

М—20

1. 43 нче рәсемдә Z AOD = 90°, Z OAD = 20^o, Z OCB= 70^o. AD = = СВ булуын исбатлагыз.

2. ABC почмагында ZC= 90^o, CC_x — биеклек, CC_γ =5 см, ВС= 10 см. САВ почмагын табыгыз.

М—21

1.44 нче рәсемдә О—әйләнәнең үзәге. АВ кисемтәсенең очлары аша АВ турысына перпендику­ляр булган АОҺәм ВС турылары үткәрелгән. Z ADO =Z ОСВ бу­луын исбатлагыз.

2. Ике турыпочмаклы ABC һәм ABD өчпочмакларының уртак АВ гипотенузасы бар, һәм алар аннан төрле якта яталар. AP= ВС булуы билгеле. Z CAB=Z DBA икәнен исбатлагыз.

Рәс. 43

М—22

1. а турысыннан төрле якта һәм аннан тигез ераклыкта ур­нашкан А һәм В нокталары бирелгән. А ноктасыннан а турысына АС авышмасы, ә В ноктасыннан BD перпен­дикуляры үткәрелгән. АС һәм BD кисемтәләрен чагыш­тырыгыз.

2. МКР өчпочмагында ТИР ягы 20 см га тигез. К ноктасыннан МРтурысына кадәр ераклык ± КРга. тигез. Мноктасы аша КР турысына параллель булган х турысы үткәрелгән.

а) МРК почмагын;

б) х һәм КР турылары арасындагы ераклыкны табыгыз.

М—23*

1. ABC өчпочмагының АВ ягы шул якта яткан ниндидер туры буй­лап күчә (рәс. 45). Стүбәсе хасил иткән фигура нәрсәдән гыйба­рәт?

2. ABC өчпочмагы һәм ВС ягында ятучы М ноктасы бирелгән. АС турысыннан М ноктасы нинди ераклыкта урнаш­кан булса, АВ ягында шул ераклыкта урнашкан нокта тө­зегез.

М—24

1. МРКөчпочмагы бирелгән. Z A =Z М, Z B=Z К, АВ = 2МК булган ABC өчпочмагы төзегез.

2. Ян ягы бирелгән кисемтәгә тигез, ә нигезе ян ягыннан

2 тапкырга кечерәк булган тигезьянлы өчпочмак төзегез.

М—25*

1. Нигезенә үткәрелгән биссектрисасы һәм нигезенә каршы ятучы почмак буенча тигезьянлы өчпочмак төзегез.

2. МКРөчпочмагы бирелгән. АВ = МК, AC= 2МР, CZ? биеклеге МРК өчпочмагының РЕ биеклегенә тигез булган ABC өч­почмагы төзегез.

М—26

46 нчы рәсемдә Z ЕМК = 40°, Z МКЕ= 70°, МСҺәм ЕК турыла­рының уртак нокталары юк, BE һәм КА кисемтәләре ЕМК өч­почмагының биеклекләре була.

1) ЕМК өчпочмагының тигезь­янлы булуын исбатлагыз.

2) CΛffi^,почмагын табыгыз.

3) KA = BE булуын исбатлагыз.

4)

Рәс. 46

MB һәм АК кисемтәләрен ча­гыштырыгыз.

3 нче ВАРИАНТ

М—1 (Рәс. 47)

1. Очлары А, В, С һәм D нокта­ларында булган ничә төрле ки­семтә бар?

2. АВ һәм CD турылары кисе­шәме?

3. В һәм С нокталары арасында кайсы нокта ята: А мы яки £>мы?

4.

AD турысында яткан, ләкин ВС кисемтәсендә ятмаган М нокта­сын билгеләгез.

М—2

1. 1) 48 нче рәсемдә ничә җәелмәгән һәм ничә җәелгән почмак сурәтләнгән?

2) Башлангычлары В ноктасында булган һәм берсе АС ну­рын кисеп, ә икенчесе аны кисмичә үткән нурлар үткәрегез.

2.

М—3

MEF почмагы һәм аның эчке өлкәсендә яткан А ноктасы бирелгән (рәс.49). Башлангычы Е ноктасында булган нур үткәрегез, өстәвенә А ноктасы хасил булган ике почмакның

1. а турысында А ноктасыннан бер үк юнәлештә ике кисемтә АВ һәм AC(AC> АВ) салынган. Бу турыда, АС= BE булырлык итеп, СЖкисемтәсе салыгыз. СЕкисем­тәсе озынлыгы турында нәрсә әй­тә аласыз?

2. Z AOC=Λ BOD, ОМ— Z. АОВтяц биссектрисасы. ОМ — Z. COD ның биссектрисасы булуын исбатлагыз.

1. 8 дм га тигез булган MN кисемтәсендә, MN кисемтәсенең уртасы С ның төрле ягында, А һәм В нокталары ята, СА — = 7 см, СВ= 0,24 м. ЛУУҺәм .ВТУкисемтәләренең озынлыгын децимертларда табыгыз.

2. Z АОВ= 80°. ОС нуры бу почмакны, Z AOC= 4Z СОВбулыр­лык итеп, ике почмакка бүлә.

1) Бу почмакларны табыгыз. 2) ООнуры DOB почмагының биссектрисасы булганда, DOB почмагын табыгыз. Бу почмак нинди була: кысынкымы яисә җәенкеме?

М—5                                                                    В

1. О ноктасынннан ОА, ОВ һәм ОС нурлары үткәрелгән, өстә­венә ОВкОА (рәс. 51). АОВ

һәм ВОС почмакларының бис-                                                         S'

сектрисалары хасил иткән поч-                                               .S

мак 75° ка тигез. АОВ, BOC∖∖⅛↑λ A                               /

А ОС почмакларын табыгыз.                                           О ^pθ^c∙ 51

2. Ике туры кисешкәндә җәелгән почмактан кечерәк дүрт почмак хасил булган. Бу почмакларның берсе икенчесенең яртысыннан 60° ка зуррак булса, әлеге почмакларны та­быгыз.

М—6

1. ΔABC= AADC, Z АВС= 70“ (рәс. 52). MDC почмагын табыгыз.

2. 53 нче рәсемдә AB = ВС = AC, AD = CD. ABC өчпочмагының периметры 36 см га тигез, ә ADCөчпочмагының периметры 40 см. Бу өчпочмакларның озынлыгын табыгыз.

 

1. 54 нче рәсемдә Z BDC = Z BEA, AD = EC, BD = BE. Δ ABD = = Δ ВЕС икәнен исбатлагыз. Z BCE= 40° булса, Z BAD күп­мегә тигез?

2. 55 нче рәсемдә AB = AD, АС = АЕ һәм Z BAD= Z САЕ. ВС һәм DE кисемтәләре, MCA һәм КЕА почмаклары тигезме?

 

М—8

1. 56 нчы рәсемдә Z ADB = Z CDB, AD = DC. Z. ВАС = Z BCA һәм BD1 AC булуын исбатлагыз.

2.57 нче рәсемдә AB = ВС һыл АО = ОС, OK—ВОС почма­гының биссектрисасы. AOK почмагын табыгыз.

	Рәс. 56

	Рәс. 57

1. 58 нче рәсемдә AM = МС, АЕ= =DC, Z BDA =A FEC. AB = FC булуын исбатлагыз.

2. ЛСягында, нигез буларак, аның бер ягында ике тигезьянлы ABC һәм АМС өчпочмаклары төзел­гән. ВМ турысы ЛСягын аның уртасыннан кисеп үтүен исбат­лагыз.

М—10

Нигезе ЛСбулган тигезьянлы ABC өчпочмагы бирелгән. £>һәм Е нокталары тиңдәшле рәвештә АВ һәм ВС якларында ята, AD= СЕ. АЕ ны DC турысы О ноктасында кисеп үтә. АОС өчпочмагының тигезьянлы булуын исбатлагыз.

М—11

1. 59 нчы рәсемдә AB = CD, Е һәм F нокталары — АВ һәм CD хор­даларының уртасы. OE=OF⅛y- луын исбатлагыз.

2. Бирелгән ТИ ноктасы аша узучы һәм үзәге бирелгән а турысында ятучы (Mi а) бирелгән радиус белән әйләнә төзегез.

М—12

1. Кысынкыпочмаклы ирекле ABC өчпочмагы төзегез һәм бу

өчпочмакның BD биеклеге белән AL биссектрисасының кисешү ноктасын төзегез. _ι

2. Бирелгән нурдан бирелгән почмакның енә тигез булган почмак салыгыз.

1. 60 нчы рәсемдә AB = ВС, Z. A = 60°, CD— ВСЕ почмагының биссектрисасы. AB || CD булуын исбатлагыз.

2.61 нче рәсемдә AB= CD һәм BC=AD. BC∖∖AD булуын исбатлагыз.

	Рәс. 60
			Рәс. 61

 

М—14

1. Почмаклык һәм сызгыч ярдәмендә А, В һәм С түбәләре аша I турысына параллель булган a, Ъ һәм с турылары үткәрегез. Бу турылар үзара параллель буламы? ЛСтурысы I турысын кисеп үтәме? Җавапны аңлатыгыз (рәс. 62).

2. 63 нче рәсемдә Z1 = Z2, Z2 = Z3. α∣∣c булуын исбатлагыз.

 

М—15

1. 64 нче рәсемдә ЛС||1Шһәм АС= = AB, Z MAC= 40^o. Z CBD ын та­быгыз.

2. CD һәм АВ кисемтәләре, АО = = ОВ, АС ||DBбулырлык итеп, О ноктасында кисешә, ДЛОС = = Δ DOB булуын исбатлагыз.

1. d турысы а һәм b турылары белән кисешкәндә хасил булган почмакларның берсе 50° ка тигез (рәс. 65). Калган җиде почмакның берсе 20° ка тигез була аламы? Ни өчен?

2. 66 нчы рәсемдә BA ∣∣ZZE Z BCD= Z B+ Z D икәнен исбатлагыз.

 

М—17

1. ABC өчпочмагында AB=BC, Z,B=SQ^o. А һәм С поч­макларының биссектрисалары М ноктасында кисешәләр. АМСпочмагын табыгыз.

2. ABC өчпочмагында ¢7 почмагы 15° ка тигез. АС ягында D ноктасы Z ABD = ∖2', Z ADB=⅛Q° булырлык итеп билгелән­гән. ABC өчпочмагының турыпочмаклы булуын исбатлагыз.

М—18

1. ABC өчпочмагында Z С= 90°. М ноктасы АС ягында ята. ВС < ВМ < АВ икәнен исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында AB = ВС. АС һәм ВС якларының дә­вамында С түбәсе артында тиңдәшле рәвештә 2?һәм 77 нок­талары билгеләнгән. DE∖∖AB булуы билгеле. CDE өчпоч­магының тигезьянлы булуын исбатлагыз.

М—19

1. Ике әйләнәнең үзәкләре арасын­дагы ераклык 10 см га тигез (рәс. 67). Үзәге (Лдә булган әй­ләнәнең радиусы 5 см га тигез булуы, ә үзәге O₁ дә булган әй­ләнәнең радиусы 3 см га тигез булуы мөмкинме?

2. ABD һәм BCD өчпочмаклары BD турысының төрле якларын­да урнашкан, Z,ABD=∕LBDC,

Z ADB = Z DBC. BD+ ВС > АВ булуын исбатлагыз.

	Рәс. 69

1. 68 нче рәсемдә Z ВАС =Z. DEC= = 90^o, Z ASC=55^o, Z CDE = 35°. ВС ± CD булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында Z С= 90°, В түбәсе янындагы тышкы почмак 150° ка тигез. AA₁— биссектриса, √L4₁ = 20 cm. Λ₁C^,Hbi табыгыз.

М—21

1. ABC өчпочмагының АВ һәм ВС якларында тиңдәшле рә­вештә D һәм 7?нокталары билгеләнгән. Бу нокталардан АС турысына DK һәм ЕР перпендикулярлары үткәрелгән, өстәвенә АК= РС\\эм DK= РЕ. АВ = ВСбулуын исбатлагыз.

2. ,А£?Сһәм ∠4₁27₁C₁ өчпочмаклары тигез, өстәвенә ВС= В_xC₁, ВА — В_lA ₁.Өчпочмакларның 2?£>һәм B↑D_x биеклекләренең тигез булуын исбатлагыз.

М—22

1. А ноктасыннан ниндидер турыга ике авышма АВ һәм АС һәм, D ноктасы ВС кисемтәсендә ятарлык итеп, AD пер­пендикуляры үткәрелгән, Z DAC= 45°. АВ һәм DC кисем­тәләрен чагыштырыгыз.

2. АВ кисемтәсенең А һәм В очлары аша тиңдәшле рәвештә параллель а һәм b турылары үткәрелгән. А2?һәм b турылары перпендикуляр түгел. С— АВ кисемтәсенең уртасы.

а) Сноктасы а һәм b турыларыннан тигез ераклыкта ятуын исбатлагыз.

б) С ноктасыннан а һәм b турыларына кадәрге ераклык­ларның суммасы бу турылар арасындагы ераклыкка тигез булуын исбатлагыз.

М—23*

1. 69 нчы рәсемдә А һәм В нокталары CD турысыннан, ә А һәм D нок­талары ВС турысыннан тигез ерак­лыкта урнашкан. АВ = CD булуын исбатлагыз.

2. а турысы, бу турыда ятмаучы А ноктасы, һәм А ноктасыннан а ту­

рысына төшерелгән перпендикулярдан зуррак булган ОР кисемтәсе бирелгән, а турысыннан һәм А ноктасыннан ОР кисемтәсенә тигез ераклыкта урнашкан нокталарны төзегез.

1. Җәелмәгән почмак һәм кисемтә бирелгән. Бер ягы икенчесеннән 2 тапкырга зуррак һәм бирелгән кисемтәгә тигез булган, ә бу яклар арасындагы почмак бирелгән почмакка тигез булган өчпочмак төзегез.

2. Нигезе һәм тигез булмаган ике ягының аермасы буенча кысынкыпочмаклы өчпочмак төзегез.

М—25

1. Катеты һәм икенче катетка үткәрелгән медиана буенча турыпочмаклы өчпочмак төзегез.

2. Нигезе һәм бу нигезгә каршы ятучы почмак буенча ти­гезьянлы өчпочмак төзегез.

М—26

70 нче рәсемдә AADB=ADBC^z= 90°, AD=BC, ZABD=60^o.

1) AD һәм ВС турыларының ки­сешмәвен исбатлагыз.

2) BD = 4 булса, AD кисемтәсенең озынлыгы нинди бөтен саннар ара­сында чикләнгән булыр?

3) DE — ADB өчпочмагының ме­дианасы булса, AED өчпочмагының тигезьянлы булуын исбатлагыз.

4 иче ВАРИАНТ

М—1 (Рәс. 71)

1. Очлары Е, F, М һәм N нок­таларында булган ничә төрле ки­семтә бар?

2. EN һәм FM турылары кисе­шәме?

3. Е һәм F нокталары арасында нокталарның кайсы ята: А мы яки -Үмы?

4. MN кисемтәсендә яткан, ләкин /^кисемтәсендә ятмаган В нок­тасын билгеләгез.

5. А ноктасы аша узып, ///’һәм MN турыларын кисеп үтүче, ләкин FM кисемтәсен кисмәүче туры үткәрегез.

М—2

1. 1) 72 нче рәсемдә ничә җәелмәгән һәм ничә җәелгән почмак сурәтләнгән?

2) CD нуры сызыгыз, башлангычлары А ноктасында булган ике нур үткәрегез; аның берсе CD нурын кисеп үтсен, ә икенчесе аны кисмәсен.

2. EKL почмагы һәм аның эчке өлкәсендә яткан М ноктасы бирелгән (рәс.73). //ноктасыннан, тагын ике почмак хасил булырлык итеп, нур үткәрегез, өстәвенә Мноктасы аларның эчке өлкәсендә ятмасын.

	Рәс. 72                                                            Рәс. 73

	Рәс. 75

1. т турысында А ноктасыннан, АС > АВ булырлык итеп һәм А ноктасы В һәм С нокталары ара­сында ятарлык итеп, ике кисем­тә үткәрелгән. С ноктасыннан, ВМ = АС булырлык итеп, CM кисемтәсе салынган. ТИС һәм АВ кисемтәләрен чагыштырыгыз.

2. 74 нче рәсемдә Z.AOC=^ι∕.BOChaiΛ Z AOE= Z BOF. ОС нуры ЕОК почмагының биссектрисасы бу­ламы?

М—4

1. М ноктасы — озынлыгы 1,2 м га тигез булган EF кисем­тәсенең уртасы. М ноктасыннан, аның төрле якларында, ике кисемтә МР= 1,6 дм һәм Λf⅛>=40 см салынган. ЕР һәм QP кисемтәләренең озынлыгын сантиметрларда та­быгыз.

2. Z АОВ = 100^o. OF нуры бу почмакны, Z ВОЕ = 3 АОЕ бу­лырлык итеп, ике почмакка бүлә.

1) Бу почмакларны табыгыз.

2) ОЕ нуры FOB почмагының биссектрисасы булырлык итеп, OF нуры үткәрелсә, ЛОТ? почмагын табыгыз. Бу поч­мак нинди була: кысынкымы яисә җәенкеме?

М—5

1. О ноктасынннан ОА, ОВҺәм ОС нурлары үткәрелгән (рәс. 75), өстәвенә ОВ1. ОА. АОВ һәм ВОС почмакларының биссектриса­лары хасил иткән почмак 20° ка тигез. АОВ, АОС һәм СОВ поч­макларын табыгыз.

2. Ике туры кисешкәндә җәелгән почмактан кечерәк дүрт почмак хасил булган. Аларның ике поч­магының градуслы үлчәме 4 : 5 чагыштырмасында булса, бу поч­макларны табыгыз.

1. 76 нчы рәсемдә Δ ABD= Δ CDB, Z FAB= 160^o. ВСВпочмагын табыгыз.

2.77 нче рәсемдә AB = ВС һәм ВС = BD = DC. ЛВС өчпоч­магының периметры 42 см га тигез, ә АС= 12 см. ВВС өч­почмагының периметрын табыгыз.

	Рәс. 77

 

М—7

1. 78 нче рәсемдә Z ABE= Z ECD, BE = СЕ, ВК = LC. ∖BEK = = Δ ELCикәнен исбатлагыз. Z ВКЕ = 110° булса, Z ELC күп­мегә тигез?

2. 79 нчы рәсемдә АС = ВС = DC = EC, ACS. CD һәм ВС A. ЕС.

1) АВ =Z>Bбулуын исбатлагыз.

2) ABD һәм EBD өчпочмакларының периметрларын ча­

	гыштырыгыз.
		Рәс. 78

1. 80 нче рәсемдә AD = DC, Z ADB = Z CDB. Z. ВАС = Z BCA һәм AM = MC булуын исбатлагыз.

2. 81 нче рәсемдә AB = ВС, ОМ — A ОВ «почмагының биссектри­сасы, Z MOC= 135⁰. Z ABO= Z.OBC булуын исбатлагыз.

 

М—9

1. 82 нче рәсемдә AB = ВС, AF=КС, Z. DKA = Z EFC. AD = EC бу­луын исбатлагыз.

2. Нигез буларак АС кисемтәсендә аның төрле ягында ике тигезь­янлы ABC һәм ADC өчпочмак­лары төзелгән. BD ± АС булуын исбатлагыз.

М—10

Ике тигезьянлы ABC һәм ADC өчпочмакларының АС нигезе уртак. В һәм D түбәләре АС ягының төрле ягында ята. Ь ноктасы BD кисемтәсендә ята, ләкин АСкисемтәсендә ятмый. Z EAC= Z АСЕ булуын исбатлагыз.

1. 83 нче рәсемдә MN = EF, OP1.MN һәм ODLEF. РО = OD булуын ис­батлагыз.

2. Бирелгән М ноктасы аша узучы һәм үзәге бирелгән әйләнәдә яту­чы (М ноктасы бирелгән әйләнә­гә керми) бирелгән R радиусы бе­лән әйләнә төзегез.

М—12

1. Ирекле кысынкыпочмаклы ABC өчпочмагы сызыгыз һәм бу өчпочмакның AD биеклеге белән ВМ медианасының кисешү ноктасын төзегез.

2. Бирелгән нурдан, бирелгән почмактан бер ярым тапкыр зуррак булган почмак салыгыз.

М—13

1.

Рәс. 84

84 нче рәсемдә АВ ВС, ΔA = 30^o, ADCE = ^ΔBCE. AB || CD булуын исбатлагыз.

 

2. РРҺәм АС кисемтәләре О ноктасында, АО = ОС һәм ВО = = OD булырлык итеп кисешәләр. ВС || АРбулуын исбатлагыз.

1. Почмаклык һәм сызгыч ярдәмендә ABC өчпочмагының В, А һәм С түбәләре аша I га параллель булган a, b һәм с турылары үткәрегез (рәс. 85). Бу турылар үзара параллельме? А түбәсе аша үткәрелгән һәм а дан аермалы булган туры бу турыларны кисеп үтәрме? Ни өчен?

2. 86 нчы рәсемдә Z 1+ Z 2 = 180° һәм Z 2 = Z 3. α∣∣c булуын исбатлагыз.

