Надо найти среднее число требований в системе.

Рисуем граф переходов состояний (состояний от 0 до ∞)

Интенсивности переходов:

Вспоминаем про Пуассоновский (простейший) поток событий (1 лекция):

Число событий потока, обладающего свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, попадающих на любой участок длины распределено по закону Пуассона:

(2.5)

(формулу следует записать и запомнить)

Далее, ординарность, используя известное разложение в ряд функции при малых :

Если

То

Тогда

Отсюда следует, что

Интенсивность λ пуассоновского потока часто называют «параметром потока».

Нетрудно получить функцию распределения случайной величины – интервала между соседними событиями в простейшем потоке:

Таким образом, в простейшем потоке событий случайная длина интервала между событиями распределена экспоненциально.

(И мы уже считали, что мат. ож. (среднее значение) экспоненц. распределенной СВ с параметром λ равно 1/ λ ) .

Вернулись к нашей задаче . Стрелки в графе (интенсивности перехода)

Интенсивность перехода из состояния 0 в состояние 1 (λ₀₁)– это вероятность того, за время dt придет на обслуживание одно требование потока, которую (вероятность) надо разделить на dt и устремить dt к нулю. Эта вероятность равна

Разделили на dt , устремили dt к нулю, получили λ .

Из 0 в 2 вероятность равна o(dt) значит интенсивность перехода равна 0, и так по всем интенсивностям слева направо везде λ (вот она ординарность пуассоновского потока).

Интенсивности справа налево – все равны μ .

Почему?

Обозначим τ - случайное время решения. Функция распределения τ :

Переход из 2 в 1 или из 1 в 0: за время dt произошло событие - за время dt закончилось решение задачи (обслуживание в ОА), т.е.

При малом t (t= dt) разлагаем в ряд экспоненту ( см. выше ) ,

получаем
=

Делим на dt , устремляем dt к нулю получаем интенсивность μ

Так подробно разжевываем – потому что в первый раз и чтобы запомнить. А потом – как орехи щелкаем. Дорисовывайте граф.

Почему нет стрелок от 1 к 3 или от 3 к 1?

Продиктуйте мне кто-нибудь, как выглядит нарисованный Вами граф переходов (и скажите имя и фамилию свою)

Составляем СЛАУ (что входит, то и выходит):

Р₀λ = Р₁ μ . Обозначаем λ/ μ = ρ . Р₁= Р₀ *ρ

Второе уравнение (что входит, то и выходит)

Р₀λ + Р₂ μ = Р₁ *( λ +μ). Сокращаем Р₀λ = Р₁ μ. Р₂ = Р_1* ρ

или Р₂ = Р_0* ρ².

Таким же образом получим

Р₃ = Р_2* ρ или Р₃ = Р_0* ρ³ . и так далее.

Выразив все вероятности через Р₀ получаем (сумма всех вероятностей равна единице):

Р₀*(1 + ρ + ρ².+ ρ³+ …+ ρ ⁿ + …) =1

В скобках при ρ <1 – убывающая геометрическая прогрессия. Предел суммы бесконечного числа ее членов равен 1/(1- ρ).

Таким образом Р₀ = 1- ρ , Р₁= Р₀ ρ, Р₂ = Р_0* ρ², … Р _n = Р_0* ρ ⁿ и так далее.

Для нахождения среднего числа требований в системе

для распределения СВ 0, 1, 2, 3, …с вероятностями

Р _n = Р_0* ρ ⁿ для n от нуля до бесконечности найдем производящую функцию этого распределения.

По формуле
= Р₀*(1 + ρ z + ( ρ z) ² .+ ( ρ z) ³ + …+ ( ρ z)ⁿ + …) .

( вынесли за знак суммы Р_0,не зависящее от n .

В скобках опять геометрическая прогрессия. Сумма ее 1/(1- ρ z) .

Итого

Математическое ожидание ξ (оно же N ср) По свойствам производящей функции – это первая производная от ПФ при z=1

ρ z) ² при z=1

т.е. N ср = (вспоминайте Кимбелла)

Дата добавления: 2022-07-02; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!