Рассмотрим пример арифметической прогрессии.
Г.9 класс. Алгебра.
Определение арифметической прогрессии.
Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Последовательности можно задавать разными способами:
1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:
«Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...»
2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).
Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
1, 2, 3, 4...
[P1]
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
1. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:
y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
2. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
|
|
|
3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.
Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a 1, a 2,..., a 10..., a n.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
· Формула an = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
· Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...
|
|
|
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
|
Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.
Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:
Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
|
|
|
2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.
Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42... — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.
3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.
Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.
Свойство арифметической прогрессии
Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:
Поэтому:
и т.д.
Значит, 
Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.
Формулу an = a1 + d * (n - 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Формулы арифметической прогрессии
|
|
|
В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:
1. Рекуррентной формулой: 
2. Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n - 1).
3. Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:
Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:
Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:
Рассмотрим пример арифметической прогрессии.
Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.
Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.
Решение арифметической прогрессии:
1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:
a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2;
a3 = a2 + d = 2 + 2 = 4;
a4 = a3 + d = 4 + 2 = 6;
a5 = a4 + d = 6 + 2 = 8.
2. Используем общую формулу an = a1 + d * (n - 1).
По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:
a10 = a1 + 2 * (10 - 1) = 0 + 2⋅9 = 18.
[P1]
Дата добавления: 2022-07-01; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!