 

М—15

1.87 нче рәсемдә Л2?||СРҺәм AC= AB, A BCD =20ⁿ. САВ почмагын табыгыз.

2.88 нче рәсемдә BC= AD һәм BC∖∖AD, ΔABC=ΔADC бу­луын исбатлагыз.

 

1. а һәм Ь турылары d турысы белән кисешкәндә хасил булган почмакларның калган җидесе арасыннан тагын берсе 110° ка тигез була аламы? 60° ка? Ни өчен?

2. 90 нчы рәсемдә BA || DE, Z СВА = 140^o, Z CDE= 130^o. ВСLCD булуын исбатлагыз.

 

 

М—17

1. ABC өчпочмагының АВ ягы В ноктасы ягына дәвам ител­гән. Дәвам ителгән турыда, BC= BD булырлык итеп, D нок­тасы билгеләнгән. Z ЛСВ= 60^o, ZA,BC= 50° булса, ACD почмагын табыгыз.

2. ABC өчпочмагында A<4ι һәм BB_λ биссектрисалары О нокта­сында кисешәләр, Z ABC= 30^o, Z AOB = 107°. ABC өчпоч­магының кысынкыпочмаклы булуын исбатлагыз.

М—18

1. ABC өчпочмагында Z.B = 90⁰. CM— өчпочмакның медиа­насы. Z СМВ > Z CAB > Z ACM булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында AC= ВС. ВСҺъм. ВА кисемтәләре Сһәм А түбәләре ягына дәвам ителгән турыларда тиңдәшле рәвештә Сһәм D нокталары билгеләнгән. DE∖∖АС булуы билгеле. BDE өчпочмагының тигезьянлы булуын исбат­лагыз.

1. 91 нче рәсемдә сурәтләнгән әй­ләнәнең радиусы 6 см га тигез. АВ кисемтәсе әйләнәне кисеп үтә, АО= 13 см. АВ кисемтәсе 4 см га тигез булуы мөмкинме?

2. ABD һәм BCD өчпочмаклары BD турысының төрле якларында урнашкан, Z ADB = Z, BDC, Z ABD = ΔDBC. BD<AB+ ВС булуын исбатлагыз.

М—20

1. 92 нче рәсемдә Z ABC= Z CDE= = 90^o, Z BAC= 46⁰, Z CED= 35°. ВС± СОбулуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында Z.B= 90°, CCχ — биссектриса, СС = 16 см, ВС = 8 см. А түбәсе янындагы тышкы почмакны табыгыз.

Рәс. 92

М—21

1. ABC өчпочмагының АВ һәм ВС якларында тиңдәшле рә­вештә D һәм Е нокталары алынган. Бу нокталардан АС турысына DK һәм ЕР перпендикулярлары төшерелгән, DK = ЕР. Z ADK= Z. РЕС. АВ= ВС булуын исбатлагыз.

2. ABC һәм A_xB₁C₁ өчпочмаклары тигез,, өстәвенә ABC өч­почмагының BD биеклеге A₁B₁C₁ өчпочмагының B₁D₁ биек­легенә тигез, Z C= Z C₁. Z A =Z. √4₁ булуын исбатлагыз.

1. М ноктасыннан а турысына ике авышма Л/Рһәм ЛЖҺәм, МК нуры РМЕ почмагының эченнән үтәрлек итеп, МК перпендикуляры үткәрелгән, Z PEM= 50°. РМ һәм КЕ кисемтәләрен чагыштырыгыз.

2. ¢7 ноктасы — АВ кисемтәсенең уртасы. С һәм В нокталары аша тиңдәшле рәвештә параллель с һәм b турылары пер­пендикуляр булмаслык итеп үткәрелгән.

а) А ноктасыннан с турысына кадәрге ераклык Сноктасын- нан b турысына кадәрге ераклыкка тигез булуын исбатлагыз.

Рәс. 93

б) А ноктасыннан Ь турысына кадәрге ераклык b һәм с турылары арасындагы ераклыктан ике тапкырга зуррак булуын исбатлагыз.

М—23*

1. 93 нче рәсемдә Р һәм К нокталары ME турысыннан тигез ераклыкта урнашкан, ә Я*һәм Рнокталары МР турысыннан тигез ераклашкан. М Z. MPK= Z- МЕК булуын исбатлагыз.

2. а турысы, бу турыда алынган А нок­тасы, һәм ОР белән KM (КМ > ОР) кисемтәләре бирелгән, а турысыннан ОР га тигез ераклыкта, AB = КМ булырлык итеп, Р ноктасын төзегез.

М—24

1. Ике кысынкы почмак һәм кисемтә бирелгән. Ягы бирелгән кисемтәнең яртысына, ә бу ягы янында ятучы почмаклары ике бирелгән почмакка тигез булган өчпочмак төзегез.

2. Периметр һәм ян ягы буенча тигезьянлы өчпочмак төзегез.

М—25*

1. Биеклеге һәм өчпочмакның яклары белән бу биеклек хасил иткән ике кысынкы почмагы буенча кысынкыпочмаклы өчпочмак төзегез.

2. Кысынкы почмагы һәм туры почмакның түбәсеннән үт­кәрелгән биеклеге буенча турыпочмаклы өчпочмак төзегез.

94 нче рәсемдә ΛEPM= /.РМК = =90^o, ∕MEP=∕MKP= 30°, МЕ= 10.

1) ЕМ һәм КР турыларының уртак нокталары булмавын исбатлагыз.

2) ЕР кисемтәсенең озынлыгы нин­ди бөтен саннар арасында булуы мөмкин?

3)

Рәс. 94

РМК өчпочмагының MD медиа­насы озынлыгын табыгыз.

5 нче ВАРИАНТ

1. Кисешмәүче ике туры сызыгыз һәм

ал арга уртак нокталары булмаган ике 5.                                            . С

кисемтә урнаштырыгыз.                                            X                       /

2. АВ кисемтәсе белән бергә алты төрле X /

кисемтә килеп чыксын өчен, А һәм В \                                           /

нокталары арасында ничә нокта алырга                            ^λ∖ /

кирәк?                                                                                              X/

3. АВ кисемтәсе, АВтурысында ятмаган Е ноктасы һәм АВ турысында яткан С ноктасы бирелгән. EC турысы белән АВ кисемтәсе үзара ничек урнашкан?

4. А ноктасы аша узмаучы турыны бер үк                          ^d

вакытта АВ, ВС һәм AD турыларын

кисеп үтәрлек итеп үткәрергә буламы (рәс. 95)?            Рәс. 95

М—2

1. 96 нчы рәсемдә ничә җәелмәгән һәм ничә җәелгән почмак сурәтләнгән?

2. Башлангычы ^ноктасында (рәс. 97) булган нурларны берсе СА нурын кисеп, ә икенчесе ВС нурын кисмәслек итеп үткәрегез. Мөмкин булган төрле вариантларны тикшерегез.

3. Җәелмәгән ABC почмагы үткәрегез. Башлангычы В нок­тасында булган нурлар үткәрегез, бу вакытта хасил булган алты почмакның берсе җәелгән почмак булсын.

	Рәс. 96

	Рәс. 97

	Рәс. 98

	Рәс. 99

1. Әгәр турыда А, В, С һәм D нок­талары (С ноктасы А һәм В нок­талары арасында ята) AB = CD булырлык итеп бирелсә, AD ки­семтәсенең уртасы ВС кисемтә­сенең уртасы буламы? Җавапны дәлилләп бирегез.

2. 98 нче рәсемдә ОВ— АОС поч­магының эчке өлкәсенә керү­че нур. Z AOC= Z ВОЕ булсын өчен, бЖны ничек итеп үткәрергә кирәк?

М—4

1. 192 дм га тигез булган кисемтәдә, AC: CB= 1 : 3 итеп, С ноктасы бирелгән. АС кисемтәсендә ВС та. тигез булган CD кисемтәсе салынган. АОҺәм СВ кисемтәләренең уртала­ры арасындагы ераклыкны табыгыз.

2. АОВ почмагы COD почмагының эчке өлкәсендә урнашкан. ОЕ һәм OF— тиңдәшле рәвештә СОА һәм BOD почмак­ларының биссектрисасы. Z COD+Z АОВ= 180° булса, EOF почмагының ни өчен туры булуын аңлатып бирегез.

М—5

1. Түбәләре уртак булган ике поч­мак бирелгән: АОВ һәм COD. Бер почмакның яклары тиңдәш­ле рәвештә икенчесенең яклары­на перпендикуляр (рәс. 99). Бу почмакларның аермасы туры почмакка тигез булса, почмак­ларны табыгыз.

2. АОВ һәм ВОС почмаклары — чиктәш, ОМ — АОВ почмагының биссектрисасы, ON нуры ВОС почмагының эчке өлкәсенә керә һәм ОМ га перпендикуляр. ON— ВОС почмагының биссектриса­сы буламы? Ни өчен?

1. 100 нче рәсемдә ΔABD = Δ,CBD, AD DC, Z. ABC 110^o, Z BAD= = 90°. ABD почмагын табыгыз һәм ВС 1 CD булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында AB= ВС, AC= 8 см, ЕЕВС, өстәвенә ВЕ= = EC. Е ноктасы ABC өчпочма­гының периметрын берсе икен­чесеннән 2 см га зуррак булган ике өлешкә бүлә.

М—7

1. 101 нче рәсемдә ОА = ОС һәм Z АОВ = Z ВОС. Δ ABK= \ СВК булуын исбатлагыз.

2. ABC һәм A_xB_xC₁ өчпочмакла­рында AC= A_iC_x, AB = A_xB_x һәм Z A = Z A_x, DEBC һәм DC = = 2BD, D_xE AG һәм Д C₁ = 2B_lD∙ AD= A_xD_x булуын исбатлагыз.

М—8

1. 102 нче рәсемдә AB = ВС һәм АЕ = FC. Z AEC = Z AFC бу­луын исбатлагыз.

2.

Рәс. 101

ABC өчпочмагында ВС ягының дәвамында С ноктасы артында СА га тигез булган CD кисемтәсе салынган, А һәм D нокталары кисемтә белән тоташтырылган, СЕ — АСВ өчпочмагының бис­сектрисасы, ә CF— ЛСОөчпочма- гының медианасы. CF 1СЕ бу­луын исбатлагыз.

1. 103 нче рәсемдә Z A =Z D, Z 1 = =Z2, AB=CD, EC= 10 см, Z AEC= 90^o. 2? түбәсеннән төше­релгән BKD өчпочмагының биек­леген табыгыз.

2.

Рәс. 103

АВ турысының кисемтәсен Р һәм Q нокталары өч тигез өлеш­кә бүлә. АВ кисемтәсенең тыш­кы ягында аннан бер якта, АС= = BD һәм CQ = DP, Z DPB + + Z CQA = 140° булырлык итеп, С һәм D нокталары алынган. DPB һәм CQA почмакларын табыгыз.

М—10		С
Ике турыпочмаклы ВОК һәм COL өчпочмакларының уртак О түбәсе бар, биредә ВОК һәм COL поч­маклары туры (рәс. 104). О— А —
-K,O-D-L, Z КАВ =Z CDL, AO= OD һәм AK= DL. KB= CL "	I (Уа z>∖
булуын исбатлагыз.                                              ι
	Рәс. 104

М—11

 

1. 105 нче рәсемдә AB= CD. AC= BDбулуын исбатлагыз.

2.

очракларны тикшерегез.

Рәс. 106

ВАС почмагының якларында М ноктасыннан бирелгән а ераклыгына ераклашкан нокталарны табыгыз (рәс. 106). а кисемтәсенең озынлыгына бәйле рәвештә мөмкин булган

Рәс. 107

М—14

1. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә ABC өчпочмагының С түбәсе аша АВ га параллель булган ту­ры үткәрегез.

2. 110 нчы рәсемдә китерелгән би­релгәннәрдән файдаланып ачык­лагыз: а турысы DE турысын кисеп үтәме? Җавапны аңлатып бирегез.

1.111 нче рәсемдә AB= BD= ВС, BE∖∖DC. DC 1 АС булуын исбатлагыз

2. 112 нче рәсемдә BE∖∖AF, AB ∖∖DE, AB= CD. ∖ BCE= Δ ADF булуын исбатлагыз.

 

М—16

1. 113 нче рәсемдә ABED=1G°, Z EDC≈ 20°, АВ || CD. ABC поч­магын табыгыз.

2. ABC өчпочмагының эчендә F ноктасы билгеләнгән. Аның аша АС*һәм АВ якларына параллель булган һәм ВС ягын тиңдәшле рәвештә М һәм В нокталарында кисеп үтүче турылар үткәрелгән, FM=MC, FE=EB. F—ABC өчпочмагының биссектрисалары кисешү ноктасы булуын исбат­лагыз.

М—17

1. 45° ка тигез булган А почмагының якларында В һәм С нокталары билгеләнгән, ә почмакның эчке өлкәсендә, Z ABD= 95⁰, Z ACD= 90° булырлык итеп, D ноктасы бил­геләнгән. BDC почмагын табыгыз.

2. ABC өчпочмагында ZB= 60°. Өчпочмакның эчендә аның түбәләреннән тигез ераклашкан Сноктасы билгеләнгән. АОС өчпочмагының җәенке булуын исбатлагыз.

1. ABC өчпочмагында BD— медиана, Z ABD< Z BAC+ Z BCA. BD> 0,5567 булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагы бирелгән. 675 турысы өчпочмакның 5түбәсе янындагы тышкы почмагының биссектрисасына параллель һәм АВ ягын D ноктасында кисеп үтә. D ноктасыннан ВС турысына DK перпендикуляры үткәрелгән. 5/6 һәм ВС ки­семтәләрен чагыштырыгыз.

М—19

1. ABC өчпочмагында BB₁ — медиана. BB₁ <0,5 (АВ+ ВС) булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында Z A = 40^o, Z 5= 70°. Өчпочмакның ты­шында 67 түбәсеннән 675 нуры BCD почмагы 109^o59' ка тигез булырлык итеп үткәрелгән. AD= A67+ CD тигезлеге үтәлергә мөмкинме?

М—20

1. ABC өчпочмагында АСВ почмагы җәенке. AA₁, BB₁ һәм CC_γ биекләренең дәвамнары О ноктасында кисешәләр. Z ABC = Z АОС һәм Z ОАС = Z ОВС булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында Z C= 90^o, CD — өчпочмакның биеклеге. BC= 2BD. AD= 3DB булуын исбатлагыз.

М—21

1. ABC өчпочмагының АВ ягы уртасы аша АВ га перпенди­куляр булган һәм ВС ны Е ноктасында кисүче туры үткә­релгән. ВС= 24 см, АЕС өчпочмагының периметры 30 см га тигез. АСны табыгыз.

2. Өчпочмакның ике биссектрисасы О ноктасында кисешә. Өченче биссектрисаның О ноктасы аша үтүен исбатлагыз.

М—22

1. А ноктасыннан ниндидер турыга АВ перпендикуляры һәм АС авышмасы үткәрелгән, ә D ноктасыннан, DE һәм АВ кисемтәләре О ноктасында кисешерлек итеп, 55авышмасы үткәрелгән, OD = OB, Z OAD + 2.ВОЕ = 90°. АС һәм DE кисемтәләрен чагыштырыгыз.

2. ABC өчпочмагында Z A = 70°, Z B= 80^o, BE— биссектриса. Еноктасы аша ВСг& параллель а турысы үткәрелгән. ЕС= х.

а) а һәм ВС турылары арасындагы ераклыкны табыгыз.

б) ^ноктасыннан AS турысына кадәрге ераклыкны табыгыз.

1.

Рәс. 114

114 нче рәсемдә 2? һәм С нокта­лары AD турысыннан тигез ераклашкан, ВО = ОС. ABC һәм CBD өчпочмакларының тигез бу­луын исбатлагыз.

2. Җәелмәгән почмак һәм кисемтә бирелгән. Бирелгән почмак эчен­дә почмакның якларыннан би­релгән кисемтәгә тигез озын­лыкта ераклашкан нокта төзегез.

М—24

1. Бирелгән кисемтәгә тигез булган АВ ягы белән һәм тиң­дәшле рәвештә 60° һәм 105° ка тигез булган А һәм С почмаклары белән ABC өчпочмагы төзегез.

2. ABC өчпочмагында BB_l һәм CC_l биссектрисалары О нок­тасында кисешә. OB_x, ОС, B_lC кисемтәләре буенча ABC өчпочмагы төзегез.

М—25*

1. Ике ягы һәм бу якларның берсенә каршы ятучы почмак буенча өчпочмак төзегез. Бу мәсьәләнең чишелеше һәр­вакытта булырмы?

2. Почмагы һәм бу почмакның якларына үткәрелгән ике биек­леге буенча өчпочмак төзегез.

М—26

Рәс. 115

115 нче рәсемдә AB= BC= CD= DA.

1) АВ || CD, AD II ВС булуын исбат­лагыз.

2) BT= DTбулуын исбатлагыз.

3) Z TBC= 90° һәм TO АТ булса, AC > DB булуын исбатлагыз.

4) Т ноктасы АВ һәм CD турыла­рыннан тигез ераклашкан булуын исбатлагыз.

6 нчы ВАРИАНТ

1. Ике кисешүче туры сызыгыз һәм аларда ике кисешмәүче кисемтәне турыларның кисешү ноктасы аларның берсендә ятарлык итеп урнаштырыгыз.

2. 116 нчы рәсемдә күрсәтелгән кайбер кисемтәләрне кисеп үтүче турыны бирелгән кисемтәләр белән бергә алты кисемтә килеп чыгарлык итеп үткәрегез.

3. EFтурысы бирелгән, A&EF, B&EE АВ турысы .ЕРкисем- тәсен кисмичә үтәргә мөмкинме?

4. О ноктасы аша узмаучы туры бер үк вакытта ОА, ОВ, ОС һәм OD турыларын кисеп үтә аламы (рәс. 117)?

 

М—2

1. 118 нче рәсемдә ничә җәелмәгән һәм ничә җәелгән почмак сурәтләнгән?

2. Башлангычы ^ноктасында булган нурларны үткәрегез: берсе ВС нурын кисеп үтсен, ә икенчесе АС нурын кисмәсен (рәс. 119).

3. Бирелгән нокта аша, кисешкәндә алты почмак хасил булыр­лык итеп, турылар үткәрегез.

 

1. АВ һәм А С — бер турының ки-

семтәләре (А ноктасы В һәм С                                  х.

нокталары арасында ята), М—

АВ кисемтәсенең уртасы, N—                  <<       / х.

ЛАның уртасы. ВС= 22½V булуы A /                                                    >_s

дөресме? Җавапны дәлилләп би-                            /                            в

регез.                                                                                 /

2. 120 нче рәсемдә ОС— АОВ поч-                          /

магының эчке өлкәсенә керүче                           с

нур. Z AOD= Z СОВбулсын өчен,

Айны ничек итеп үткәрергә ки-                              Рәс. 120

рәк?

М—4

1. Турыда ике тигез АС һәм СВ кисемтәләре салынган. СВ кисемтәсендә, 5CD = ⅛DB булырлык итеп, D ноктасы би­релгән. CD= 12 м булса, очлары ЛАҺәм DBкисемтәләренең урталары булган кисемтәнең озынлыгын табыгыз.

2. АОВ почмагы COD почмагының эчке өлкәсенә керә; Z COD= 140^o, Z AOB = 100°. Айнуры ЛАР почмагының эчке өлкәсенеке булса, АОС һәм BOD почмаклары хасил иткән почмакны табыгыз.

М—5

1. Ике тигез җәенке почмакның уртак ягы бар, ә ике икенче яклары үзара перпендикуляр. Җәенке почмакның зур­лыгын табыгыз.

2. Җәелгән почмакның түбәсеннән, аны өч тигез өлешкә бү­лүче, ике нур үткәрелгән. Урта почмакның биссектрисасы җәелгән почмакның биссектрисасына перпендикуляр бу­луын күрсәтегез.

М—6

1.121 нче рәсемдә ΔABE=ΔECD, Z ABE= Z CDE, AE= 7 см, АВ ± ЛА, ЛА һәм ECD почмагын табыгыз.

2. ABC өчпочмагында Лй= ВС= 12 мм. М ноктасы ВС ягында ята, өстәвенә BM= МС. М ноктасы ABC өчпочма­гының периметрын берсе икенче­сеннән 3 мм га кечерәк булган ике өлешкә бүлә. ЛА ягын табыгыз.

	Рәс. 122

	Рәс. 123

1. 122 нче рәсемдә ОА = ОС һәм Z AOD = Z COD. ∖ABD= Δ CBD бу­луын исбатлагыз.

2. DEF һәм D_lE↑F₁ өчпочмаклары би­релгән, ТИ һәм M₁ нокталары тиңдәш­ле рәвештә DF һәм D↑F↑ якларын­да ята, өстәвенә DM = 3MF һәм D_λM↑ = 3M_λF_γ, DE= D_iE_x, EM≈ E_lM_l һәм Z DEM= Z D₁E_lM_l. EF= E_lF₁ бу­луын исбатлагыз.

М—8

1. 123 нче рәсемдә АЕ = EC һәм BE= ED. Z ACD= Z САВбулуын исбатлагыз.

2. АС кисемтәсендә аннан төрле як­ларда ике тигезьянлы ABC һәм ADCөчпочмаклары төзелгән. Бу өчпочмакларның түбәләре BD^rsy- рысы белән тоташкан. BDzAC булуын исбатлагыз.

