Рассмотрим пример расчета погрешностей прямых многократных измерений.

Обработка результатов измерений

Результаты измерений важно представить в наглядной форме, удобной для использования и обработки. Обычно для этого составляют таблицы, графики и уравнения.

Представление данных в виде таблиц облегчает сравнение различных значений, поэтому данные опыта, как правило, записывают в таблицу, которая позволяет также вести и обработку результатов измерений.

При построении графика функциональная зависимость становится явной, а результаты опыта наглядными. Для совместных измерений по графику легко можно определить и количественную связь между неоднородными величинами. Так, например, проводя измерения изменения линейных размеров тела при увеличении или уменьшении температуры, можно определить коэффициент линейного термического расширения этого объекта. Чаще всего график представляет зависимость между двумя переменными. При построении графиков необходимо пользоваться определенными правилами.

Рассмотрим основные правила построения графиков. График выполняется на миллиметровой бумаге или на тетрадном листе в клетку, на которую наносятся координатные оси. Для независимой переменной всегда используется ось абсцисс. На оси наносится масштаб так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц (допустимы 2,5 и 4). Число делений с цифрами на каждой оси составляет обычно от 4 до 10. В конце оси указывается откладываемая величина и единицы ее измерения. Если необходимо, то туда же выносится и порядок масштаба (10±n , где n - целое число). Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист, а погрешность соответствовала одному-двум мелким делениям графика. При этом начало отсчета не обязательно начинать с нуля, иногда удобнее выбирать округленное число, отличное от нуля, и таким образом увеличить масштаб, но погрешность при этом по-прежнему должна составлять одно-два мелких деления. Для обработки результатов удобно, чтобы кривая была близка к прямой, наклоненной под углом 45° к оси абсцисс. Для этого на графике может откладываться не сама величина, а ее функция (логарифм, обратная величина и т. д.) так, чтобы полученный график был линейным. Точки на график нужно наносить точно и тщательно, обводя их кружком или каким-нибудь другим знаком (рис. 1). По нанесенным на график точкам проводится плавная кривая.

Рис. 1. Зависимость сопротивления R образца от температуры

Окончив построение графика, пишут подрисуночную подпись, которая должна содержать точное и краткое описание того, что показывает график.

Примеры обработки результатов измерений

Порядок обработки прямых однократных измерений

Рассмотрим следующий пример. С помощью штангенциркуля измеряем диаметр цилиндра. Инструментальная погрешность штангенциркуля равна ∆и = 0,1мм . В результате однократного измерения получено значение диаметра цилиндра D = 15,6 мм. За абсолютную погрешность измерения принимаем инструментальную погрешность штангенциркуля ∆D = ∆и = 0,1 мм. По формуле вычисляем относительную погрешность измерения диаметра

С учетом правил представления результатов измерений в относительной погрешности оставляем одну значащую цифру, так как первая значащая цифра “6”/

Конечный результат однократного измерения диаметра цилиндра для доверительной вероятности α = 1 записываем в виде

Рассмотрим пример расчета погрешностей прямых многократных измерений.

С помощью секундомера проведено n =5 измерений десяти колебаний маятника. В результате получены экспериментальные данные:

По формуле рассчитываем среднее арифметическое значение

Согласно правилам приближенных вычислений среднее арифметическое значение должно иметь на один разряд больше, чем исходные данные. Поэтому оставляем в t сотые доли.

По формуле находим оценку средней квадратической погрешности результата измерения

Доверительные границы погрешности результата измерений – наибольшее и наименьшее значения погрешностей измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное (искомое) значение погрешности результата измерений.

где – коэффициент Стьюдента, в данном случае принимаем .

Определяем абсолютную погрешность измерения с учетом случайной и инструментальной погрешностей по формуле

Ограничиваем количество значащих цифр в значении абсолютной погрешности

По формуле вычисляем относительную погрешность измерения периода колебаний

Ограничиваем количество значащих цифр в значении относительной погрешности

Точность измерений

Окончательный результат измерения записываем в виде

При многократных измерениях надежность чаще всего принимают

Построим график полученных измерений

t, с

15,3

15,7

15,4

15,5

15,4

Практическое задание

Обработать результаты прямых измерений согласно предложенным примерам

Вариант	Результаты однократных измерений диаметра или длины ступени вала	Результаты многократных измерений температуры						Надежность
Вариант		1	2	3	4	5	6	Надежность
1.		12,2	12,4	12,3	12,7	12,5	12,2	0,95
2.		36,6	36,5	36,3	36,7			0,99
3.		70,2	70,4	70,3	70,1	70,5	70,1	0,999
4.		22,3	22,5	22,6	22,7	22,5		0,95
5.		24,8	24,6	24,7	24,4	24,5	24,8	0,99
6.		28,1	28,1	28,2	28,4	28,3		0,999
7.		0,4	0,2	0,0	0,5			0,95
8.		4,5	4,6	4,5	4,3	4,5		0,99
9.		11,2	11,5	11,3	11,4	11,5		0,999
10.		13,2	13,5	13,4	13,6	13,7	13,2	0,95
11.		15,2	15,4	15,3	15,7	15,5		0,99
12.		26,6	26,5	26,3	26,7	26,5		0,999
13.		80,2	80,4	80,3	80,1	80,5		0,95
14.		62,3	62,5	62,6	62,7	62,5	62,3	0,99
15.		23,8	23,6	23,7	23,4	23,5		0,999
16.		88,1	88,1	88,2	88,4			0,95
17.		8,3	8,4	8,5	8,9	8,6	8,7	0,99
18.		46,5	46,4	46,3	46,1	46,5	46,1	0,999
19.		40,2	40,4	40,3	40,1	40,5	40,4	0,95
20.		52,3	52,5	52,6	52,7	52,5		0,99
21.		15,4	15,5	15,3	15,6			0,999