С – хотя бы одно поражение цели.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Решение.

Обозначим через событие А_i – поражение цели i-м орудием, i = 1,2,3.

Тогда событие В можно представить через сумму событий.

Р(В) =

Вероятность события С удобно найти через следствие 2 теоремы 1:

- ни одного попадания в цель. Тогда

Р(С)=

Ответ: 0, 994

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H ₁ , H ₂ , …, H _п , образующих полную группу событий. Будем эти события называть гипотезами.

Тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

(11)

Формула (11) называется формулой полной вероятности, она является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Пример 9

Детали поступают в О.Т.К. с двух конвейеров. Производительность второго конвейера вдвое больше первого. В каждой сотне деталей с первого конвейера в среднем две бракованные, а в каждой сотне деталей со второго – 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу в О.Т.К. деталь бракованная.

Решение.

	Производительность	Брак
Конвейер 1	2х	2% = 0,02
Конвейер 2	х	3% = 0,03

Пусть событие А состоит в том, что взятая на проверку деталь оказалась бракованная.

Рассмотрим два предположения:

Гипотеза H ₁ – взятая деталь изготовлена на первом конвейере.

Гипотеза H ₂ – взятая деталь изготовлена на втором конвейере.

Тогда событие А можно подразделить на частные случаи

A = H ₁ A + H ₂ A.

Поскольку эти слагаемые несовместны, то

Из условия задачи ясно, что P(H₁) = 1/3, P(H₂) = 2/3, P(A / H₁) = 0,02, P(A / H₂)= 0,03. Тогда

P(A) = 0,08/3 = 2/75

Ответ: 2/75

Пример 10

В 1ой коробке содержится 20 яблок, из которых 18 красные, а остальные зеленые, во 2ой – 10 яблок, из которых 9 красные, а остальные зеленые. Из второй коробки наудачу взято яблоко и переложено 1ую коробку. Найти вероятность того, что взятое из первой коробки яблоко будет красным.

Решение.

	Было	Стало
Коробка 1	18 красных и 2 зеленых	21 яблок
Коробка 2	9 красных и 1 зеленое	9 яблок

А – взятое из первой коробки яблоко окажется красным

Гипотеза H ₁ – из 2ой коробки в 1ую переложили красное яблоко, Р(Н₁)=9/10

Гипотеза H ₂ – из 2ой коробки в 1ую переложили зеленое яблоко, Р(Н₂)=1/10

Тогда Р(А/Н₁)=19/21, Р(А/Н₂)=18/21.

По формуле полной вероятности получим:

Р(А) =

Ответ: 0,9

Формула Бейеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Бейеса (1702-1761).

Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n , вероятности каждого из которых до проведения опыта имели определенные значения. Предположим, что в результате опыта наступило событие А. Наступление этого события может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез Н _i. Тогда условная вероятность любой гипотезы Н _i может быть может быть вычислена по формуле:

, (12а)

или записывая P(A) по формуле полной вероятности, получим

- формула Бейеса. (12б)

Пример 11

Пусть в условии примера 9 взятая в О.Т.К. деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена на первом конвейере?

Решение.

Воспользуемся формулой Бейеса

Ответ: 0, 25

Пример 12.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,4. После стрельбы обнаружена одна пробоина. Найти вероятность, что она принадлежит первому стрелку.

Решение.

Пусть событие А – в мишени одна пробоина.

Событие В₁ – в мишень попал 1-й стрелок,

событие В₂ – в мишень попал 2-й стрелок.

Рассмотрим гипотезы:

- в мишень не попал ни первый, ни второй стрелок,