М—9

1. 124 нче рәсемдә Z BAC= Z F, Z 1 = Z 2, AD = CF, Z Е= 90°, EF = 15 дм. А түбәсеннән үткәрелгән АМС өчпочмагының биеклеген табыгыз.

2. ЛГҺәм L нокталары белән EF ту­

рысының кисемтәсе өч тигез өлешкә бүленә, ^^кисемтәсенең тышында, EF турысыннан төр­ле якта АЕ = BF һәм AL = ВК булырлык итеп, А һәм В нок­талары алынган. AEL һәм KFB почмакларының градуслы үлчә­ме т : 1 чагыштырмасында, т ны табыгыз.                                                                   ^pθc∙ 124

	Рәс. 127

AD һәм BE кисемтәләре С нокта­сында кисешә. Z BAC= Z DEC. ABC һәм CDE почмаклары белән чиктәш почмаклар үзара тигез, AB= DE. Δ ABE= Δ ADE булуын исбатлагыз (рәс. 125).

М—11

1. 126 нчы рәсемдә AC= BD. AB= CD булуын исбатлагыз.

2. ВАС почмагының якларында М ноктасыннан бирелгән b озынлыгына ераклашкан нокталарны төзегез (рәс. 127). Ъ кисемтәсенең озынлыгына бәйле рәвештә мөмкин булган очракларны тикшерегез.

 

М—12

1. 1) 45° ка тигез булган почмак тө­зегез.

2) Аның В түбәсеннән якларында, BA = 2ВСбулырлык итеп, ВА һәм ВС кисемтәләрен салыгыз. А, В һәм С нокталары аша үтүче әйләнә төзегез.

2. FEE өчпочмагы бирелгән (рәс. 128). .ЁТГҺәм FK турыларында, ME= MF һәм NE= NF булырлык итеп, М һәм Анокталарын төзегез.

1. 129 нчы рәсемдә Z 1 = Z 2, ED = ВС, EF= AC. EF∖∖AC бу луын исбатлагыз.

2. 130 нчы рәсемдә АС— BAD почмагының биссектрисасы BE± АС һәм AE= EC. AD ∖∖BC булуын исбатлагыз.

	Рәс. 130

	Рәс. 133

Рәс. 134

1.134 нче рәсемдә AB || CD, Z ABC= 30^o, Z CDE - 40°. BED почмагын табыгыз.

2. ABC өчпочмагының эчендә М ноктасы сайлап алынган. Аның аша, АС га параллель итеп һәм АВ һәм ВС якларын тиңдәшле рәвештә D һәм О нокталарында кисеп үтүче туры үткәрелгән, өс­тәвенә MD= AD һәм ME= EC. М— өчпочмак биссектрисала­рының кисешү ноктасы булуын исбатлагыз.

М—17

1. 127° ка тигез булган А почмагының якларында В һәм С нокталары билгеләнгән, ә почмакның эчендә, Z ABD= 25°, Z ACD= 19° булырлык итеп, D ноктасы билгеләнгән. BDC почмагын табыгыз.

2. АС—ABC һәм DAC өчпочмакларының уртак ягы. BD ки­семтәсе АС кисемтәсен кисеп үтә, BD= AD= CD булуы билгеле. Z АВС= 130° булса, ADC өчпочмагының җәенке булуын исбатлагыз.

М—18

1. BD—ABC өчпочмагының медианасы, AB> 2BD, Z.BAC+ + Z BCD < Z DBCбулуын исбатлагыз.

2. С түбәсе аша ABC өчпочмагында BD биссектрисасына па­раллель булган һәм АВ турысын К ноктасында кисеп узучы туры үткәрелгән. BE— ABC өчпочмагының биссектрисасы. BE һәм ВК кисемтәләрен чагыштырыгыз.

М—19

1. ВВ₁— ABC өчпочмагының медианасы. BB_x > 0,5 (АВ- ВС) булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында Z A = 35⁰, Z В= 71°. АС ягының дәва­мында Стүбәсе артында D ноктасы алынган. С түбәсеннән, О һәм В нокталары АО турысының төрле якларында ятар­лык һәм Z ECD = 74^ol' булырлык итеп, CO нуры үткәрел­гән. ВЕЛ- CE= ВС булуы мөмкинме?

1. ABC өчпочмагында В почмагы җәенке. AA₁, BB_x һәм СС\ биеклекләренең дәвамнары О ноктасында кисешәләр. Z АВС= = 180^o- Z АОС булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында Z В = 90^o, BD—биеклек. AB=2BD. 3AC= AADбулуын исбатлагыз.

М—21

1. ABC өчпочмагының АВ ягында алынган К ноктасы аша АВ га перпендикуляр һәм АС ягын D ноктасында кисүче туры үткәрелгән. Z KDB= Z KDA, АС= 30 см, ВС= 15 см булуы билгеле. BDCөчпочмагы периметрын табыгыз.

2. ЛВС өчпочмагының А почмагы биссектрисасы, В һәм С тү­бәләре янындагы тышкы почмакларның биссектрисаларын эченә алган турыларның кисешү ноктасы аша үтүен исбатлагыз.

М—22

1. М ноктасыннан а турысына — М перпендикуляры, ә К нокта­сыннан ЯТ/авышмасы үткәрелгән. МРҺәм КНкисемтәләре О ноктасында кисешәләр, ОН = ОМ, Z ОМК< Z OHP. НК кисемтәсенең, Мноктасыннан а турысына үткәрелгән теләсә нинди авышмадан кечерәк булуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында ВМ медианасы үткәрелгән, AM= BM≈ = МС= х. Мноктасы аша ВСтурысына параллель туры үткә­релгән.

а) А ноктасыннан ВС турысына кадәрге ераклыкны табы­гыз.

б) a һәм ВС турылары арасындагы ераклыкны табыгыз.

М—23*

1. 135 нче рәсемдә Мһәм Т нокталары РК турысыннан тигез ераклашкан, Z KMT= Z РТМ. РМЮмпл РКТөчпоч- макларының тигез булуын исбатлагыз.

2. a турысы, бирелгән турыда ятмаучы А ноктасы һәм ниндидер кисемтә бирелгән. (Л ноктасы a турысыннан бирелгән кисемтәнең икеләтелгән озынлыгыннан кимрәк ераклыкта урнашкан.) a турысыннан һәм А нок­тасыннан бирелгән кисемтә озынлы­гына тигез ераклыкта урнашкан нок­таларны төзегез.

1. Тиңдәшле рәвештә бирелгән кисемтәләргә тигез булган АВ һәм ВС яклары белән ABC өчпочмагы төзегез. Z В= 120°, Z С = 45°.

2. ABC өчпочмагының биекләре Оноктасында кисешәләр. ОА, ВО, АВ кисемтәләре буенча бу өчпочмакны төзегез.

М—25*

1. Ике почмагы һәм бу почмакларның берсенә каршы ятучы ягы буенча өчпочмак төзегез. Бу мәсьәләнең һәрчакта чи­шелеше буламы?

2. Почмагы һәм ике биеклеге буенча кысынкыпочмаклы өч­почмак төзегез. Бер биеклеге почмак түбәсеннән үткәрелгән, ә икенчесе өчпочмак якларының берсенә төшерелгән.

М—26

136 нчы рәсемдә KT=TM= MP= РК.

1) ТМ || КРҺәм КТ || РМбулуын исбат­лагыз.

2) ТО= ОР булуын исбатлагыз.

3) Z ОТК= 44° һәм КО> ОМ булса, TP> КМбулуын исбатлагыз.

4) О ноктасы ТМ һәм МР турыла­рыннан тигез ераклашкан булуын исбатлагыз.

7

Рәс. 137

нче ВАРИАНТ

М—1

1. Дүрт нокта аша ничә төрле туры үткәрергә мөмкин? Сызымнарны ясагыз.

2. 137 нче рәсем буенча очлары тамгаланган нокталарда яткан ничә кисемтә булуын табыгыз.

М—2

О—АОВ, ВОС, COD, DOE һәм ЕОА почмакларының уртак түбәсе. О ноктасы аша узмаган а турысы бу почмакларның яклары булган икедән дә кимрәк булмаган нурны кисеп үтә. Мөмкин булган очракларны тикшерегез. Сызымнарын яса­гыз.

М—3

1.

Рәс. 138

А ноктасыннан а турысында ике кисемтә АВ һәм АС салынган, өстәвенә AB< AC< 1,99AB. ВС һәм АВ кисемтәләрен чагыш­тырыгыз. Җавапны дәлилләгез.

2. 138 нче рәсемдә Z AOC= Z BOD, ОМ һәм ON— АОВ һәм COD почмакларының биссектриса­лары. Л/ОАҺәм АОС почмакла­рын чагыштырыгыз.

М—4

1. АВ кисемтәсенең озынлыгы 14 см га тигез. АВ турысында DA = 3DB булган барлык D нокталарын табыгыз.

2. Туры почмак түбәсеннән чыккан нур белән бер почмакның яртысы икенчесенең өченче өлешенә тигез булган ике почмакка бүленгән. Бу почмакларны табыгыз.

	Рәс. 139

	Рәс. 140

Берсе икенчесе янында ятмаучы һәм бер нокта аша узучы өч туры белән хасил булган һәр өч почмакның суммасы ике туры почмакка тигез булуын исбатлагыз.

М—6

1. ABC өчпочмагында AB=AC. Өчпочмакның эчендә О ноктасы Z AOB=Z, АОС, Z Λ6>5=120° бу­лырлык итеп сайлап алынган. АО кисемтәсе ВАС почмагының биссектрисасы булуын исбат­лагыз һәм ВОС почмагын табы­гыз.

2. 139 нчы рәсемдә AABC= ΔADC, AB= CD= 20 cm, BO=DO=∂ см. ABC өчпочмагының периметры 50 см га тигез. АО кисемтәсе 15 см га зуррак булса, АОС өч­почмагының периметрын табы­гыз.

М—7

140 нчы рәсемдә CO— OD һәм АО = = OB, М— АВ кисемтәсенең озын­лыгы. МС= Л/Z? булуын исбатлагыз.

М—8

ABC өчпочмагында AB= ВС= АС. Аның якларында М, Рһәм К нокталары AM : MB= BP: PC= СК: KA= 1 : 3 булырлык итеп алынган. МРКөчпочмагының тигезьяклы булуын исбат­лагыз.

1. А түбәле почмакның бер ягында 7?һәм В нокталары, икен­чесендә С һәм -E^, нокталары, AD=AC=⅛ cm, АВ= АЕ= = 4 см булырлык итеп билгеләнгән. Түбәндәгеләрне исбатлагыз:

а) BC= ED-,

б) KB= КЕ, биредә К— ВС һәм ED кисемтәләренең кисешү ноктасы.

2. ABC һәм A_xB_xC_i— нигезләре АС һәм A₁C₁ булган тигезь­янлы өчпочмаклар, М һәм M₁ нокталары — ВС һәм B_xC_x якларының урталары. AB= A_xB_x, AM=A_xM_l. ΔABC = = ΔA_xB_xC_x булуын исбатлагыз.

М—10

ABC һәм A_xB_xC_x өчпочмакларында BC= B_lC_x, Z C= Z C₁ һәм AB + AC= A₁B₁ + A₁C₁, BD һәм B_xD_x — бу өчпочмакларның медианалары. BD= B_xD_x булуын исбатлагыз.

М—11

BD кисемтәсе — ABC өчпочмагының биеклеге. В түбәсеннән СВ турысында В түбәсенең ике ягында AS га тигез булган BE һәм ВК кисемтәләре салынган. АСда D ноктасыннан DA га тигез булган DF кисемтәсе салынган. A, Е, К һәм F нокта­ларының бер әйләнәдә ятуын исбатлагыз.

М—12

1. А һәм В нокталарыннан тигез

ераклашкан һәм С ноктасыннан                                      *^А

PQτa тигез ераклыкта урнашкан

ноктаны төзегез (рәс. 141). Би-                                                           ∙B

релгән нокталарның урнашуына һәм PQ кисемтәсенең озынлы­гына бәйле рәвештә бу мәсьә­ләнең ничә чишелеше булуын                                                                                                           . _c

ачыклагыз.

2. Ничек итеп циркуль белән сыз­

гыч ярдәмендә 54° лы почмакны _p ^{1                                                                               ,} q

тигез өлешкә бүләргә мөмкин?

Рәс. 141

142 нче рәсемдә AM= MD, DE = DF һәм AE=AF MD∖∖AF булуын исбатлагыз.

Рәс. 142

 

М—14

1.

Рәс. 143

143 нче рәсемдә AB= CD һәм BC= DE, A ABC=Z, BCD = A CDE. A, C һәм E нокталарының бер турыда ятуын исбатлагыз.

2. Тигезьянлы ABC өчпочмагында (AB= ВС) BD—медиана. М— ВС ның уртасы. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә М ноктасы аша узучы һәм BD га параллель булган туры сызыгыз.

М—15

ЛЙУтурысында М һәм N нокталары арасында А ноктасы сайлап алынган һәм MN ның бер ягына АВ, АС һәм AD нурлары үткәрелгән. АВ нурында К ноктасы сайлап алынган, аның аша MNra параллель булган АС һәм AD нурларын тиңдәшле рәвештә Рһәм ^нокталарында кисеп үтүче туры үткәрелгән, KP= PA = РЕ. AB±AD булуын исбатлагыз.

144 нче рәсемдә BD—ABC өчпочмагының медианасы, өстәвенә AB = 2BD. ВС ның DBF почмагының биссектри­сасы булуын исбатлагыз.

М—17

1. ЛВС өчпочмагында В почмагы җәенке. Өчпочмак эчендә О һәм Р нокталары билгеләнгән. PC нурында өчпочмакның тышында В ноктасы алынган. ABO >ACD булганда, О һәм Р нокталары ничек урнаша ала?

2. ЛВС өчпочмагында AC= BD, D—өчпочмак биссектриса­ларының кисешү ноктасы, ә О—өчпочмакның барлык түбәләреннән тигез ераклашкан нокта. OD кисемтәсенең ЛВ ягын Е ноктасында кисеп үтүе һәм кисешү ноктасында урталай бүленүе билгеле. ABC өчпочмагының почмакларын табыгыз.

М—18

1. ЛС һәм BD кисемтәләре эчке ноктада АВ> АС булырлык итеп кисешәләр. BD> CD булуын исбатлагыз.

2. ЛВС өчпочмагында медианалар М ноктасында кисешәләр. Z MAB= Z MBA, Z MCB= Z. МВС булуы билгеле. ЛВС өч­почмагын табыгыз.

М—19

1. Өчпочмакның ике медианасының суммасы бу медианаларга үткәрелгән ике ягының ярым суммасыннан зуррак булуын исбатлагыз.

2. Тигезьяклы ЛВС өчпочмагы эчендә Вноктасы билгеләнгән. ЕА < ЕВ+ ЕС булуын исбатлагыз.

1. ABC өчпочмагында Z С = 90^o, Z В = 40°. АВ һәм ВС якла­рында тиңдәшле рәвештә £>һәм √J^, нокталары билгеләнгән, Z EAD = 5^o, Z ECD = 10^o. Z EDCпочмагын табыгыз.

2. Турыпочмаклы ABC өчпочмагының АВ гипотенузасында Е ноктасы алынган, ә өчпочмак эчендә — D ноктасы. АС турысына төшерелгән ЕМ перпендикуляры АС катетын урта­лай бүлә, Z B= 45^o, Z CDA = 90^o, Z DCA = 60^o. EM= DC бу­луын исбатлагыз.

М—21

1. ABC өчпочмагында AA₁ һәм CC_i биекләре тигез, AC_λ = A4₁. В почмагын табыгыз.

2. 145 нче рәсемдә Z ABC 35⁰, Z ВАС- 55⁰, Z AM_lM= 90°. A₁ һәм B₁ нокталары — тиңдәшле рәвештә ВС һәм АС ки­семтәләренең урталары, √L4₁ = AM, BB₁ = B_iK. AM₁ = 2M₁ булуын исбатлагыз.

1. А ноктасыннан ниндидер турыга А2?һәм АС авышмалары һәм, С ноктасы BD кисемтәсенең уртасы булырлык итеп, ADперпендикуляры үткәрелгән. АВ> 2ЛСтигезсезлеге үтә­лерме?

2. ABC өчпочмагында Z (7= 90°. АВ ягында, AB = ЗАМ булыр­лык итеп, М ноктасы алынган. М ноктасы аша АС га па­раллель булган а турысы үткәрелгән. В ноктасыннан а турысына кадәрге ераклыкның а һәм ЛСтурылары арасын­дагы ераклыктан ике тапкыр зуррак булуын исбатлагыз.

Рәс. 146

М—23*

1. 146 нчы рәсемдә В һәм -E^, нок­талары AD турысыннан тигез ераклашкан, ә С һәм М нокта­лары — тиңдәшле рәвештә АРҺәм ВС кисемтәләренең урталары. BC= £7? булуын исбатлагыз.

2. Ике нокта А, В һәм РО кисем­тәсе бирелгән. АВ турысыннан РО озынлыгына ераклашкан һәм АВ кисемтәсе очларыннан тигез ераклашкан нокталарны төзегез.

М—24

1. а турысы һәм бу турыны кисүче АВ кисемтәсе бирелгән, а турысында С ноктасын бу туры ABC өчпочмагы почма­гының биссектрисасын эченә алырлык итеп төзегез.

2. ABC өчпочмагының АВ, ВС һәм АС якларында тиңдәшле рәвештә М, Р, К нокталары MK∖∖BC, РК\\АВ булырлык итеп алынган. KM, KB, АР кисемтәләре һәм РАСпочмагы буенча ABC өчпочмагын ничек төзергә була?

М—25*

1. ABC өчпочмагының АС ягында М ноктасы алынган. АВ, ВМ кисемтәләре һәм АМВ, ВСМ почмаклары буенча ABC өчпочмагын төзегез.

2. В һәм А почмакларының суммасы, BD биеклеге һәм АС ягы буенча кысынкыпочмаклы ABC өчпочмагын төзегез.

Оүзәкле әйләнәдә A, В, С, 2?нокталары, Л2?һәм ВСтурылары параллель булырлык, ә О ноктасы алар арасында ятарлык итеп, бер-бер артлы билгеләнгән, AD> ВС һәм Z OBA= Z OCD.

1) Z AOB= Z- COD булуын исбатлагыз.

2) AC= BDбулуын исбатлагыз.

3) Z DBC= Z CADбулуын исбатлагыз.

4) О ноктасыннан AD һәм ВС турыларына кадәрге ераклык­ларны чагыштырыгыз.

8 нче ВАРИАНТ

М—1

1. Парлап кисешүче дүрт турының ничә кисешү ноктасы булуы мөмкин? Һәр очрак өчен рәсемен ясагыз.

2. 147 нче рәсемдә очлары билге­ләнгән нокталарда булган ничә кисемтә булуын табыгыз.

М—2

А — MAF, FAK, КАР, PAQ, QAM почмакларының уртак тү­бәсе. А ноктасы аша узмаучы т турысы бу почмакларның яклары булган өчтән артык булмаган нурны кисеп үтә. Мөмкин булган барлык очракларны тикшерегез. Рәсемне ясагыз.

М—3

1. т турысында А ноктасыннан ике кисемтә АВ һәм АС салынган, өс­тәвенә 0,51AS< AC< АВ. ВС һәм АС кисемтәләрен чагыштырыгыз. Җавапны дәлилләгез.

2. 148 нче рәсемдә СЭД/һәм ON — АОВ һәм COD почмакларының бис­сектрисалары, Z MON= Z АОС. АОСҺәм BOD почмакларын чагыш­тырыгыз.

М—4

1. АВкисемтәсенең озынлыгы 12 см га тигез. АВтурысында MA = 2МВ булырлык барлык М нокталарын табыгыз.

2. Туры почмакның түбәсеннән чыккан ике нур аны бер почмагы калган икесенең аермасына тигез булган өч почмакка бүлә. Бу почмакларның зуррагының градуслы үлчәмен табыгыз.

М—5

Бер нокта аша узучы биш туры хасил иткән һәм бер-берсе янында ятмаучы һәр биш почмакның суммасы ике туры почмакка тигез булуын исбатлагыз.

	Рәс. 150

1. ABC өчпочмагында О ноктасы ΔAOB =∖COB, ОА = ОС, ΛAOC= 140° булырлык итеп сайлап алын­ган. ВО ның ABC почмагының биссектрисасы булуын исбатла­гыз һәм АОВ почмагын табыгыз.

2. 149 нчы рәсемдә Δ АОМ = Δ FOE, Z AMO = Z AEF. OEF өчпочма­гының периметры 40 см га тигез, AF = 20 см. AEF периметрын табыгыз.

М—7

150 нче рәсемдә AO — OB, OD = ОС һәм DE = CF. АЕ = BF булуын ис­батлагыз.

М—8

Тигезьянлы ABC өчпочмагының яклары, MA : AB = PC∙. АС = — ВК : CB = 2 : 1 булырлык итеп, AM, СР һәм ВК кисемтәлә­ренә дәвам ителгән. МРК өчпочмагының тигезьянлы булуын исбатлагыз.

