Графическое оформление задачи №1
Защита в чрезвычайных ситуациях
ОП.02 Техническая механика
Тема 1.3. « Сопротивление материалов »
Занятие №8 (практическое)
«Расчеты брусьев, испытывающих деформации растяжения и сжатия»
Задача №2 (Растяжение-сжатие). На стальной ступенчатый брус (Сталь 45; Е = 2·1011 Па) действуют силы F = 20 кН и 3 F = 60 кН. Площади поперечных сечений равны А = 400 мм2, 2 A = 800 мм2. Длины участков: а1 = а2 =0,2 м и а3 = 2а1.
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого бруса.Определить изменение длины бруса. Выполнить проверочный расчет на прочность.
Решение.
1.Разобьем брус на участки и пронумеруем их, как показано на рис. 1. Границами участков являются точки приложения внешних сил и места изменения размеров поперечного сечения. Данный, брус состоит из трех участков.
2. Применяя метод сечений, определим значения продольных сил N 1, N 2, N3 на каждом из них.
Заметим, что применяя метод сечений, выгоднее рассматривать равновесие части бруса, расположенной со стороны его свободного конца, в противном случае необходимо заранее определять и вводить в уравнение равновесия реакцию заделки.
2.1. Мысленно отбросим правую часть бруса на первом участке по линии сечения 1 – 1 и составим уравнение равновесия относительно оси z:
ΣZ = 0 — N 1 + F = 0 N 1 = F = 20 кН (растяжение). |
2.2. Мысленно отбросим правую часть бруса на первом участке по линии сечения 2 – 2 и составим уравнение равновесия относительно оси z:
|
|
N 2 — 3 F + F = 0
N 2 = 3 F — F = 60 — 20 = 40 кН (сжатие).
2.3. Определим реакцию заделки R , составив уравнения равновесие для всего бруса:
ΣZ = 0 R — 3 F + F = 0 R = 3 F — F = 60 — 20 = 40 кН (сжатие). |
Мысленно отбросим левую часть бруса на первом участке по линии сечения 3 – 3 и составим уравнение равновесия относительно оси z:
R — N3 = 0
N3 = R =40 кН (сжатие).
3. Приступим к построению эпюры N.
3.1.Для построения эпюры продольных сил N под рисунком бруса проводим ось или базу эпюры, параллельную оси бруса, и линиями, перпендикулярными оси бруса, ограничиваем его участки. Величины продольных сил в произвольном масштабе откладываем перпендикулярно оси эпюры, причем положительные значения N (растяжение) откладываются вверх, а отрицательные (сжатие) вниз от оси. 3.2. На первом участке откладываем вниз от оси эпюры величину N 1 (так как значение силы N 1 отрицательное – сжатие) в произвольном масштабе и проводим прямую, параллельную оси эпюры, между вертикальными линиями, ограничивающими участок. |
3.2. На втором участке откладываем вниз от оси эпюры величину N 2 (так как значение силы N 2 отрицательное – сжатие) в выбранном ранее масштабе и проводим прямую, параллельную оси эпюры, между вертикальными линиями, ограничивающими участок. В нашем случае N 1 = N2
|
|
3.3. На третьем участке откладываем вверх от оси эпюры величину N 3 (так как значение силы N 3 положительное – растяжение) в выбранном ранее масштабе и проводим прямую, параллельную оси эпюры, между вертикальными линиями, ограничивающими участок. Эпюра штрихуется тонкими линиями, перпендикулярными оси. Для наглядности на эпюрах N знаками «+» и «—» отмечаются положительные и отрицательные значения участков эпюр.
4. Приступим к построению эпюрыs .
4.1. Определим нормальные напряжения на участках бруса, беря отношение значения продольной силы (из эпюры N ) к площади поперечного сечения s = N /А. Тогда на первом участке нормальные напряжения будут s 1 = N 1 /А = 20 × 1000/400 = 50МПа, на втором s 2 = N 2 /А = 40 × 1000/400 = 100МПа, на третьем s 3 = N 3 /2А = 40 × 1000/800 = 50МПа. 4.2. Правила построения эпюры s те же, что и для эпюры N. включая и правило знаков. В пределах каждого из участков напряжения постоянны, поэтому |
эпюра s на каждом участке — прямая, параллельная оси. Для наглядности на эпюрах s знаками «+» и «—» отмечаются положительные и отрицательные значения участков эпюр.
|
|
5. Используя формулу D l = Σ( D li ) вычислим изменение длины бруса, состоящего из нескольких участков.
5.1. По закону Гука изменение длины первого участка: D l 1 = ( N 1 × a )/ EA = (20 × 103 × 0,2 × 103)/(2 × 1011 × 400 × 10-6)= 4 × 106/800 × 105=40/800 = 0,05 мм
5.2. Изменение длины второго участка: D l 2 = ( N 2 × a )/ EA = (40 × 103 × 0,2 × 103)/(2 × 1011 × 400 × 10-6)= 8 × 106/800 × 105=80/800 = 0,01 мм
5.3. Изменение длины третьего участка: D l 3 = ( N 3 × 2 a )/ E 2 A = (20 × 103 × 2 × 0,2103)/(2 × 1011 × 2 × 400 × 10-6)= 80/1600 =0,05 мм
5.4. Изменение длины бруса: D l = — D l 3 — D l 2 + D l 1 = — 0,05 — 0,01 + 0,05 = — 0,01 мм.
6. Проверочный расчет выполним по формуле: smax = N /А £[s]
6.1. Определим допускаемое напряжение по формуле: [s] = sт/[s]
Где [s] – коэффициент запаса прочности. Для материала Сталь 45 [s] = 2-4, принимаем [s] = 3
sт – предел текучести, определяем по таблице:
Механические характеристики некоторых материалов
Марка материала | Предел текучести: σт, Н/мм2 | Предел прочности: σв, Н/мм2 | ||
Сталь качественная конструкционная (ГОСТ 1050-74)
| ||||
Сталь 30 | 294 | 490 | ||
Сталь 35 | 265 | 510 | ||
Сталь 40 | 274 | 550 | ||
Сталь 45 | 294 | 589 |
Для материала Сталь 45 sт = 294 МПа, тогда: [s] = sт/[s] = 294/3 = 98 МПа.
6.2. Проверочный расчет: smax =100 МПа, следовательно, 100 ³ 98, вывод: условие прочности не выполняется!
Графическое оформление задачи №1
Исходные данные
Материал бруса и стержня для задач №1 и №2
| Механические характеристики некоторых материалов
Для бронзы: Е = 1,1·105 МПа
Мы поможем в написании ваших работ! |