М—9

1. В түбәле почмакның бер ягында М һәм О нокталарын, ә икенчесендә, ВМ = BP, BO < ВМ, ә Z ОРВ = Z. КМВ булыр­лык итеп, ТГҺәм Р нокталарын билгеләгез. Исбатлагыз:

а ) MK = OP∙, I

б) ТМ = ТР, биредә Т—МКҺәм ОР кисемтәләренең кисе­шү ноктасы.

2. АС һәм A₁C_i — тигезьянлы ABC һәм ∠4₁-B₁C₁ өчпочмак­ларының нигезләре, М һәм M₁ нокталары ВС һәм B_lC_i якларының урталары, АС — A_xC_l, AB — A₁B₁. ΔABM = = ΔA₁B₁M₁ булуын исбатлагыз.

М—10

Медианасы һәм өчпочмакның почмагын бу медиана бүлгән почмаклары буенча өчпочмакларның тигезлеген исбатлагыз.

	Рәс. 151

	М—14

АВ һәм CD— үзәге О ноктасында булган әйләнәнең ике диа­метры. ОЕ— АОС почмагының биссектрисасы. ОЕ әйләнәне К ноктасында кисеп үтә, өстәвенә КЕ = КО. КСО өчпочмагы­ның периметры әйләнәнең радиусыннан 3 тапкырга зуррак. Е, А, Сһәм О нокталарының бер әйләнәдә ятуын исбатлагыз.

М—12

1. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә ТИ ноктасын А ноктасыннан PQ га тигез ераклыкта һәм Z МЕО = =A MFO(OE= ОЕ) булырлык итеп төзегез (рәс. 151). PQ кисем­тәсенең озынлыгына бәйле рә­вештә бу мәсьәләнең ничә чи­шелеше булуын ачыклагыз.

2. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә ничек итеп 35° ка тигез булган почмакны 7 тигез өлешкә бү­ләргә мөмкин?

1. 153 нче рәсемдә AB = ВС = CD = = DE, Z ABC = Z BCD = Z CDE. A, C һәм Е нокталарының бер турыда ятуын исбатлагыз.

2. ABC өчпочмагында BD — ABC почмагының биссектрисасы, М — А£?ның уртасы. ТИ ноктасы аша узучы һәм BD га параллель булган циркуль һәм сызгычтан файдаланып туры төзегез.

АВ кисемтәсендә Сноктасы алынган. А һәм В нокталары аша АВ дан бер якка параллель турылар үткәрелгән. Ал арга AD — — АС һәм BE = ВС кисемтәләре салынган. С ноктасы туры кисемтәләре белән һәм Е нокталары белән тоташтырылган. DC _L СЕ булуын исбатлагыз.

М—16

154 нче рәсемдә АВ = ВС, AO = OD һәм ВО = ОС. BD — ЕВС почмагы­ның биссектрисасы булуын исбат­лагыз.

М—17

1. ABC өчпочмагында В почмагы җәенке. Өчпочмак эчендә, ОВСпочмагы АРСпочмагыннан кечерәк булырлык итеп, О һәм Р нокталарын билгеләргә буламы?

2. ABC өчпочмагында АВ =ВС. А һәм С түбәләре янындагы тышкы почмакларның биссектрисалары О ноктасында кисешүче турыларда ята. AO = ОВ = ОС тигезлеге үтәлергә мөмкинме?

М—18

1. ABC өчпочмагының эчендә D ноктасы алынган. Z BCD + + Z BAD > Z DAC. AC > DC булуын исбатлагыз.

2. Җәенкепочмаклы ABC өчпочмагында, Z.BOC = Z.BCO, Z_ BOA = BAO булырлык итеп, биеклекләрнең дәвамнары О ноктасында кисешәләр. ВСА почмагын табыгыз.

М—19

1. АС һәм BD кисемтәләре эчке ноктада кисешәләр. 2(BD+ + AC) > ВС+ AD+ АВ+ CD булуын исбатлагыз.

2. Тигезьянлы ABC өчпочмагының тышында .Сноктасы бил­геләнгән, ә аның эчендә — М ноктасы. MA < BE + EC бу­луын исбатлагыз.

1. ABC өчпочмагында Z В = 90°. ВС ягында алынган D нокта­сыннан ВС га перпендикуляр булган һәм АС ны О нокта­сында кисүче DE кисемтәсе үткәрелгән, Z DOC = 70^ll, Z DEC= 45⁰, Z-∙BAD= 50^o. AED почмагын табыгыз.

2. ABC өчпочмагында Z C= 90^o, Z B= 45°. CZ? кисемтәсе AB ягын кисеп үтә, Z CEA = 90^o. AB һәм AC якларында, M ноктасы ЛСның уртасы һәм PM± AC, PM = EA булырлык итеп, Рһәм Мнокталары алынган. .ЁЛСпочмагын табыгыз.

М—21

1. ЛВС өчпочмагында AA₁ һәм CC₁ биеклекләре О ноктасында кисе­шәләр, Z BAA₁ = Z ACC₁, A₁O = C₁C. AC = 2ВА_} булуын исбат­лагыз.

2. 155 нче рәсемдә Z ABC = 50°, Z BAC= 40^o, Z AM_lM = 90^o, AM_l = = BA_λ, A₁A = AM. Әгәр Л, һәм C₁ нокталары тиңдәшле рәвештә ВСҺәм ЛВның урталары булса, Z>C₁ = C₁C булуын исбатлагыз.

Рәс. 155

М—22

1. Л ноктасыннан ниндидер турыга ЛС перпендикуляры һәм АВ авышмасы үткәрелгән. Е һәм D нокталары тиңдәшле рәвештә АВ һәм АС кисемтәләрендә ята. ED < АВ булуын исбатлагыз.

2. МКР өчпочмагында Z Р= 90". Тиңдәшле рәвештә ЛЖҺәм РК якларында алынган Л һәм В нокталары аша МР га параллель булган АВ турысы үткәрелгән. АВ һәм МР турылары арасындагы ераклык К ноктасыннан АВ туры­сына кадәрге ераклыктан ике тапкырга зуррак. MP= ЗАВ булуын исбатлагыз.

1. 156 нчы рәсемдә АВ = ВС, В һәм D нокталары Λ^C турысыннан В һәм Dнокталарына ераклашкан. 2BC< AD+ DC булуын исбатла­гыз.

2. ABC почмагы бирелгән, аның түбәсе аша почмакның тышын­да а турысы үткәрелгән Һәм РО кисемтәсе бирелгән. ABC поч­магы эчендә а турысыннан РО ераклыгында урнашкан һәм АВ һәм ВС турыларыннан тигез ераклашкан нокта төзегез.

Рәс. 156

М—24

1. А почмагы һәм аның эчендә Мноктасы бирелгән. Почмак­ның якларында, AM кисемтәсе ABC өчпочмагының медиа­насы булырлык итеп, В һәм С нокталарын төзегез.

2. PQ, P₁Q₁, P2Q2 кисемтәләре һәм hk почмагы бирелгән. Өч­почмакта PQ га тигез булган AM кисемтәсе АВ ягында, ә P∖Q_λ гә тигез булган СЕ кисемтәсе ВС ягында, АС - ME = = P2Q2, ME∖∖AC, Z АМС = Z. hk булырлык итеп, ничек шун­дый ABC өчпочмагын төзергә була?

М—25*

1. ABC өчпочмагының АС ягында М ноктасы алынган. ВС, AM кисемтәләре һәм ABM, АМВ почмаклары буенча ABC өчпочмагын төзегез.

2. А һәм В почмакларының аермасы, CD биеклеге һәм ВС ягы буенча кысынкыпочмаклы өчпочмак төзегез.

М—26

Ниндидер бер әйләнәдә ^ноктасында кисешүче тигез ике хорда КМ һәм PH үткәрелгән. О әйләнәсенең үзәге КНТ өчпочма­гының эчендә урнашкан, өстәвенә О ноктасыннан НК туры­сына кадәрге ераклык, О ноктасыннан РМтурысына кадәрге ераклыкка караганда, кечерәк, Z MPH = Z МКН.

1) Z КОМ = Z РОНбулуын исбатлагыз.

2) Z POK+ 2Z ОМН= 180° булуын исбатлагыз.

3) РМ || КН булуын исбатлагыз.

4) РМ һәм КН кисемтәләрен чагыштырыгыз.

КОНТРОЛЬ ЭШЛӘР

1нчевариант

К—1

1°. 157 нче рәсемдә ОС нуры — АОВ почмагының биссектрисасы. АОВ почмагы туры булса, BOD почмагын табыгыз.

2°. Турыда А, В, С, 7? нокталары; С ноктасы А һәм В нокталары ара­сында, ә В ноктасы CD кисем­тәсенеке булырлык- итеп билге­ләнгән. АС = 65 cm, BD = 6,4 дм. АВ һәм CD кисемтәләрен чагыш­тырыгыз.

3.

АРҺәм ВС турылары О нок­тасында кисешә. АОВ почмагы эчендә М ноктасы, ә COD почма-

а) АОМ һәм СОК почмакларын табыгыз.

б) МОВ һәм СОК почмаклары вертикаль буламы? Җавапны аңлатыгыз.

2 нче вариант

4*. Өч туры бирелгән, аларның һәрберсе, берне булса да, икенчесен кисеп үтә. Андый турыларның барлыгы ничә кисешү ноктасы була?

магы эчендә А ноктасы алынган,

ә ТИТЖпочмагы эчендә — В ноктасы. Z АКН = 40⁰, Z МКВ= 50°.

а) РКА һәм ВКЕ нокталарын табыгыз.

б) А, К, В нокталары бер турыда ятамы?

Җавапны аңлатыгыз.

4*. Алты кисемтәне аларның һәрберсе калган өчесе белән уртак ноктасы һәм бу барлык нокталарның саны төгәл бишкә тигез булырлык итеп урнаштырыгыз.

1°. 159 нчы рәсемдә AS һәм CD турылары үзара перпендикуляр. Z KOD = 135^o. OK нуры АОС поч­магының биссектрисасы буламы?

2^o. PH кисемтәсендә, Я’ноктасы Рһәм ЛГнокталары арасында ятар­лык итеп, К һәм М нокталары билгеләнгән, НК = 53,5 см, РМ= _ 535 мм. Р/Гһәм НМкисемтәләрен D чагыштырыгыз.

3. Җәелгән АОВ почмагы яссы­лыкны ике өлешкә бүлә. Е нок­тасы — бер өлештә, Р ноктасы икенчесендә ята; Z ЕОВ = 50°, ZPOS=130^o.

а) ЕОВ һәм РОА почмаклары тигезме?

б) ЕОВ һәм РОА почмаклары вертикаль буламы?

Җавапларны аңлатыгыз.

4*. Һәр кисемтәгә өчешәр нокта туры килерлек итеп, алты ноктаны бер турыда ятмаучы дүрт кисемтәдә урнаштырырга буламы?

К—1                                                         4 нче вариант

1°. 160 нчы рәсемдә а һәм Ъ ту­рылары үзара перпендикуляр. 1 \“ ^b

һәм 2 почмакларының суммасын табыгыз.                                           /

2⁰. Е ноктасы турыда Р һәм К '<                                                   /

нокталары арасында ята, ә К нок-                             ^x∖ /

тасы ЕМ кисемтәсенә керә; РЕ = _________________________ 1\/2________________

= 5 см, ЕК = 6 см, KM = 8 см. РЕ                                          2\.

һәм КМ кисемтәләренең урталары                                 / X.

арасындагы ераклыкны табыгыз.                            /

Җавапны миллиметрда белдере- /                                                    'Ч

гез.                                                             '         /

3. Җәелгән АОВпочмагы яссы- ^z

лыкны ике өлешкә бүлә. ОМ ну-                                      _pθ_{c 1}θθ

ры — бер өлештә, ә (ЗТГнуры икенче­

сендә ята. МОА һәм КОВ почмакларының туры почмак булуы билгеле.

а) РОЛ/һәм КОА почмаклары тигезме?

б) МК һәм АВ турылары үзара перпендикуляр буламы? Җавапларны аңлатыгыз.

4*. Араларында кисешүче турылар булган өч туры яссы­лыкны ничә өлешкә бүләргә мөмкин?

	Рэс. 161

	Рәс. 162

1°. 161 нче рәсемдә AS һәм CD кисемтәләренең урталары уртак. АОС һәм BOD өчпочмакларының тигез булуын исбатлагыз.

2°. Туры һәм кисемтә бирелгән. Ноктадан бу турыга төшерелгән перпендикуляр бирелгән кисем- л тәгә тигез булырлык итеп, нокта­ны төзегез.

3. ABC өчпочмагында AB = BC. ^^медианасында М ноктасы, ә AS һәм ВС якларында тиңдәшле рәвештә Рһәм К нокталары билгеләнгән. (Р, М һәм К нокталары бер турыда ятмый.) Z. BMP = Z ВМК булуы билгеле. Исбатлагыз:

а) ВРМ һәм ВКМ почмакларының тигез булуын.

б) РЛГҺәм ВМтурыларының үзара перпендикуляр булуын.

4*. 54° ка тигез булган почмак бирелгән. Циркуль белән сызгыч ярдәмендә 18° лы почмак төзергә буламы?

2 нче вариант

1°. 162 нче рәсемдә BD нуры — ABC почмагының биссектрисасы, ә .ОЛнуры — ADC почмагының биссектрисасы. ABD һәм CBD өчпочмакларының тигез булуын исбатлагыз.

2°. Кисемтә бирелгән. Үзара перпен­дикуляр булган нинди дә булса ике туры төзегез һәм аларның берсендә бирелгәнгә тигез кисемтә салыгыз.

3. ABC өчпочмагы эчендә О нокта­сы алынган, өстәвенә Z ВОС = Z. ВОА, АО = ОС.

а) ВАС һәм ВСА почмакларының ти­гез булуын исбатлагыз.

б) ВО турысының АС кисемтәсе ур­тасы аша узуын исбатлагыз.

4*. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә ни­чек итеп ll⁰15^, ка тигез булган почмак төзергә була?

	4 нче вариант
		Рәс. 164

1°. 163 нче рәсемдә АВ ки­семтәсе CD кисемтәсенә тигез, ә ВС в  с

кисемтәсе AD кисемтәсенә тигез. ∖, АВ һәм СВ өчпочмакларының ти- гез булуын исбатлагыз.

2°. Җәелгән почмак һәм ки- семтә бирелгән. Почмакның түбә- сеннән бирелгән кисемтәнең ярты- —J

сына тигез ераклыкта урнашкан ^А ноктаны төзегез. р_әс_ ιθ3

3. АС нигезенә үткәрелгән ти­гезьянлы ABC өчпочмагының биеклегендә Р ноктасы алынган, ә АВ һәм ВС якларында — тиңдәшле рәвештә М һәм N нокталары. (М, РҺәм К нокталары бер турыда ята.) ВМ = ВКбулуы билгеле.

а) BΛfPһәм ВКРпочмакларының тигез булуын исбатлагыз.

б) КМР һәм РКМ почмакларының тигез булуын исбат­лагыз.

4*. 34° лы почмак бирелгән. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә 12° лы почмак төзеп буламы?

К—2

1°. 1641146 рәсемдә АСҺәм CD кисемтәләре — әйләнәнең диаметр­лары. AOD һәм ВОС өчпочмакла­рының тигез булуын исбатлагыз.

2°. Җәелгән почмак һәм ки­семтә бирелгән. Бирелгәнгә тигез булган нинди дә булса почмак тө­зегез һәм аның ягында почмак түбәсеннән бирелгән кисемтәнең яртысына тигез ераклыкта нокта төзегез.

3. Нигезе ЛСбулган тигезьянлы ABC өчпочмагының АВ, ВС, АС якларында, Z AMP = Z РКС һәм AM = КС булырлык итеп, М, К, Р нокталары билгеләнгән.

а) MP = РКбулуын исбатлагыз.

б) МК һәм ВР турыларының үз­ара перпендикуляр булуын исбатла­гыз.

4*. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә ничек итеп 67^o30^, лы почмак төзергә мөмкин?

l⁰.165 нче рәсемдә Z 1 + Z 2 =180’, Z 3 = 50^o. 4 почмагын табыгыз.

2^o. Өчпочмакның ике ягы бер турыга параллель була аламы?

3. ABC өчпочмагының АВ, ВС, АС якларында тиңдәшле рәвештә Т, Р, М нокталары билгелән­гән: ZMPC^,= 51^o, ZΛ_jβC=52^o, ΔATM= 52°.

а) ТМР почмагын табыгыз.

Рәс. 166

б) МР һәм ВТ турыларының бер уртак ноктасы булуын исбат­лагыз.

4*. Картоннан кырыйлары па­раллель булган полосалар рәвешен­дәге шаблон кисеп алынган (рәс. 166). Ничек итеп бу шаблон ярдә­мендә бирелгәнгә тигез почмак тө­зергә?

2 нче вариант

К—3

1°. 167 нче рәсемдә Z 1 = Z 2, Z 3 = 140°. 4 почмагын табыгыз.

2^o. ABC өчпочмагының эчке өлкәсендә алынган нокта аша АВ турысына параллель итеп туры үткәрелгән. Бу туры ВС турысын кисеп үтәме?

Рәс. 168

3. Турыга бер-бер артлы АВ, ВС, CD кисемтәләре салынган. Е һәм Р нокталары бу турының төрле якларында ята. Z ABE = Z PCD = = 143^o, Z PBD= 49⁰, Z ACE 48°.

а) -Bfi^,hθM PC турыларының па­раллель булуын исбатлагыз.

б) РВ һәм СЕ турыларының ки­сешүен исбатлагыз.

4*. Картоннан кырыйлары па­раллель булган полосалар рәве­шендәге шаблон кисеп алынган (рәс.168). Ничек итеп бу шаблон ярдәмендә суммасы 180° ка тигез булган ике чиктәш булмаган почмак төзергә мөмкин?

1°. 169 нчы рәсемдә Z 1 = Z 2, Z 3 =120°. 4 почмагын та­быгыз.

2°. Өч туры: а, Ъ, с бирелгән; α∣∣b, h∣∣c. а һәм с турылары­ның ничә уртак ноктасы бар?

3. Турыдан бер якта ятучы А һәм В нокталарыннан бу турыга ЛСҺәм BD перпендикулярлары үткәрелгән; Z ВАС = = 117°.

а) ABD почмагын табыгыз.

б) АВ һәм CD турыларының кисешүен исбатлагыз.

4*. Картоннан җәелмәгән почмак рәвешендәге шаблон кисеп алынган (рәс. 170). Бу шаблон ярдәмендә ничек итеп параллель турыларда ятучы ике кисемтә төзергә?

	Рәс. 170

 

К—3                                                                                  4 нче вариант

1°. 171 нче рәсемдә Z 1 = Z 2, АВ ± а. 3 почмагын табыгыз.

2°. Өч туры: а, Ъ, с бирелгән; α∣∣ Ъ, а турысы с турысын кисеп үтә. Ъ һәм с турыларының ничә уртак ноктасы бар?

3. 43° ка тигез булган А почмагының ягында В һәм С нокталары, ә почмак эчендә, Z ABD = 137^o, Z BDC = 45° булырлык итеп, Dноктасы билгеләнгән.

а) ACD почмагын табыгыз.

б) АВ һәм DC турыларының уртак ноктасы булуын исбатлагыз.

4*. Картоннан җәелмәгән почмак рәвешендәге шаблон кисеп алынган (рәс. 172). Ничек итеп бу шаблон һәм бүлемнәре булмаган сызгыч ярдәмендә ике турының параллельлеген тикшерергә?

Рәс. 172

 

 

1°. АВС өчпочмагында Z В = 70^o, Z С = 60°. АС һәм ВС кисемтәләрен чагыштырыгыз.

2°. АбСһәм МРКөчпочмаклары бирелгән'. Z A = Z M= 90^o, Z C = Z K, BC = KP, AC = ⅛BC. P почмагын табыгыз.

3. ABC өчпочмагында Z A = 90^o, Z C =15⁰. AC ягында, Z DBC= 15^o булырлык итеп, Рноктасы билгеләнгән.

а) BD= 2АВ булуын исбатлагыз.

б) BC< 4АВ булуын исбатлагыз.

4*. Өчпочмакта барлык якларының озынлыклары төрлечә.

Бу өчпочмакны тигезьяклы өчпочмакларга бүлеп буламы?

К—4                                                         2 нче вариант

l^o. ABC өчпочмагында AB> ВС> АС. Өчпочмак поч­макларының берсе 120° ка, икенчесе 40° ка тигез булса, A, В, С почмакларын табыгыз.

2⁰. ABC һәм МКР өчпочмакларында Z A = Z М= 90°, АВ = = MP, BC — КР, Z B = 30^o. KM = ∙~ АР булуын исбатлагыз.

3. ABC өчпочмагында Z С= 60°. A С ягында, Z BDC= 60°, Z ABD= 30° булырлык итеп, Dноктасы билгеләнгән.

а) AD = ВС булуын исбатлагыз.

б) ABC өчпочмагының периметры биш ВС кисемтәсе озынлыгыннан кимрәк булуын исбатлагыз.

4*. Нинди дә булса дүрт тигезьянлы өчпочмактан ти­гезьянлы өчпочмак төзеп буламы?

К—4                                                         3 нче вариант

l^o. ABC өчпочмагының В түбәсе янындагы тышкы почмагы 40° ка тигез, ә бу өчпочмакның бер эчке почмагы 20° ка тигез. АВ һәм ВС кисемтәләрен чагыштырыгыз.

2⁰. ABC һәм МРК өчпочмаклары бирелгән, биредә Z A = = AM= 90°, ВС = РК, Z С = Z К. АВ + РК > АС булуын исбатлагыз.

3. ABC өчпочмагында В почмагы туры, BD — өчпочмакның биеклеге.

а) ZΛ=Z DBCбулуын исбатлагыз.

б) A < С булса, AD > ОСЪулуып исбатлагыз.

4*. Нинди дә булса турыпочмаклы өчпочмакны берсе тигезьяклы, икенчесе тигезьянлы булган ике өчпочмакка бүлеп буламы?

l^o . АВС өчпочмагында А һәм С почмаклары тигез, BD— өчпочмакның биеклеге. ЛВРҺәм СВР өчпочмакларының тигез булуын исбатлагыз.

2^o. ABC өчпочмагында А почмагы туры, С почмагы 60° ка тигез. АВ < 2АС булуын исбатлагыз.

3. ABC өчпочмагының АС һәм ВС якларында тиңдәшле рәвештә Мһәм Ннокталары, АВСҺәм СМНпочмаклары тигез булырлык итеп билгеләнгән.

а) ЛЖСҺәм САВпочмакларының тигез булуын исбатлагыз.

б) МН< СЛ/булса, АВ< ВСЪулуыя. исбатлагыз.

4*. Өчпочмакның барлык яклары төрле озынлыкта. Бу өчпочмакны ике тигез өчпочмакка бүлеп буламы?

К—5                                                           1 нче вариант

ABC өчпочмагында Z A = Z С = 45°.

а) ^o Өчпочмакның нинди булуын ачыклагыз һәм аны АВ ягында төзегез.

б) ^o BD медианасы ABC өчпочмагын ике тигез өчпочмакка бүлүен исбатлагыз.

в) ABC өчпочмагының BD медианасына перпендикуляр булган ВК турысында АС турысы белән кисешү ноктасы булмавын исбатлагыз.

г) ABC өчпочмагының BD медианасына перпендикуляр булган ВК турысы бу өчпочмакның бер тышкы почмагының биссектрисасын үз эченә алуын исбатлагыз.

д) * Рноктасы ABC өчпочмагының BD медианасын үз эченә алган турыда ятса, АЕ = EC тигезлеге үтәлерме?

К—5                                                           2 нче вариант

ABC өчпочмагында Z A = Z. С= 60°.

а) ^o Өчпочмакның нинди булуын ачыклагыз һәм аны ЛЛ ягында төзегез.

б) ° М, Н, К нокталары ABC өчпочмагының тиңдәшле рә­вештә AB, ВС һәм АС якларының урталары булса, МВН өчпочмагының НКС өчпочмагына тигез булуын исбатлагыз.

в) М һәм Н тиңдәшле рәвештә АВ һәм ВС якларының урталары булса, ВМНпочмагын табыгыз һәм Л/Н||ЛСбулуын исбатлагыз.

г) М һәм Н нокталары ABC өчпочмагының тиңдәшле рәвештә АВ һәм ВС якларының урталары булса, В ноктасын­нан НМ турысына кадәрге ераклыкның МН һәм АС арасын­дагы ераклыкка тигез булуын исбатлагыз.

д) * ABC өчпочмагының түбәләреннән тигез ераклашкан ноктаны ничек төзергә була?

ЛЯС өчпочмагында ZЛ = 60^o, Z,C= 30°.

а) ^o Өчпочмакның нинди булуын ачыклагыз һәм аны АВ ягында төзегез.

б) ⁰ М ноктасы ABC өчпочмагының тышында МА ||ЯСҺәм MC∖∖AB булырлык итеп урнашса, СМА һәм ABC өчпоч­макларының тигез булуын исбатлагыз.

в) М ноктасы ABC өчпочмагының тышында урнашса һәм MA ∖∖BC, МС || ЛЯбулса, ЛЯ± MA,BC± МС, CM 1 МА булуын исбатлагыз.

г) О ноктасы ЛСкисемтәсенең уртасы булса, ВОА почмагын табыгыз.

д) * М ноктасы ЛЯС өчпочмагының тышында һәм МА \\ВС, МС ||АВ булса, Л, Я, С, М нокталары аша әйләнә үткәреп бу­ламы?

К—5                                                        4 нче вариант

Тигез ЛЯ һәм CD кисемтәләре О ноктасында кисешә, бу нокта аларның һәрберсенең уртасы булып тора, өстәвенә AD AO.

а) ⁰ ADO өчпочмагының нинди булуын ачыклагыз һәм AD кисемтәсе бирелгән булса, мәсьәләнең шартында әйтелгән ЛЯ һәм CD кисемтәләрен төзегез.

б) ^o ВС || ADбулуын исбатлагыз.

в) М ноктасы AD кисемтәсенең уртасы булганда, ОМ һәм CO кисемтәләрен чагыштырыгыз.

г) Әгәр Яноктасы ЯСС? һәм DAО почмаклары биссектрисала­рының кисешү ноктасы булса, АЕС почмагын табыгыз.

д) * М ноктасы ЛРның уртасы, Н ноктасы ЯС ның уртасы булса, О ноктасы МН кисемтәсенең уртасы буламы?

 

МАТЕМАТИК ДИКТАНТЛАР

МД-1

1 нче ВАРИАНТ

1. Ике кисешүче туры сызы­гыз һәм аларның берсендә икенче белән уртак ноктасы булмаган кисемтә сайлап алыгыз. Бервакытта ике турыга да керүче ноктаны күрсәтегез.

2.

173 нче рәсемдә башлан­гычы күрсәтелгән нокта­ларда сурәтләнгән ничә нур

4. а) Кисемтәнең уртасы дип ... атала.

б) 174 нче рәсемдә ОС — АОВ почмагының биссектрисасы. АОЛ/һәм МОВ почмакларын чагыштырыгыз.

5. А, 2? һәм Снокталары бер турыда ята; AB= 4 см, АС = 10 см. ВС кисемтәнең озынлыгы ... тигез.

6. АС= 17 см, АВ= 10 см, ВС= 8 см. А, В һәм Снокталары бер турыда ятамы?

7. 160° ка тигез булган почмак башлангычы почмак түбәсендәге нур белән берсе икенчесеннән 20° ка зуррак булган ике почмакка бүленә. Шуңа күрә бу почмаклар ... тигез була.

8. 175 нче рәсемдә Z СОА = 40°, ОМ — СОВның биссектриса­сы. Шуңа күрә Z МОВ= ...

9. 176 нчы рәсемдә сурәтләнгән почмакларның тагын кайсы 40° ка тигез? Ни өчен?

10. 177 нче рәсемдә AB± BF. АСС почмагы 90° ка тигез булырга мөмкинме? Ни өчен?

2 нче ВАРИАНТ

1. Кисешүче ике туры сызыгыз һәм аларның берсендә икенче туры белән уртак ноктасы булган кисемтә сайлап алыгыз. Бу турыларның берсенә кергән, ә икенчесенә кермәгән ноктаны күрсәтегез.

2. 178 нче рәсемдә башлангычы күрсәтелгән нокталарда яткан ничә нур сурәтләнгән?

3. Җәелмәгән COD почмагын сызыгыз. Аның эчке өлкәсе буенча ОЕ нуры үткәрегез. DOE почмагының эчке өлкә­сенә кергән А ноктасын бер үк вакытта COD почмагын эчке өлкәсенә һәм DOE почмагының тышкы өлкәсенә керүче В ноктасын билгеләгез.

4. а) Почмакның биссектрисасы дип ... атала.

б) 179 нчы рәсемдә О — АВ кисемтәсенең уртасы. АС һәм СВ кисемтәләрен чагыштырыгыз.

5.

Рәс. 178

Е, F һәм М нокталары бер турыда ята; EF= 5 дм, ЕМ= = 12 дм. FMкисемтәсенең озынлыгы ... тигез.

Рәс. 179

Рәс. 180

 

 

6. EF≈ 25 cm, EM= 10 см, MF= 16 см. Е, М һәм F нокталары бер турыда ятамы?

7. 80° ка тигез булган поч­мак, башлангычы почмак түбәсендә яткан нур белән, бер почмакның градуслы үлчәме икенчесеннән 3 тапкыр зуррак булган ике почмакка бүленә. Шуңа күрә бу почмаклар ... ти­гез була.

8. 180 нче рәсемдә Z,AOF= = 100^o, ОВ — АОЕ ның биссектрисасы. Шуңа күрә Z. АОВ = ...

МД-2

1 нче ВАРИАНТ

1. Δ ABC = ∖ A_xB_xC_x, BC = B_λC₁, Z. А = 35°. Шуңа күрә Z A₁ = ...

2. 183 нче рәсемдә AB = FM, AC = EM, Z. ВАС = A FME. ны

табыгыз.	В	F
	-----------
	Рәс. 183

в

в

 

 

3. Өчпочмакның медианасы дип ... атала.

4. Сызгыч һәм почмаклык ярдәмендә В һәм С түбәләреннән төшерелгән биеклекләрне сызыгыз (рәс.184).

5. 185 нче рәсемдә AB = ВС, Z ВАС = 40^o, AD = DC. Z. 1ын һәм Z BDC ын табыгыз.

6. 186 нчы рәсемдә сурәтләнгән тигез өчпочмаклар парын күрсәтегез.

7.187 нче рәсемдә AB = AD һәм ВС = CD. СА — BCD почма­гының биссектрисасы буламы?

8. 188 нче рәсемдәге әйләнәнең радиусы, диаметры һәм хор­дасы булган кисемтәләрне күрсәтегез.

9. Ирекле почмак һәм ирекле нур сызыгыз. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә бирелгән нурдан бирелгән почмакка тигез почмак төзегез.

10. Кисемтә сызыгыз, циркуль һәм сызгыч ярдәмендә аны урталай бүлегез.

	Рәс. 188

Рәс. 187

2 нче ВАРИАНТ

1. Δ EFM=Δ E_iF₁M₁, XF=XF_x, E_iM_l = 7 см. Шуңа күрә ЕМ=...

2. 189 нчы рәсемдә EL = AF, LK = AM, XELK = XMAF, ХЕ= = 40°. Шуңа күрә XF=...

3. Өчпочмакның биеклеге дип ... атала.

4. Сызгыч һәм почмаклык ярдәмендә К һәм N түбәләреннән үткәрелгән (рәс.190) биеклекне сызыгыз.

5. 191 нче рәсемдә EF = FM, X EFA = X MFA, X FEA = 50°. X 1 ын һәм X ЕАЕын табыгыз.

6. 192 нче рәсемдә сурәтләнгән тигез өчпочмаклар парын күрсәтегез. Дәлилләгез.

7.

А

193 иче рәсемдә AD = DC һәм AB = ВС. BD — ABC почма­гының биссектрисасы булырмы?

8. 194 нче рәсемдәге әйләнәнең радиусы, диаметры һәм хорда­сы булган кисемтәләрне күрсәтегез.

9. Ирекле почмак сызыгыз, циркуль һәм сызгыч ярдәмен­дә аның биссектрисасын төзегез.

10. Ирекле туры сызыгыз һәм анда ирекле нокта сайлап алы­гыз. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә бирелгән турыга перпендикуляр булып бирелгән нокта аша узучы турыны төзегез.

мд-з

1 нче ВАРИАНТ

1. 195 нче рәсемдә аркылы яту­чы почмаклар, якташ һәм тиңдәш почмаклар парын күр­сәтегез.

2.

196 нчы рәсемдә күрсәтелгән турыларның кайсылары па­раллель? Ни өчен?

3. 197 нче рәсемдә AB = CD, АС = СЕ, ABAC= Z.DCE. ВСҺём DE турыларының уртак нокталары бармы?

4. 198 нче рәсемдә сурәтләнгән а һәм с турылары кисешәме? Ни өчен?

5. a ± с, b ± с. d турысы а турысын кисеп үтә. Бу туры b турысын кисеп үтәрме? Ни өчен?

6. Почмаклык һәм сызгыч ярдәмендә I турысына параллель һәм АВ кисемтәсенең очлары аша узучы турылар үткә­регез (рәс. 199).

7. Ирекле туры сызыгыз һәм аның тышында нокта сайлап алыгыз. Циркуль һәм сызгыч ярдәмендә бирелгән нокта аша бирелгән турыга параллель туры үткәрегез.

8. 200 нче рәсемдә a || b. Z 1 күпмегә тигез? Ни өчен?

9. 201 нче рәсемдә а || Ь. ВАС почмагы күпмегә тигез?

10j 202 нче рәсемдә Z 1 = Z 2. 3 һәм 4 почмаклары тигезме? ' Ни өчен?

2 нче ВАРИАНТ

5.

Турыпочмаклы ABC өчпочмагында X С= 90°, Е еВС. Е нок­тасы аша ВС га перпендикуляр итеп туры үткәрелгән. Бу туры АСтурысын кисеп үтәме? Ни өчен?

6.

Почмаклык һәм сызгыч ярдәмендә т турысына параллель итеп, кисемтәнең очлары Е һәм F аша узучы (рәс. 207) турылар үткәрегез.

 

7. Ирекле ABC өчпочмагы сызыгыз һәм циркуль белән сыз­гыч ярдәмендә В түбәсе аша узучы һәм АС турысына параллель булган туры үткәрегез.

8. 208 нче рәсемдә τn∣∣n. 1 почмагы күпмегә тигез? Ни өчен?

9. 209 нчы рәсемдә zn∣∣n. ВАС почмагы күпмегә тигез?

10. 210 нчы рәсемдә Z 1 + Z 2 = 180°. 3 һәм 4 почмаклары тигезме? Ни өчен?

МД—4

1 нче ВАРИАНТ

1. Тигезьянлы өчпочмакның нигезе янындагы почмагы 20° ка тигез. Шуңа күрә өчпочмакның түбәсе янындагы почмагы ... тигез.

2. ABC өчпочмагында АВ = 10 см, ВС = 11 см. Сһәм А поч­макларын үткәрегез.

3. ABC өчпочмагында Z Л = Z С. BD— медиана. Шуңа күрә BDC... тигез.

4. Өчпочмакның ике ягы 1 см һәм 0,9 см га тигез. Өченче як­ның озынлыгы бөтен сан белән белдерелсә, ул якны табыгыз.

5.

Рәс. 211

211 нче рәсемдәге өчпочмаклар тигез. Рәсемдә бирелгәннәр буенча ~S^- не табыгыз.

6. Турыпочмаклы ABC өчпочма­гында (Z С = 90°) АС = 10 см, ZB=60^o. Ул вакытта С түбә­сеннән АВ гипотенузасына ка­дәрге ераклык ... тигез.

7. α∣∣∂, АЕа, ВЕЪ, CEa,AB±b,AB= = 7 см. Сноктасыннан b туры­сына кадәрге ераклык ... тигез.

8.

Ике параллель туры сызыгыз һәм бу турылардан тигез ерак-

почмакның уртак якларын эченә алган турыга төшерелгән биеклегенә тигез булсын.

10. Циркуль белән сызгыч ярдәмендә нигезе һәм нигезе янын­дагы почмагы буенча тигезьянлы өчпочмак төзегез.

2 нче ВАРИАНТ

1. ABC өчпочмагында Z A = 30^o, Z В= 100°. Ул вакытта Стү- бәсе янындагы тышкы почмак ... тигез.

2. ABC өчпочмагында Z A = 40^o, Z С= 41°. ВСҺәм АВ якларын чагыштырыгыз.

3. EFK өчпочмагында Z Е = Z. К, FM ± ЕК. EFM һәм MFK почмакларын чагыштырыгыз.

4. Өчпочмакның ике ягы 0,9 см һәм 1,9 см га тигез. Өченче якның озынлыгы бөтен сан белән белдерелсә, ул якны та­быгыз.

5. 212 нче рәсемдәге өчпочмаклар турыпочмаклы. Рәсемнең бирелгәннәре буенча NF—N_xF∖ аермасын табыгыз.

6. Турыпочмаклы ABC өчпочмагында (Z C= 90^o) Z В = 60°. С түбәсеннән АВ гипотенузасына кадәрге ераклык 8 см га

7. a∖∖b, A Ea, BE b, AB±a, AB =12 cm. Ул вакытта a һәм b турылары арасындагы ераклык ... тигез.

8. Туры һәм ниндидер кисемтә сызыгыз. Бирелгән турыдан бирелгән кисемтәнең озынлыгына тигез ераклыкта ур­нашкан нокталар күплеген сурәтләгез.

9. Кысынкыпочмаклы ABC өчпочмагы сызыгыз. АС нигезе белән һәм Стүбәсе янындагы почмагы җәенке булган җәен- кепочмаклы өчпочмак төзегез, АС турысына төшерелгән аның биеклеге бирелгән өчпочмакның үткәрелгән биек­легенә тигез булсын.

10. Циркуль белән сызгыч ярдәмендә ян ягы һәм түбәсе янын­дагы почмагы буенча тигезьянлы өчпочмак төзегез.

ГЕОМЕТРИЯДӘН ИМТИХАННАРГА ҮРНӘК
МӘСЬӘЛӘЛӘР[*]

Тема. Геометрик төзүләр

а) Катет һәм аның янында ятучы кысынкы почмак буенча турыпочмаклы өчпочмак төзегез.

б) Катет һәм аңа каршы ятучы кысынкы почмак буенча турыпочмаклы өчпочмак төзегез.

в) Кысынкы почмак һәм туры почмак түбәсеннән үткә­релгән биеклек буенча турыпочмаклы өчпочмак төзегез.

Тема. Тигезьянлы өчпочмак

а) Җәенкепочмаклы тигезьянлы өчпочмакның ике ягының аермасы 8 см га тигез, ә аның периметры 38 см га тигез. Өчпочмакның якларын табыгыз.

б) Тигезьянлы ABC өчпочмагында В почмагы — җәенке. BD биеклеге 8 см га тигез. ABD өчпочмагының периметры 24 см га тигез булса, ABC өчпочмагының периметрын табыгыз.

в) ABC өчпочмагында А һәм С түбәләре янындагы тышкы почмаклар тигез. ABC өчпочмагының периметры 36 дм, ә ABD өчпочмагының периметры 24 дм га тигез булса, BD бис­сектрисасы озынлыгын табыгыз.

Тема. Параллель турылар

а) ABC өчпочмагының АВ һәм ВС якларында тиңдәшле рәвештә М һәм А* нокталары алынган: Z A =2 ВМН= 50°, Z С — 60°. Z МНС ын табыгыз.

б) ABC өчпочмагында Z A = 50°, Z С= 80°. Өчпочмакның С түбәсендәге тышкы почмагының биссектрисасы АВ ту­рысына параллель булган турыда ятуын исбатлагыз.

в) Җәелмәгән почмакның бер ягында А һәм Снокталары, ә икенчесендә В һәм D нокталары, АВ || CD булырлык итеп алынган. М ноктасы АВ кисемтәсенә керә; Z MCA = Z MCD, Z MDC = ZL MDB. АВ — AC+ BD булуын исбатлагыз.

Тема. Чиктәш почмаклар

а) ABD һәм ABC почмаклары чиктәш, ВО — ABD поч­магының биссектрисасы. Z ABC = 40^o булса, Z OBD ын табы­гыз.

б) КМ һәм КР нурлары АКБ һәм ВКС почмакларының биссектрисалары булырлык итеп, ABC өчпочмагының АВ, ВС, ЛСякларында тиңдәшле рәвештә М, Р, АГнокталары алынган. Z.MKP = 90° булуын исбатлагыз.

в) Үзәге О һәм диаметры АВбулган әйләнә бирелгән. Әйлә­нә тышында, МА һәм MB турылары әйләнәне тиңдәшле рәвеш­тә Сһәм Dнокталарында кисеп үтәрлек итеп, Λf ноктасы алын­ган; AC = CD = BD. АС = ОВ булуын исбатлагыз.

Тема. Әйләнә

а) Үзәге О булган әйләнәдә өч радиус ОВ, ОС, ОА үткәрелгән, ААОВ = АВОС. А.ОАВ = Z.OCB булуын исбатлагыз.

б) Үзәге О булган әйләнәдә, ОВ ± АС булырлык һәм ОВ һәм АС кисемтәләре кисешерлек итеп, өч радиус ОА, ОВ, ОС үткәрелгән. AB == ВС булуын исбатлагыз.

в) Үзәге О булган әйләнәдә параллель булмаган ике тигез хорда АВ һәм CD үткәрелгән. М ноктасы — АВ хордасының уртасы, ә Н ноктасы — С хордасының уртасы. НМО һәм МНО почмакларының тигез булуын исбатлагыз.

Тема. Геометрик төзүләр

а) Нигезе һәм ян якларының суммасы буенча тигезьянлы өчпочмак төзегез.

б) Периметры бирелгән өчпочмакның периметрыннан бер ярым тапкырга зуррак булган тигезьянлы өчпочмак төзегез.

в) PQ, P∖Q_x, P₁Q, кисемтәләре бирелгән. АС нигезе PQ га тигез, AD биссектрисасы P↑Q∖ гә тигез, ә D ноктасыннан АВ турысына кадәрге ераклык P₂Q₂ гә тигез булган тигезьянлы ABC өчпочмагы төзегез.

Тема. Төзүгә мәсьәләләр

а) Бирелгән гипотенузасы буенча 30" ка тигез почмак белән турыпочмаклы өчпочмак төзегез.

б) Бирелгән гипотенузасы буенча тигезьянлы өчпочмак төзегез.

в) Нигезе һәм ян якларына үткәрелгән биссектрисалар хасил иткән почмак буенча тигезьянлы өчпочмак төзегңз.

Тема. Геометриядән башлангыч төшенчәләр

а) МРК почмагы 105° ка тигез булган МРН почмагының бер өлеше булып тора. МРК почмагы КРНпочмагыннан дүрт тапкырга кечерәк булуы билгеле булса, МРК почмагын табыгыз.

б) АОВ почмагы 43° ка тигез. Бу почмак эчендә ОС нуры үткәрелгән. АОС һәм ВОС почмакларының биссектрисалары арасындагы почмакны табыгыз,

в) Әйләнәдә бер-бер артлы А, В, С, Dнокталары билгеләнгән, АВ = CD. AC = BD булуын исбатлагыз.

Тема. Тигезьянлы өчпочмак

а) ABC өчпочмагында Z ВАС = A ВСА, √1∠4₁ һәм CC_x биссектрисалары О ноктасында кисешә. АОС почмагының тигезьянлы булуын исбатлагыз.

б) ABC өчпочмагында А һәм В түбәсе янындагы тышкы почмаклар тигез. 2AC> АВ булуын исбатлагыз.

в) ABC өчпочмагында AB = ВС. Өчпочмакның эчендә, Z DAC = Z. DCA булырлык итеп, D ноктасы билгеләнгән. Бу өчпочмак биеклекләренең кисешү ноктасы BD турысында ятуын исбатлагыз.

Тема. Өчпочмаклар тигезлегенең билгеләре

а) ЛВС өчпочмагында АВ = ВС. М һәм Н нокталары — АВ һәм ВС якларының урталары. MD һәм НЕ АС турысына перпендикуляр. ΔAMD = ΔBHEбулуын исбатлагыз.

б) Тигезьянлы ABC һәм A_xB_xC_x өчпочмаклары бирелгән. О һәм C₁ — тиңдәшле рәвештә бу өчпочмакларның медиана­ларының кисешү нокталары; ОА = O_xA_x. ΔABC = ΔA_xB_xC_x бу­луын исбатлагыз.

в) АВ, ВС, ЛС якларында C₁, A_x, B₁ нокталары CC₁, AA_x, BB_x кисемтәләре С ноктасында кисешерлек итеп билгеләнгән. ОС кисемтәсендә С₂ ноктасы, ә ОА һәм ОВ кисемтәләрендә тиңдәшле рәвештә Л₂ һәм В₂ нокталары алынган; OA_x = OA₂, OB_x = OB₂, OC_x = OC₂. A_xB_xC_x һәм A₂B₂C₂ өчпочмакларын берсе өстенә берсен салганда тәңгәл килүен исбатлагыз.

Тема. Чиктәш һәм вертикаль почмаклар

а) Ике туры кисешкәндә хасил булган почмакларның берсе 162° ка тигез. Калган почмакларны табыгыз.

б) ABC өчпочмагы бирелгән. ЛВ һәм ВС якларының дәва­мында Втүбәсе янында тиңдәшле рәвештә В һәм Внокталары 102

билгеләнгән; Z DBE= 60^o, 3∙ Z A = Z. C. A почмагы белән чик­тәш почмакны табыгыз.

в) АВ һәм CD кисемтәләре О ноктасында кисешә, ОА = OD. AD кисемтәсендә, Z.COP = ZBOP булырлык итеп, Р ноктасы билгеләнгән. AOD өчпочмагының медианалары кисешү нок­тасы ОР кисемтәсендә ятуын исбатлагыз.

Тема. Тигезьянлы өчпочмак

i

а) Өчпочмакның ике почмагы тигез, ә ике ягының озын­лыклары 20 см һәм 10 см булса, аның периметрын табыгыз.

б) ABC өчпочмагында Z B= 100^o, Z A = 40^o. D ноктасы АС ягына керә. Өстәвенә BDC почмагы - җәенке. AB > BD булуын исбатлагыз.

в) МРК өчпочмагында Z M= 30^o, Z P=100^o. МР ягында, Z DKP= 20° булырлык итеп, D ноктасы билгеләнгән. М2?һәм DP кисемтәләрен чагыштырыгыз.

Тема. Параллель турылар

а) АВ һәм CD кисемтәләре — ниндидер әйләнәнең диамет­ры. ЛСҺәм BD турыларының параллель булуын исбатлагыз.

б) В һәм D нокталары ЛСтурысының төрле ягында яталар. АВ || DC, AD || ВС булуы билгеле. Z ABC = Z ADC, AB = DC, AD = ВСЪулуыъ. исбатлагыз.

в) Тигезьянлы ABC өчпочмагының BD биссектрисасында E ноктасы алынган. Бу нокта аша АВ һәм ВС якларына па­раллель булган һәм АС нигезен //һәм К нокталарында кисеп үтүче турылар үткәрелгән. АН = КС булуын исбатлагыз.

Тема. Өчпочмаклар тигезлегенең билгеләре

а) Туры почмагы А булган тигезьянлы ABC өчпочмагының АН биеклегендә О ноктасы алынган. ЛО2?һәм АОС өчпочмак­ларының тигез булуын исбатлагыз.

б) Тигезьянлы ABC өчпочмагында BD — нигезгә үткәрелгән биеклек. М һәм Н нокталары тиңдәшле рәвештә АВ һәм ВС якларында ята. /22? нуры — MDHпочмагының биссектрисасы. AM = НС булуын исбатлагыз.

в) ABC өчпочмагының BD биеклегендә О ноктасы билге­ләнгән; Z OAD = Z OCD. О ноктасы АВ һәм ВС турыларын­нан тигез ераклашкан булуын исбатлагыз.

Тема. Геометриянең башлангыч төшенчәләре

а) АВ, ВС, CD кисемтәләре бер-бер артлы бер турыга салынган, AC = BD=]⅛ cm, BC= 1 см. АС>ны табыгыз.

б) АЕ, ЕК, КВ кисемтәләре бер-бер артлы бер турыга салынган, ә С һәм D нокталары бу турының төрле якларында ята; АЕ =

=BK, AC = BD, СК = DE. Δ ACK = Δ BCD булуын исбатлагыз.

в) АВ кисемтәсендә, Сноктасы А һәм D нокталары арасында ятарлык итеп, Сһәм Снокталары билгеләнгән. Мноктасы АВ турысына керми. М түбәсеннән үткәрелгән MAC һәм MDB өчпочмакларының медианалары 11 см га тигез. АВ= 15 см, CD= 7 см булса, бу медианалар арасындагы почмакны та­быгыз.

Тема. Өчпочмаклар тигезлегенең билгеләре

а) ABC өчпочмагының АВ һәм ВС яклары тигез. М, Н һәм К нокталары — тиңдәшле рәвештә АВ, ВС, ЛСякларының урталары. Δ AMK = Δ КНС булуын исбатлагыз.

б) CD һәм C_xD_x биеклекләре өчен ABC һәм A_λB↑C_x өчпочмаклары бирелгән; Z В = Z B_x = 45⁰, CD = C_xD_λ, АВ = A_xB_i. Δ ABC = Δ A_xB_iC_x булуын исбатлагыз.

в) ABC өчпочмагының АВ һәм ВС якларында М һәм Н нокталары алынган. AZ/һәм МС кисемтәләре D ноктасында кисешә; MD = DH, Z НАС = Z MCA. ВМ һәм ВН кисемтә­ләрен, берсе өстенә берсен салып, тәңгәл китереп буламы?

Тема. Өчпочмак почмакларының суммасы

а) Тигезьянлы өчпочмакның нигезе янындагы почмагы каршы яткан һочмактан 27° ка кечерәк. Өчпочмакның почмак­ларын табыгыз.

б) Җәенкепочмаклы тигезьянлы өчпочмакта почмак­ларның берсе икенчесеннән дүрт тапкырга зуррак. Өчпоч­макның нигезенә үткәрелгән медианасы а га тигез. Ян ягын табыгыз.

в) ABC өчпочмагы эчендә М ноктасы алынган, аның аша АВ һәм ВС якларын К һәм Е нокталарында кисеп үтүче турылар үткәрелгән. Z МКА = 140⁰, Z МЕС = 130^o, Z А = 60°, Z C= 80^o. Z КМЕъш табыгыз.

Тема. Чиктәш почмаклар

а) Чиктәш почмакларның берсе икенчесеннән биш тапкыр зуррак. Бу почмакларны табыгыз.

б) Тигезьянлы ABC өчпочмагының АС нигезе А һәм С түбәсе ягына дәвам ителгән. Дәвам ителгән турыларда тигез кисемтәләр AD һәм СВсалынган. BD = АВ булуын исбатлагыз.

в) О үзәкле әйләнәдә, А һәм Е нокталары диаметрның очлары булырлык итеп, бер-бер артлы А, В, С, D, нокталары алынган; Z АОС = Z. COE, Z АОВ = 60^o, Z DOE = 30^o, BD = = АС булуын исбатлагыз.

Тема. Өчпочмак почмакларының суммасы

а) ABC өчпочмагында Z A = 20°, Z В =100°. АВ ягында, Z√4CZ>=40° булырлык итеп, D ноктасы билгеләнгән. BCD өчпочмагының почмакларын табыгыз.

б) ABC өчпочмагында Z A = 100°. CC_i һәм BB_l биссек­трисалары Dноктасында кисешәләр. 527Спочмагын табыгыз.

bJ АВ диаметрлы әйләнәдә С ноктасы алынган; Z САВ = = 70 . Z СВА ын һәм Z АСВ ын табыгыз.

Тема. Төзүгә мәсьәләләр

а) Биеклеге һәм өчпочмакның якларын бу биеклек бүлгән ике кисемтә буенча өчпочмак төзегез.

б) Бер катеты бирелгән кисемтәгә тигез, ә икенчесе гипо­тенузадан ике тапкырга кечерәк булган турыпочмаклы өчпоч­мак төзегез.

в) Ике кисешүче биеклеге һәм бу биеклекләр кисешкәндә хасил булган почмакларның кечерәге буенча өчпочмак төзегез.

 

МӨСТӘКЫЙЛЬ ЭШЛӘРГӘ
ҖАВАПЛАР ҺӘМ КҮРСӘТМӘЛӘР

М—1

1 вар. 4.Турыларның кисешү ноктасы.

2 вар. 4. Юк.

3 вар. 3. Dноктасы.

4 вар. 3. N ноктасы.

5 вар. 3. Кисешәләр яки уртак нокталары юк. 4. Мөмкин.

6 вар. 3. Мөмкин. 4. Мөмкин.

7 вар. 1. Алты, дүрт яки бер (рәс.213). 2. 15.

8 вар. 1. Алты, дүрт яки бер (рәс.214). 2. 15.

М—2

1 вар. 1. 1) Өч; 2) өч.

2 вар. 1. 1) Өч; 2) өч.

3 вар. 1. 1) 12 җәелмәгән почмак һәм 6 җәелгән почмак.

4 вар. 1. 1) 16 җәелмәгән һәм 8 җәелгән почмак.

5 вар. 1. 12 җәелмәгән почмак һәм 3 җәелгән почмак.

6 вар. 1. 8 җәелмәгән почмак һәм 2 җәелгән почмак.

М—3

1 вар. 1. АВ < DB. 2. Z АОС = Z DOB.

2 вар. 1. EK > NL. 2. Z MOK = Z. NOL.

3 вар. 1. СЕ = AB.

4 вар. 1. MC = АВ. 2. Әйе, була.

5 вар. 1. Әйе.

7 вар. 1. ВС < АВ яки BC> АВ. 2. Z MON = Z.AOC.

8 вар. 1. ВС> АС яки ВС < АС. 2. Z AOC = Z. BOD.

М—4

1 вар. 1. 20 см яки 3 см. 2. 1) 45° яки 135°; 2) кысынкы яки җәенке;

3) әйе, ОС нуры АОВ почмагының эчке өлкәсендә үткәрелгән булса.

2 вар. 1. 130 дм яки 16 дм. 2.1) 60° яки 180°; 2) кысынкы яки җәелгән;

3) әйе, ОС нуры АОВ почмагының эчке өлкәсендә үткәрелгән булса.

3 вар. 1. 4,7 дм һәм 1,6 дм яки 3,3 дм һәм 6,4 дм. 2. 1) 16°, 64°; 2) 160°, җәенке.

4 вар. 1. 44 см һәм 20 см яки 76 см һәм 100 см. 2. 1) 25° һәм 75°; 2) 50°, кысынкы.

5 вар. 1. 102 см.

6 вар. 1. 33 м. 2. 120°.

7 вар. 1. 2? ноктасы А һәм В нокталары арасында ята, DB —3,5 см яки В ноктасы А һәм D нокталары арасында ята, DB = 7 см. 2. 36° һәм 54°.

8 вар. 1. Л/ноктасы А һәм В нокталары арасында ята, MB = 4 см яки В ноктасы А һәм М нокталары арасында ята, MB **12 см. 2. 45°.

М—5

1 вар. 1. 36° һәм 144°. 2. 50°, 40°, 130°.

2 вар. 1. 70° һәм 110°. 2. 50°, 50°, 40°.

3 вар. 1. 90°, 60°, 150°. 2. 80°, 100°, 80°, 100°.

4 вар. 1. 90°, 50°, 40°. 2. 80°, 100°, 80°, 100°.

5 вар. 1. 45°, 135°. 2. Әйе.

6 вар. 1. 135°.

М—6

1 вар. 1. 45°. 2. Pλbc> Р _abd.

2 вар. 1. 17 см. 2. Peek < Реек.

3 вар. 1. 110°. 2. 12 см, 12 см, 12 см; 12 см, 14 см, 14 см.

4 вар. 1. 20°. 2. 45 см.

5 вар. 1. 55°. 2. 10 см яки 6 см.

6 вар. 1. 14 см; 90°. 2. 9 мм яки 15 мм.

7 вар. 1. 120°. 2. 35 см.

8 вар. 1. 110°. 2. 60 см.

М—7

3 вар. 1. 40°. 2. Әйе; әйе.

4 вар. 1. 110°. 2. P_abd ~ Pebd.

М—8

1 вар. 1. ΔADC өчен. 2. Z ABC = 81°, Z FEC = 90°.

2 βap. 1. Δ EFK һәм Δ LFK өчен.

2. 20 дм; 65°15'.

3 вар. 2. 135°.

М—9

5 вар. 1. 10 см. 2. 70°, 70°.

6 вар. 1. 15 дм. 2. т = 1.

М—10

1 вар. BD=B₁D_l.                                                                      Pθ_c 215

2 вар. ABDC = AB₁D₁C₁.

7 вар. АС һәм A₁C∣ турыларында А һәм A₁ нокталары ягында тиңдәшле рәвештә АВ һәм A_iB_l гә тигез булган АВҺәм A₁∕^,_l кисемтәләре салынган (рәс.215). Е һәм В, E_l һәм B_l нокталарын кисемтәләр белән тоташтырабыз, Δ ЕВС = Δ E_xB_iC_i, чөнки ВС = B_lC_l, Z С = Z C₁ һәм СЕ = C₁E_l (CE = AC +- АВ һәм C₁E₁ = A_iC_l + A₁B_l). Бу өчпочмакларның тигезлегеннән ЕВ = E_vB_λ һәм АВЕС-AB₁E₁C_i булып чыга. Ул вакытта Δ EAB =Δ E_xA_lB_l һәм АЕ = ∠4∣5^,_l. Шул очракта AC=A₁C₁ һәм алга таба исбатлау аермачык.

8 βap. ВМ һәм B_iM_x ABC һәм A_lB_lC_l өчпочмакларының медиана­лары булсын, өстәвенә ВМ = B_λM_i. Моннан тыш, Z ABM — A A_lB_lM_l һәм Z МВС = A M_xB_λC_x (рәс.216). ВМҺәм B_xM_x не рәсемдә күрсәтелгәнчә дәвам итәбез MD = MB һәм M_lD_x = M₁B_l, Δ BMC = A DMA һәм A B_lM₁C_l = = Δ D₁M₁A₁. Моннан Z BDA = Z МВС һәм Z B_xD_xA_x = A M_xB_xC_x булуы килеп чыга. BD-~ B_xD_x, A ABM = A A_xB_xM_x һәм A BDA = A B_xD_xA_x булганга күрә, Δ ABD =Δ Λ_xB_xD_x була. Моннан AB = A_xB_x. Аналогик рәвештә ВС = B₁C_l булуын исбатларга була. Шуңа күрә ике як һәм алар арасын­дагы почмак буенча Δ ABC = A A_xB_xC_x.

М—11

7 βap. А, Е, A^,hθM /’нокталары үзәге В ноктасында булган әйләнәдә ята (рәс. 217).

8 вар. Е, А, Сһәм О нокталары үзәге К ноктасында булган әйләнәдә ята.

М—12

7 вар. 2. 54°: 3 = 18° һәм 54° ∙ 3 = 162° булуын исәпкә алырга кирәк. Ул вакытта, 162° = 180° - 18° икәнен исәпкә алсак, 18° лы почмакны төзүе һәм бирелгән 54° лы почмакны өч тигез өлешкә бүлүе җиңел башкарыла.

8 вар. 1. М ноктасы үзәге А ноктасында һәм радиусы PQ га тигез булган әйләнә белән EOF почмагы биссектрисасының кисешү ноктасы. Андый нокталар ике, яки бер, яки бер дә булмавы мөмкин. 2. 35°: 7 = 5° һәм 35°• 5 = 175°. Ул вакытта, 175° = 180° - 5" икәнен исәпкә алсак, 5° лы почмакны төзүе һәм бирелгән 35° лы почмакны җиде тигез өлешкә бүлүе җиңел башкарыла.

М—13

1 вар. 1. 1) Әйе; 2) әйе; 3) әйе; 4) әйе.

2 вар. 1. 1) Әйе; 2) әйе; 3) әйе; 4) әйе.

7 вар. А һәм D нокталарын тоташтырыйк. Өч ягы буенча AAED = = Δ AFD. Моннан Z EAD = / DAF. AMD өчпочмагы тигезьянлы булганга күрә, /LEAD = / MDA була. Шуңа күрә Z MDA = / DAF, шунлыктан MD ∖∖ AC.

8 вар. Ике ягы һәм алар арасындагы почмак буенча AADB = АСЕВ. Шуңа күрә AB = ВС, ә моннан Z ВАС — / ВСА. Шарт буенча Z ВАС = = Z MAC. Шуңа күрә Z MAC = Z ВСА һәм AM I\ВС була.

М—14

1 βap. 1. Әйе. 2. Әйе.

2 вар. 1. Әйе. 2. Әйе.

3 вар. 1. Әйе, әйе.

4 вар. 1. Әйе, әйе.

7 вар. 1. А һәм С, В һәм D, Сһәм 77нокталарын тоташтырыйк, ике ягы һәм алар арасындагы почмак буенча ААВС = ABCD = ACDE. Өчпоч­макларның тигезлегеннән /DBC = /АСВҺыя ∕BDC = / DCЕ булуы чыга. Ул вакытта CL4∣∣BZ>hθM CE ∖∖ BD. Ләкин Сноктасы аша BDга параллель булган бер генә туры үткәрергә мөмкин. Шуңа күрә А, С һәм Е нокта­лары бер турыда ята.

8 вар. 11 Мәсьәлә 7 нче варианттагы 1 нче мәсьәләгә охшаш рәвештә чишелә.

М—15

1 вар. 1. 45° һәм 135°. 2. 45°.

2 вар. 1. 58° һәм 122°. 2. 50°.

3 вар. 1. 20°.

4 вар. 1. 140°.

5 вар. 1. A DBC—тигезьянлы, шуңа да Z BDC = /.BCD. BE ∖∖ DC булганга, Z ABE = Z BDC һәм /ЕВС = Z BCD була. Моннан Z АВЕ = Z ЕВС булуы чыга, BE— тигезьянлы ABC өчпочмагының биссектрисасы һәм шуңа күрә BE ± AC. DC ∖∖ BE булганга күрә, DC А. АС була.

6 вар. 1. DE ∖ I ЛСбулганга, Z DEA = Z EAC. ADE өчпочмагы тигезьян­лы булганлыктан, Z DEA = Z DAE була. Ул вакытта Z DAE = Z EAC һәм AE— тигезьянлы ВАС өчпочмагының биссектрисасы, шуңа күрә дә АЕ X ВС була.

7 вар. Z РКА = х һәм Z РЕА = у булсын (рәс. 218). КР = РА һәм РЕ = РА булганга, Z КАР = х һәм ZPAE = у була. Шарт буенча KE ∣ ] MN, шуңа күрә Z КАМ = х һәм Z EAN = у. Z MAN җәелгән булганлыктан, 2х + 2у = 180° була. Моннан х + у = 90°, ягъни Z КАВ = 90° һәм AB 1 AD була.

8 βap. С ноктасы аша AD һәм BE га параллель булган CM нуры үткәрәбез (рәс.219). ZADC=x һәм Z СЕВ = у булсын. ADC һәм СВЕ өчпочмаклары тигезьянлы булганга, Z ACD = х һәм Z ВСЕ = у була. Төзү буенча CM нуры ЛРҺәм BE та параллель, шуңа да Z DCM = х һәм Z ECM = у. Z АСВ — җәелгән почмак, шуңа да 2х + 2у = 180° һәм х + у = = 90°, ягъни Z DCE= 90° һәм DCtCE була.

 

М—16

1 βap. 1. 50°. 130°. 50°. 2. Юк.

2 βap. 1. 120⁰, 120°, 120°. 2. Юк.

3 βap. 1. Юк.

4 βap. 1. Юк.

5 βap. 1. 50°. Күрсәтмә, ^ноктасы аша CD нурына параллель булган .ЕМнуры үткәрергә.

6 βap. 1. 70°.

7 βap. BD кисемтәсен D ноктасы ягына дәвам итәбез һәм BDτa тигез булган DE кисемтәсе салабыз. А һәм Е нокталарын кисемтә белән тоташтырабыз; ике ягы һәм алар арасындагы почмак буенча Δ BDC = = Δ ADE. Моннан Z СВЕ = Z ВЕА булуы чыга, шуңа күрә ВС 11 АЕ, АВ = 2BD булганга, AB = BE∖i∞λ ΔABEтигезьянлы була. Шуңа күрә Z ВАЕ = = Z ВЕА. Исбатлаган буенча ВС\\ АЕ, моннан Z ЕВС = Z ВАЕ һәм Z ВАЕ — Z CBF. Шулай итеп, Z ЕВС = Z CBF, ягъни ВС — DBF почма­гының биссектрисасы.

8 вар. Мәсьәлә 7 варианттагы мәсьәләгә охшаш рәвештә чишелә.

вар. 1. Юк. 2. Әйе.

вар. 1. Юк. 2. Әйе.

вар. 1. 130°.

Рас. 222

Рәс. 223

вар. 1. 85°.

 

5 вар. 1. АВС һәм BCD өчпочмакларының почмаклары суммасы 360° ка тигез (рәс. 220). Димәк, Z ABD+ Z ACD + Z A + Z BDC = 360°, моннан Z BDC= 130°.

2. ВО кисемтәсен АС ягы белән ноктада кисешкәнче дәвам итәбез. Ул вакытта Z1 = Z2 + Z3, Z4 = Z5÷Z6. ОА — ОВ һәм OB = ОС бул­ганга күрә, Z3 = Z2, Z5 = Z6. Ул вакытта Z AOC= 2 Z ABC≈ 120”.

6 вар. 1. AD кисемтәсен 222 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә дәвам итик. Z BDE = Z BAD + Z ABD, Z EDC = Z CAD + Z ACD. Димәк, Z BDC= = ZABD+ ZACD + ZA = 171°.

2. AD = DB булганга күрә, ZADB = 180° - 2 ZDBA була (рәс.223). Аналогик рәвештә Z BDC = 180” - 2 Z DBC булуын табабыз. Димәк, ZADC = 360° - 2(ZDBA + ZDBC) = 360° - 2 Z ABC ≈ 100°.

7 βap. 1. BC ягының дәвамында C ноктасы ягында Е ноктасын билгелик (рәс.224). Z ACE = ZA + Z ABC > ZABC. Ләкин Z ABO < < ZABC, ә Z ACE< Z ACD, димәк, ¢2 һәм Рнокталары ничек урнашса да Z ACD > Z АВО.

 

2. Е — АВ ягының уртасы булсын (рәс.225). АО = ВО һәм АС = ВС булганлыктан, О, Е, D нокталарының бер турыда ятуын һәм DO ± АВ булуын исбатларга була. ZAOD =х булсын. Ул вакытта Z ACO=^ 90° - чөнки АО = ОС. АСЕ һәм АОЕ өчпочмакларыннан Z CAB= ^j⅛, ZOAE= = 90° - х булуын табабыз. Димәк, DAE = (чөнки AD - САВ почмагының биссектрисасы). .DAS'һәм ОАЕөчпочмаклары тигез. Димәк, 90 - х = —,

4  моннан х = 72. Димәк, ABC өчпочмагының почмаклары 36°, 36° һәм 108° ка тигез булуын исбатларга була.

8 βap. 1. Өчпочмакның тышкы почмагы аның белән чиктәш булмаган эчке почмңктан зуррак булганлыктан (рәс.226), Z APO Z АКР > > Z ABC > Z ОВС. Җавап: булмый.

2. ОА = OB = ОС дип фараз итик. ABC һәм АОС өчпочмаклары тигезьянлы булганлыктан, АС кисемтәсенең уртасы — Е ноктасы ВО турында ятуын һәм BO ± АСбулуын исбатларга була (рәс.227). Z АОВ = х булсын, ул вакытта Z АВО = 90° - ^∙, чөнки AO = ОВ. Икенче яктан, АОЕ өчпочмагыннан ZOAE = 90°-x булуын табабыз (чөнки АО — Z КА&почмагының биссектрисасы). Димәк, ZBAC = 180° - (180° - 2х) = = 2х, моннан 2х = һәм х = 0. Килеп чыккан каршылык ОА = OB = ОС тигезлегенең үтәлә алмавын күрсәтә.

М—18

1 вар. 1. АВ < λK.2. 90°.

2 вар. 1. АВ < РК. 2. АЕ = BE.

5 вар. 1. 228 нче рәсемдә күрсә­телгәнчә, BD медианасын аның озын­лыгына дәвам итәбез. ADE һәм CDB өчпочмаклары тигез булганлыктан, ВС = = АЕ, A САЕ = А ВСА була. Димәк, Z ABE< < А ВАЕ. Димәк, АВЕ өчпоч­магында Е> АЕ, моннан 2BD> ВС.

2. Күрсәтмә. BD = ВС булуын ис­батлагыз. DK һәм DB ны чагыштыры-

 

6 вар. Мәсьәләләр 5 нче варианттагы мәсьәләгә охшаш чишелә.

7 вар. 1. Z ВСА > Z ABC, чөнки АВ> ЛС(рәс.229). Димәк, Z BCD > > Z BCA>AABC > Z DBC, моннан BDC өчпочмагыннан BD> CD бу­луын табабыз.

2. Күрсәтмә. MA = MB = МС булуын исбатлагыз. Моннан ABC өчпочмагының медианалары аның биеклекләре булуы чыга. Димәк, ABC өчпочмагы — тигезьянлы.

8 вар. 1. Z1 = Z2 + Z3, Z4 = Z5 + Z6 (рәс. 230). Димәк, Z 1 > Z 3, Z 4 > Z 6. Моннан Z ADC > A BCD+ Z BAD булуы чыга. Мәсьәләнең шар­тын исәпкә алып, Z ADC > A DACбулуын табабыз. Димәк, AC > DC.

2. Күрсәтмә. 5 нче варианттагы 2 нче мәсьәләгә аналогик рәвештә АОС өчпочмагының тигезьянлы булуын исбатлагыз (рәс.231). Җ а в a п: Z ВСА = 30^o.

М—19

1 вар. 1. Юк. 2. Юк.                                                           /I \

2 вар. 1. Юк. 2. Юк.                                                           / I \

3 вар. 1. Юк.                                                                /       /  \

4 вар. 1. Юк.                                                                / Г \

5 вар. 1. 232 нче рәсемдә күрсәтел- /                         ∣          ∖

гәнчә, BB_l кисемтәсен аның озынлыгына A * II / II------------------------- → С

дәвам итәбез. ABB_i һәм DCB_x өчпоч-                                Д /             /

майларының тигез икәнен исбатларга                                  / /

була. BD<BC+CD икәнен исәпкә алып,                                 Г /

2BB_l < ВС+ АВ булуын табабыз.                                      / /

2. Була алмый.                                                               I/

6 вар. Мәсьәләләр 5 нче вариант                           D р_әс 232

мәсьәләләренә охшаш чишелә.

leap. 1. ABC өчпочмагында AA₁ һәм BB_l медианалары О нокта­сында кисешә. Ул вакытта AO + OB_i > AB₁ һәм BO + OA₁ > Λ4₁, димәк,

AO + OB_l + BO + OA_l> AB_l + A4₁.

2. АЕ турысы ВС ягын D ноктасында кисеп үтсен, ул вакытта ADB яки ADCпочмакларының берсе кысынкы түгел. Аныклык өчен, ул ADB почмагы булсын. Ул вакытта ADB өчпочмагыннан AB> AD булуы чыга, ә ВЕС өчпочмагыннан: ЕВ + ЕС > ВС. АВ = ВС булганлыктан, AD < ЕВ + ЕС була. Ләкин ЕА < AD.

8 βap. 1. АС һәм BD кисемтәләре О ноктасында кисешсен. Ул вакытта

2. AM турысы ВС ягын D ноктасында кисеп үтсен. АВ > AD > AM булуын исбатларга мөмкин (7 нче варианттагы 2 нче мәсьәләне кара). Икенче яктан, СЕ+ ЕВ > СВ, ләкин СВ = А В. Димәк, MA < BE + EC.

М—20

1 вар. 2. 4 см.

2 вар. 2. 60°.

3 вар. 2. 10 см.

4 вар. 2. 150°.

5 вар. 2. BD = 2ВС булганлыктан, ZDCB= 30" була (рәс. 233). Ди­мәк, Z САВ= 30°. Моннан AB= 2ВС- 4KD булуын табабыз, ул вакытта AD=AB-BD = 3DB.

6 вар. 1. Z ABB_ι = Z 1 + Z 2, чөнки Z ABB_i - АВО өчпочмагының тышкы почмагы (рәс. 234). Аналогик рәвештә Z CBB_l = Z 3 + Z 4. Ул

вакытта Z ABC =Z1 + Z2 +Z3+Z4=Z AOC+ Z 2 + Z 4. AOC_λ һәм COA₁ өчпочмакларыннан Z 2 = 90° - Z AOC, Z 4 = 90° - Z AOC булуын табабыз. Димәк, Z ABC= 180° -ЛАОС.

2. Мәсьәлә 5 нче варианттагы 2 нче мәсьәләгә охшаш чишелә.

 

7 вар. 1. ЛВС өчпочмагында Z ВАС = 90° - Z СВА = 50" (рәс.235). Ул вакытта Z ЕАС= 45", моннан Z СЕА = 45°. Димәк, EC = АС. Икенче яктан, Z DCA = 80° һәм CDA өчпочмагыннан Z CDA - 50". Димәк, CD - = СА, димәк, СЕ = CD. CEDөчпочмагыннан Z EDC = 85" булуын табабыз.

2. ABC өчпочмагында Z CAB - 90° - Z В = 45" (рәс.236). АЕМ өчпочмагында Z МЕА — 90" - Z МАЕ = 45°. Димәк, ME = MA. CDA

өчпочмагында Z CAD = 90^o - Z DCA = 30^o. Димәк, CD = O,5AC = MA. Димәк, CD = ME.

■ 8 βap. 1. DOC өчпочмагында Z OCD = 20°, ABD өчпочмагында Z BDA = 40° (рәс.237). Димәк, Z ADE= 50° һәм Z ADC= 140°. Ул вакытта ADC өчпочмагында Z DAC= 20°. Димәк, DA = DC. Икенче яктан, EDC өчпочмагында Z ECD = 45° һәм DC = DE. Ул вакытта AD = DE, DEA өч­почмагыннан . Z DEA = 65° булуын табабыз.

2. ABC өчпочмагында Z BAC= 90° - Z CBA = 45° (рәс.238). PMA өчпоч­магында Z MPA = 45°. Димәк, MP = MA һәм AC= 2EA, моннан Z ЕСА = = 30° һәм AEAC = 60°.

M—21

5 вар. D ноктасы AB ягының уртасы булсын. Ул вакытта ике катет буенча' ADE һәм DBE өчпочмаклары тигез. Димәк, AE= BE. АЕС өчпочмагының периметры АС + АЕ + СЕ = AC + BE + СЕ = АС + ВС = = АС + 24 кә тигез, моннан АС = 6 см булуын табабыз.

6 вар. 1. Катет һәм кысынкы почмак буенча ADK һәм BDK өчпоч­маклары тигез. Димәк, AD = BD. Алга таба мәсьәлә 5 нче варианттагы 1 нче мәсьәләгә охшаш чишелә.

2. ВО һәм CO ABC өчпочмагының В һәм С түбәләре янындагы тышкы почмакларының биссектрисалары булсын (рәс.239). Оноктасын- нан АВ, ВС, АСтурыларына тиңдәшле рәвештә ОМ, ОК, ОР перпендику­лярлары үткәрегез. Башта ОМ = ОК һәм ОК = ОР икәнен, соңыннан Z МАО = Z. РАО булуын исбатлагыз.

7 вар. 1. Ике катеты буенча ABA_l һәм ACQ өчпочмаклары тигез. Димәк, AB = АС. Алга таба BC₁ = A₁ChβM ВС = АС икәнен исбатларга була. Димәк, ABC өчпочмагы тигезьянлы һәм Z В = 60°.

2. ABC өчпочмагыннан Z С = 90° булуын табабыз. ВВС һәм ВАК өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез. Димәк, MAM_i = Z AA₁C икәнен исбатларга була. Димәк, MAM_l һәм AA₁C өчпочмаклары гипотенуза һәм кысынкы почмак буенча тигез. Димәк, AΛf₁ = A₁C, A₁ ноктасы ВС кисемтәсенең уртасы булганлыктан, AM_i = BA₁ була.

8 вар. 1. AOC₁ һәм A₁ ОС өчпочмаклары катет һәм кысынкы почмак буенча тигез (рәс. 240), димәк, Z OCA₁ =^A₁AB һәм АО = ОС. Димәк,

CC_l = AA₁ һәм ACC₁ һәм ЛСД, өчпочмаклары катет һәм гипотенуза буенча тигез. Димәк, Z A₁AC = Z C_lCA. Шулай итеп, ЛЛ, һәм CC_i кисемтә­ләренең һәрберсе ABC өчпочмагының бер үк вакытта биеклеге дә, биссектрисасы да була. Димәк, бу өчпочмак тигезьянлы һәм ЛС= 2BA_λ.

2. ABC өчпочмагыннан ВСА почмагының 90° ка тигез булуын табабыз. Л, — ВС кисемтәсенең уртасы булганлыктан, AM_i =Л,С була һәм AMM_l һәм ЛЛ,С өчпочмаклары катет һәм гипотенуза буенча тигез. Моннан ВС һәм DA турыларының параллель булуын исбатларга була. Димәк, Z DAB= Z ABC. Шулай итеп, ЛРС, һәм BC_lCөчпочмаклары ягы һәм бу як янында ятучы почмаклары буенча тигез һәм DC_l = CC₁.

М—22

1 βap. 1. AC> BD. 2. а) 4 см; б) 5 см.

2 вар. 1. AOBD. 2. а) 30°; б) 10 см.

3 вар. 1. AB> DC.

4 вар. 1. PM> KE.

5 вар. 1. Мәсьәләгә туры килгән сызымнарның берсе 241 нче рәсемдә сурәтләнгән. Z OAD+ Z ВОЕ= 90" шартыннан Z ADO= 90° булуын табабыз. ВСВ һәм AOD өчпочмаклары катет һәм кысынкы почмак буенча тигез. Димәк, AO — ЕО, моннан AB = DE. Ләкин АС > АВ, димәк, AC> DE.

2. а) 0,5х; б) 0,5х.

6 βap. 1. МР нурыннан ОНР га тигез булган ЕМР почмагы салабыз (рәс.242). CΛfB һәм ОНР өчпочмаклары як һәм бу як янындагы ятучы ике почмак буенча тигез. Ул вакытта ОЕ — ОР һәм HE = МР, ләкин HE> НК, димәк, НК < МР. Мноктасыннан а турысына үткәрелгән теләсә нинди авышма МР дан зуррак, димәк, ул НК дан зуррак.

2. a) АВМ өчпочмагының тигезьяклы булуын исбатларга була (рәс. 243). Димәк, аның һәр почмагы 60" ка тигез. Тигезьянлы ВМС өчпочмагының М түбәсе янындагы тышкы почмагын беләбез, ZC = = Z МВС= 30" булуын табабыз. Ул вакытта Z АВС= 90°. Димәк, АВ — А ноктасыннан ВС турысына кадәрге ераклык. АВМ өчпочмагыннан АВ = х булуын табабыз.

б) МК ± ВС үткәрәбез, МК— а һәм ВС турылары арасындагы ерак­лык. МКС өчпочмагыннан MK= 0,5х булуын табабыз.

7 βap. 1. АВ> 2ДСдип фараз итсәк, АС кисемтәсенең дәвамында С ягында, СК = ЛСҺәм АВ = АЕ булырлык итеп, бер-бер артлы СЛГҺәм КЕ

кисемтәләрен салырга була (рәс. 244). ВКС һәм ACD өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез. Димәк, Z КВС = 90° һәм Z ВКС— кысынкы. Шулай итеп, Z ВКС < Z КВС. Ләкин Z ABE> Z КВС, ә Z ВКС > Z ВЕС. Z ABE > /. ВЕС булуын табабыз, ә болай була алмый, чөнки AB = AE. Димәк, AB > 2АС тигезлеге үтәлә алмый.

2. а турысы ВСягын К ноктасында кисеп үтсен, ди (рәс.245). Е — MB кисемтәсенең уртасы булсын, ди. MT.LAC, ЕР La, EOL.BCүткәрик. А/ИТ, МЕР, ЕВО өчпочмаклары гипотенуза һәм кысынкы почмак буенча тигез. Ул вакытта МТ = ЕР = ВО. Ләкин ЕР = ОК, чөнки ЕО || а булуын исбат­ларга була, димәк, ВК = 2МТ, өстәвенә ВК - В ноктасыннан а турысына кадәрге ераклык, ә МТ—а һәм АС турылары арасындагы ераклык.

8 βap. 1. Z2ZEL4≥-90" булса, ADE өчпочмагындагы AD > ED була (рәс.246). Ләкин AD< AC< АВ, димәк, ED< АВ. Әгәр Z DEA < 90° булса, Z DEB — җәенке, ә BDEөчпочмагында DB,> DE бу ла.

 

Икенче яктан, Z BDA> Z ВСА = 90°. Димәк, ABD өчпочмагында АВ > DB. Димәк, ED< АВ.

2. Биредә Е—МА ның уртасы, ED ∖∖ MP (рәс.247). 7Γ7l∣Λ7³, AO ∖∖ KP. Алга таба мәсьәлә 7 нче варианттагы 2 нче мәсьәләгә охшаш чишелә.

М—23*

1 вар. 1. Параллель турылар.

2 вар. 1. АВ турысына параллель туры.

5 вар. 1. BC ∖∖ AD, чөнки В һәм С нокталары AD турысыннан тигез ераклашкан. ВО = ОС икәнен исәпкә алып, Z ОСВ-/. ОВС һәм AO = OD булуын исбатларга була. ABC һәм CBD өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез.

2. Почмакның якларына параллель булган һәм алардан бирелгән кисемтәгә тигез ераклыкта урнашкан ике туры төзегез (рәс.248). Бирелгән турыларның кисешү ноктасы А шул эзләнелгән нокта була.

 

6 βap. 2. а турысы һәм анда ятмаучы А ноктасы бирелсен, ди (рәс.249). Үзәге А ноктасында һәм радиусы бирелгән кисемтәгә тигез булган әйләнә, а га параллель һәм а турысыннан бирелгән кисемтәгә тигез ераклыкта урнашкан b турысын төзик. Төзелгән әйләнә белән ft турысының кисешү нокталары В һәм С эзләнелгән нокталар була да инде.

7 вар. 1. BE ∖∖ AD, чөнки В һәм Е AD турысыннан тигез ераклашкан. .ВДҺәм кисемтәләрен үткәрик (рәс.250). ВЛЖҺәм АМСөчпочмаклары як һәм як ягында ятучы ике почмак буенча тигез. Димәк, ВС = ED.

2. АВ кисемтәсенең уртасы — С ноктасы аша, АВ га перпендикуляр итеп, а турысы үткәрик (рәс.251). а турысында С ноктасыннан РО га тигез булган МС һәм M₁C кисемтәләре салыйк. М һәм Λf₁ нокталары эзләнелгән нокталар була. АМС һәм ВМС өчпочмаклары ике катет буенча тигез, димәк, төзү буенча MA = MB, МС = РО. Аналогик рә­вештә M_l ноктасы өчен исбатлау башкарыла.

8 вар. 1. BD || АС, чөнки В һәм D нокталары AC турысыннан тигез ераклашкан. EC BD, ЕО = ОСны төзик (рәс.252). Ул вакытта ED = CD, чөнки EOD һәм COD өчпочмаклары ике катет буенча тигез. Аналогик рәвештә BE = ВС. AED өчпочмагында АЕ < AD + DE. Ул вакытта, исбатлаганны һәм шартны исәпкә алып, 2BC< AD+ 2>Сбулуын табабыз.

2. Төзү 253 нче рәсемдә бирелгән.

	Рәс. 252

 

М—24

5 вар. 1. Z5=15° булганлыктан, ABC өчпочмагын АВ ягы буенча һәм аның янында ятучы ике почмак буенча төзергә мөмкин.

2. B_γOC өчпочмагын өч ягы буенча төзик. Моннан соң ВОС өчпоч­магын ОС ягы, ВСО почмагына тигез булган B_lCO почмагы һәм ВОС почмагына чиктәш булган B_i ОС почмагы буенча төзибез (рәс.254). Шул ук рәвештә ABB_l өчпочмагын төзибез.

 

6 вар. 1. ZB = 120“, ZC = 45°, Z A = 15° булса, 15° лы почмак төзү өчен ирекле тигезьянлы өчпочмак төзибез һәм аның бер почмагын дүрт тигез өлешкә бүләбез. Хәзер инде ABC өчпочмагын ике як: АВ һәм АС һәм алар арасындагы почмак буенча төзергә була.

7 вар. 1. а турысы АВкисемтәсен Вноктасында кисеп үтсен, ди. BE кисемтәсен төзик, BE± а, ВО = ОЕ (рәс.255). Эзләнелгән С ноктасы а турысы белән АЕ кисешкәндә килеп чыга.

2. МВКөчпочмагын өч яты буенча MB = РКбулырлык итеп төзибез. Моннан соң MK ∖∖ BP, MB || РКтөзибез (рәс.256). РКСөчпочмагын РТГягы, ВРК почмагы белән чиктәш КРС почмагы һәм бирелгән РКС почмагы буенча төзибез. А ноктасын MB һәм СК турылары кисешкәндә табабыз. ABC өчпочмагы — эзләнелгән өчпочмак. Чынлыкта, төзү буенча MK ∖∖ BC,

 

KP ∖∖ AB МВК һәм ВРК өчпочмакларының як һәм аның янында ятучы почмаклар буенча тигез булуын исбатларга була. Димәк, MB = PK.

8 βap. 1. А почмагының яклары һ һәм с турыларында ятсын, ди. Ур­тасы М ноктасында булган AD кисемтәсен төзибез (рәс.257). Моннан соң D ноктасы аша с турысына параллель булган а турысын үткәрәбез. В — а һәм b турыларының кисешү ноктасы. С ноктасын ВМ һәм С нъщ кисешү ноктасы буларак төзибез. В һәм С нокталары — эзләнелгән нокталар. ВЛШҺәм АМС өчпочмакларының як һәм аның янында ятучы почмаклар буенча тигез булуын исбатларга була. Димәк, ВМ = МС һәм AM кисемтәсе ABC өчпочмагының медианасы була.

2. АМКөчпочмагын өч ягы буенча, AM = PQ, МК = P_lQ_l, KA = P,Q₂ булырлык итеп төзибез (рәс.258). АМС өчпочмагын AM ягы, А почмагы һәм hk га тигез АМСпочмагы буенча төзибез. ME||AC, EC ∖∖ MKтөзибез. В ноктасын АЛ/һәм ЕС турыларының кисешү ноктасы буларак табабыз. ABC өчпочмагы —эзләнелгән өчпочмак.

Чынлыкта, төзү буенча ME ∖∖ AC, МКС һәм МЕС өчпочмаклары як һәм аның янында ятучы ике почмак буенча тигез булуын исбатларга була. Димәк, МК = EC. Моннан тыш, Z АМС, АС — ME, AM бирелгән­нәргә төзү буенча тигез.

М—25*

3 вар. 1. ВС катеты һәм ВМ медианасы буенча туры почмагы С булган АВС өчпочмагы төзергә кирәк булсын, ди. Башта ВМС өчпочма­гын катеты һәм гипотенузасы буенча төзибез. Моннан соң ABC өчпоч­магын ике катет ВС һәм AC = 2МС буенча төзибез.

2. Эзләнелгән өчпочмакның түбәсендәге почмагы х ка тигез булсын. Ул вакытта нигезе янындагы почмагы 90° - 0,5х ка тигез. Бу өчпочмакны төзегәннән соң, эзләнелгән өчпочмакны нигезе һәм аның янында ятучы почмаклар буенча төзергә була.

4 вар. 1. Кысыйкыпочмаклы АВСөчпочмагын ВМбиеклеге һәм АВМ һәм МВС почмаклары буенча төзергә кирәк булсын, ди. ASM һәм СВМ өчпочмакларын катет һәм аның янында ятучы кысынкы почмак буенча төзибез. ABC өчпочмагы — эзләнелгән өчпочмак.

2. Туры почмагы С булган ABC өчпочмагын CD биеклеге һәм В почмагы буенча төзергә кирәк булсын, ди. Башта CBD өчпочмагын CD катеты һәм каршы ятучы В почмагы буенча төзибез. ABC өчпочмагын ВС катеты буенча һәм бу катет янында ятучы В почмагы буенча төзибез.

5 βap. 1. P₁C₁ һәм P₂O₂ кисемтәләре һәм hk почмагы бирелсен, ди. AB = P_xO_x, /. A — hk, ВС = P₂O₂ булырлык итеп, ABC өчпочмагы төзергә кирәк.

а турысы үткәрәбез, анда циркуль ярдәмендә P_lO_x гә тигез булган АВ кисемтәсе салабыз (рәс.259). Моннан соң бирелгән hk почмагына тигез булган БАМ почмагын төзибез.

Аннары үзәге В һәм радиусы P₂O₂ булган әйләнә төзибез. В ноктасын С ноктасы — әйләнә белән AM нурының кисешү ноктасы белән тоташтырып, эзләнелгән ABC өчпочмагын төзибез. Әйләнә AM нурын кисеп үтмәсә, мәсьәләнең чишелеше булмый, әгәр әйләнә AM нурын ике ноктада кисеп үтсә, мәсьәләнең ике чишелеше була.

2. ABC өчпочмагын BB₁ һәм CC_x биеклекләре һәм А почмагы буенча төзергә кирәк булсын, ди. ABB_x һәм ACC_x өчпочмакларын катет һәм аңа каршы ятучы почмак буенча төзибез (рәс.260). Аннары В һәм С нок­таларын кисемтә белән тоташтырабыз.

6 βap. 1. Башта өчпочмакның өченче почмагына тигез булган почмак төзегез, аннары өчпочмакны ягы һәм аның янында ятучы почмаклар буенча төзегез. Әгәр бирелгән почмакларның суммасы 180° тан кимрәк булмаса, мәсьәләнең чишелеше булмый.

2. ABC өчпочмагын BB_l һәм AA₁ биеклекләре һәм А почмагы буенча төзергә кирәк булсын, ди. Башта ABB_γ почмагын катет һәм аңа каршы ятучы почмак буенча төзибез, аннары АВА, почмагын — АВ гипотену­засы һәм AA_l катеты буенча (рәс.261). С ноктасы AB_l һәм BA₁ туры­лары кисешкәндә килеп чыга.

7 βap. 1. Башта АВМ өчпочмагын ЛЯ һәм ВМ яклары һәм аларның берсенә каршы ятучы АМВ почмагы буенча төзибез. Моннан соң А һәм ВСМ почмаклары һәм АВ ягы буенча ABC өчпочмагын төзибез.

2. Башта 180° - (Z В + Z А)на тигез булган Спочмагын төзибез. Мон­нан соң BD катеты һәм аңа каршы ятучы С почмагы буенча CDB почма­гын төзибез. ABC өчпочмагы АСҺәм ВС яклары һәм алар арасындагы С почмагы буенча төзелә.

8 βap. 1. Башта АВМ өчпочмагын АВМ һәм АМВ почмаклары һәм аларның берсенә каршы ятучы AM ягы буенча төзибез. ABC өчпочмагы АВ һәм ВСяклары һәм ВСягына каршы ятучы А почмагы буенча төзелә.

2. Башта CD катеты һәм ВС гипотенузасы буенча BCD өчпочмагын төзибез. Моннан соң А һәм В почмакларының бирелгән аермасыннан файдаланып, А почмагына тигез булган һк почмагын төзибез. Аннары туры почмак белән төзелгән hk почмагының аермасына тигез булган почмак төзибез. Төзелгәнгә тигез почмакны CD нурыннан В түбәсенә каршы якка салабыз. Бу почмакның ягы BD турысын А ноктасында кисеп үтә. ABC өчпочмагы — эзләнелгән өчпочмак.

М—26

1 вар. 3. 80°. 4. AC > AM.

2 вар. 2. 70°. 4. MB> АК.

3 вар. 2. 4 < AD < 8.

4 вар. 2. 5 < ЕР < 10. 3. 5.

5 вар. 3. BAD өчпочмагы — тигезьянлы, АС - BAD почмагының биссектрисасы. Ул вакытта ACZBD. О — АС һәм BD кисемтәләренең кисешү ноктасы булсын. АО = ОС, ВО = OD, Z. OBA = Z OBC, Z ABO > > 45" булуын исбатларга була, чөнки Z ABC> 90° һәм ТС> АТ. Димәк, Z ВАО < 45", Z ABO> Z ВАО. Димәк, АО > ВО һәм AC > BD.

4. Әгәр Т ноктасыннан ТМ һәм ТК перпендикулярларын тиңдәшле рәвештә АВҺәм АВ турыларына үткәрсәк, хасил булган турыпочмаклы АМТ һәм АНТ өчпочмаклары гипотенуза һәм кысынкы почмак буенча тигез була. Моннан ТМ = TH булуы килеп чыга.

6 вар. 3. ТР һәм КМ турылары А ноктасында кисешсеннәр. ТА — = AP, МК ± ТР, чөнки ТМР өчпочмагы тигезьянлы. КТ = ТМбулганга, АК = AM, ZKTA=ZATM, Z КТА = 45°, чөнки КО > ОМ һәм Z ОТК= 44°. Димәк, Z ТКА > 45". Шулай итеп, АТ > КА һәм ТР > КМ.

4. ОВ һәм ОСО ноктасыннан ТМ һәм МР турыларына үткәрелгән перпендикулярлар булсын. ОВМ һәм ОСМ өчпочмаклары гипотенуза һәм кысынкы почмак буенча тигез, димәк, ОВ — ОС.

7 вар. Рәс. 262 1. OB = OA булганга, Z BOA = 180⁰ - 2 Z .45(9 була, аналогик рәвештә Z COD = 180^o- 2 Z OCD. Димәк Z AOB = Z COD.

2. Z AOC= Z AOB + Z BOC, A BOD = Z COD + Z BOC. Димәк, Z 4(9C = Z BOD. Ул вакытта AOC һәм BOD өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез.

3. АВО һәм COD өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез. Димәк, AB = CD. Ул вакытта 45(?һәм BDCөчпочмаклары өч як буенча тигез була. Шуңа күрә Z DBC = Z АСВ. Аналогик рәвештә Z CAD= Z. BDA. Ләкин Z DBC= Z ADB, чөнки ВС ∣∣42Z Димәк, Z DBC = = Е CAD.

4. (9 ноктасыннан AD һәм ВС турыларына ОР һәм ОК перпендикуляры үткәрәбез; АР = PD, ВК = КС, чөнки AOD һәм ВОС өчпочмаклары тигезьянлы, димәк, PD >KC. PZ? кисемтәсендә, РЕ = КС булырлык итеп, Е ноктасын билгелик. ЕТ || ОР һәм 7W∣∣PZ> үткәрик. РЕ = НТ, чөнки ЕТ || ОР, димәк, (Э/ГСҺәм ОНТөчпочмаклары гипотенуза һәм катет буенча тигез, шуңа күрә ОН = ОК. ОН > ОР булганга, ОК > ОР була.

8 βap. 1. Λ"(9Λ7 һәм РОН өчпочмаклары (рәс.263) өч як буенча тигез, димәк, Z КОМ = Z РОН.

 

2. Z РОК =Z КОМ - Z РОМ, г МОН = Z РОН- Z. РОМ, димәк, Z РОК = Z МОН. Ул вакытта РОК һәм МОН өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез. Димәк, Z КРО — Z. ОМН. Ләкин Z РОК+ 2 Z КРО = 180°, чөнки РКО өчпочмагы тигезьянлы. Димәк, Z P<9Λ^,+ 2 Z ОМН= 180°.

3. РК = МН, чөнки РОК һәм МОН өчпочмаклары тигез. Ул вакытта КРМ һәм НМР өчпочмаклары өч як буенча тигез. Димәк, Z КМР = Z НРМ. Аналогик рәвештә Z.MKH = ΔPHK. Шарт буенча Z МРН = Z МКНбулганга күрә, Z КМР = Z МКНбула. Ә моннан PM \\КН булып чыга.

4. О ноктасыннан КН һәм РМ турыларына тиңдәшле рәвештә (94 һәм ОВ перпендикулярлары төшерәбез. Ул вакытта (94 < ОВ, АН = АК, РВ = ВМ, чөнки РОМҺәм КОН өчпочмаклары тигезьянлы. (94 нурында ОВ га тигез ОС кисемтәсен салыйк (рәс.263 не кара). CZλL(94, DE ∖∖ AC үткәрәбез. ОВМ һәм OCD өчпочмаклары катет һәм гипотенуза буенча тигез, димәк, ВМ = CD. Икенче яктан, АЕ = CD, чөнки AC ∖∖ ED. Ләкин AE< АН, шулай булгач, BM< АН һәм PM< КН.

КОНТРОЛЬ ЭШЛӘРГӘ
ҖАВАПЛАР ҺӘМ КҮРСӘТМӘЛӘР

К—1

1 вар. 1. 135⁰. 2. AB> CD. 3. a) 50", 40°; б) Л/ОВҺәм СОК почмаклары вертикаль түгел, чөнки аларның градуслы үлчәмнәре тигез түгел. 4. Бер, ике яки өч ноктаны (рәс.264).

2 вар. 1. 20°. 2. 102 мм. 3. а) 50”, 40°; б) А, К, Рнокталары бер турыда ятса, АКН һәм МКВ почмаклары вертикаль булырлар иде, ләкин бу почмаклар тигез түгел. Димәк, А, К, ^нокталары бер турыда ятмый. 4. 265 нче рәсемне кара.

3 вар. 1. Әйе. 2. РК = НМ. 3. а) Әйе; б) Z ЕОВ + Z РОВ - Z РОЕ. Димәк, Z POE= 180°, ягъни POP почмагы җәелгән почмак һәм Р, О, Е нокталары бер турыда ята. Димәк, ЕОВ һәм РОА почмаклары верти­каль була. 4. Мөмкин (рәс.266).

4 βap. 1. 90°. 2. 125 мм. 3. а) Әйе; б) мәсьәлә 3 нче варианттагы 36 мәсьәләсенә охшаш чишелә. 4. Алты яки җиде өлешкә (рәс. 264).

К—2

1 вар. 4. Туры һәм бирелгән почмакларның аермасына тигез почмак төзергә һәм килеп чыккан почмакны урталай бүләргә.

2 вар. 4. Туры почмакны сигез тигез өлешкә бүләргә һәм аларның берсен алырга.

3 вар. 4. Бирелгән почмакны бер-бер артлы 3 тапкыр салырга һәм төзелгәннән туры почмакны алырга.

4 вар. 4. Туры почмакның 0,25 енә тигез почмак төзергә, һәм туры почмак белән төзелгәннең аермасын табарга.

К—3

1 вар. 1. 50°. 2. Булмый. 3. а) 51°.

2 вар. 1. 40°. 2. Әйе.

3 вар. 1. 120°. 2. Бер дә юк, чөнки а || с. 3. а) 63".

4 вар. 1. 90°. 2. Берне. 3. а) 135°.

К—4

1 вар. 1. АС > ВС. 2. 30°. 3. б) Өчпочмак тигезсезлеге буенча ВС< < DC + BD= 2BD= 4АВ. 4. Әгәр өчпочмакның барлык яклары төрле озынлыкта булса, каршы кую методыннан файдаланып, почмакларының берсе 60° тан кимрәк булуын исбатларга мөмкин. Димәк, бирелгән өчпочмакны теләсә ничек кискәндә, хасил булган өчпочмакларның бер почмагы 60° тан ким була, димәк, тигезьянлы булмый. Җавап: булмый.

2 вар. 1. Z С= 120°, Z А = 40°, АВ = 20°. 3. б) Z DBC - 60°. Димәк, ВС = DC = AD, AB < AC = 2BC, моннан исбатларга кирәк булган раслама килеп чыга. 4. 267 нче рәсемне кара. Тигезьянлы турыпочмаклы ADP, BDP, ВЕР һәм РЕС өчпочмакларын бирелгәнчә төзегәндә, Р, D һәм Е нокталары тиңдәшле рәвештә АС, АВ, 5Скисемтәләрендә ятуын, ә АВ һәм ВС кисемтәләренең тигез булуын исбатларга мөмкин. Җавап: мөмкин.

3 βap. 1. АВ = ВС. 3. б) Бирем а) га аналогик рәвештә Z ABD = А С булуын исбатларга мөмкин. Ул вакытта ABD өчпочмагында AD > BD, ә BCD өчпочмагында BD > DC. Димәк, AD > DC. 4. 268 нче рәсемне кара. Биредә /. ВАС = 30°, ΛABD = 30°, ААВС = 90°. DBC өчпочмагының тигезьяклы, ә ABDөчпочмагының тигезьянлы булуын исбатларга мөмкин. Җавап: мөмкин.

4 вар. 3. МНСөчпочмагыннан Z C< Z МНСбулуын табабыз, димәк, Z С < Z ВАС. Ул вакытта ABC өчпочмагында АВ < ВС.

4. Өчпочмакны ике өчпочмакка түбәсе аша турылап бүләргә мөмкин. AM (М Е ВС ) кисемтәсе тигезьянлы ABC өчпочмагын ике тигез өчпоч­макка: АМВ һәм АВС га бүлсен, ди, ул вакытта Z В = Е. С. Димәк, АВ =ЛСболай була алмый. Җавап: булмый.

К—5

1 вар. д) АЕ = ЕС рип фаразласак, ED кисемтәсе ЛАС өчпочмагының биеклеге һәм медианасы була. Ул вакытта АС турысындагы D ноктасы аша АС га перпендикуляр итеп ике туры BD һәм DE үткәрелгән була, ә болай булуы мөмкин түгел.

2 вар. д) ABC өчпочмагы биссектрисаларының кисешү ноктасы аның түбәсеннән тигез ераклашкан дип исбатларга була.

3 вар. д) Z ВСА = 30^o, Z ABC = 90" булганга, АВ = 2ЛСбула. ВО = = АО = ОС булуын исбатларга мөмкин. Икенче яктан, ВСО һәм МОА өчпочмаклары ике як һәм алар арасындагы почмак буенча тигез. Димәк, ВО = ОМ. Шулай итеп, О ноктасы А, В, С, М нокталарыннан тигез ераклашкан. Димәк, бу нокталар аша үзәге О ноктасында булган әйләнә үткәрергә була.

4 вар. д) НСО һәм MOD өчпочмакларының тигез булуын исбатларга була, өстәвенә НО = ОМ һәм Z СОН = Z MOD = 30°. Шуңа күрә Z НОМ = Z АОМ + Z AOC+ Z СОН = 180", димәк, Н, О, Мнокталары бер турыда ята. Димәк, О ноктасы — МН кисемтәсенең уртасы.

ЭЧТӘЛЕК

Кереш...................... ,.................................................................................................................................................................... 3

Мөстәкыйль эшләр......................................................................................................................................................... 7

Контроль эшләр.............................................................................................................................................................. 71

Математик диктантлар .......................................................................................................................................   89

Геометриядән имтиханнарга үрнәк мәсьәләләр..................................................................... 100

Җаваплар һәм күрсәтмәләр........................................................................................................................... 106

Учебное издание

Зив Борис Германович

Мейлер Вениамин Михайлович

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ПО ГЕОМЕТРИИ

для 7 класса татарской средней

Общеобразовательной школы

(перевод с русского на татарский язык)

Редакторы Э. Р. Гыйлъманова

Бизәлеш редакторы Р. А. Сайфуллина

Техник редакторы Ә. С. Трофимова

Корректоры А. М. Закирова

Нәшриятка 183 иче номерлы лицензия 1997 елның 7 апрелендә бирелгән.

Басарга кул куелды 06.06.2001. Форматы 60×90¹∕₁₆. Офсет кәгазе.

«Школьная» гарнитурасы. Офсет басма. Басма табагы 8,0. Нәшер-хисап табагы 6,4. Тиражы 8200 д. Заказ 3-74.

«Мәгариф» нәшрияты. 420111. Казан, Бауман урамы, 19.

Издательство «Магариф». 420111. Казань, ул. Баумана, 19.

Тел.:/факс (8432) 92-∙57-48.

Http://magarif.kazan.ru/

E-mail: magarif@mail.ru

ДУП «Полиграфия-нәшрият комбинаты».

420111. Казан, Бауман урамы, 19.

[*] Геометриядән имтиханнарга үрнәк мәсьәләләр РСФСР мәктәпләре өчен төзелгән Типовой (үрнәк) имтихан билетлары темаларына тәңгәл килә. Һәр билет өчен өч төрле дәрәҗәдәге мәсьәләләр китерелә: «а», «б»,«в». «а» дәрәҗәсендәге мәсьәләләрне чишү өчен программада карал­ган минималь белем һәм күнекмәләрне кулланырга кирәк, «б», «в» дәрәҗәсендәге мәсьәләләр яхшырак хәзерлекле укучыларга тәкъдим ителә, өстәвенә «в» дәрәҗәсендәге мәсьәләләр «б» га караганда кат­лаулырак.

---

Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 47; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!