Графы с петлями, смешанные графы, пустые графы, мультиграфы, обыкновенные графы, полные графы
Если граф содержит петли — это обстоятельство важно озвучивать и добавлять к основной характеристике графа уточнение «с петлями». Если граф не содержит петель, то добавляют «без петель».
Смешанным называют граф, в котором есть ребра хотя бы двух из упомянутых трех разновидностей (звенья, дуги, петли).
Пустой граф — это тот, что состоит только из голых вершин.
Мультиграфом — такой граф, в котором пары вершин соединены более, чем одним ребром. То есть есть кратные рёбра, но нет петель.
Граф без дуг, то есть неориентированный, без петель и кратных ребер называется обыкновенным.
Граф называют полным, если он содержит все возможные для этого типа рёбра при неизменном множестве вершин. Так, в полном обыкновенном графе каждая пара различных вершин соединена ровно одним звеном.
Двудольный граф
Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два подмножества так, чтобы никакое ребро не соединяло вершины одного и того же подмножества.
Например, полный двудольный граф состоит из двух множеств вершин и из всевозможных звеньев, которые соединяют вершины одного множества с вершинами другого множества.
Эйлеров граф
Эйлеров граф отличен тем, что в нем можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер.
Пример. Является ли полный граф с одинаковым числом n рёбер, которым инцидентна каждая вершина, эйлеровым графом?
|
|
|
Ответ. Если n — нечётное число, то каждая вершина инцидентна n - 1 ребрам. В таком случае наш граф — эйлеровый.
Регулярный граф
Регулярным графом называется связный граф, все вершины которого имеют одинаковую степень k.
Число вершин регулярного графа k-й степени не может быть меньше k + 1. У регулярного графа нечётной степени может быть лишь чётное число вершин.
Пример. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 4.
Рассуждаем так:
Чтобы длина цикла соответствовала заданному условию, нужно чтобы число вершин графа было кратно четырем. Если число вершин равно четырём — получится регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 3.
Увеличим число вершин до восьми (следующее кратное четырем число). Соединим вершины ребрами так, чтобы степени вершин были равны трём. Получаем следующий граф, удовлетворяющий условиям задачи:
Гамильтонов граф
Гамильтоновым графом называется граф, содержащий гамильтонов цикл.
Гамильтоновым циклом называется простой цикл, который проходит через все вершины рассматриваемого графа.
Говоря проще, гамильтонов граф — это такой граф, в котором можно обойти все вершины, и каждая вершина при обходе повторяется лишь один раз.
|
|
|
Взвешенный граф
Взвешенным графом называется граф, вершинам и/или ребрам которого присвоены «весы» — обычно некоторые числа. Пример взвешенного графа — транспортная сеть, в которой ребрам присвоены весы: они показывают стоимость перевозки груза по ребру и пропускные способности дуг.
Графы-деревья
Деревом называется связный граф без циклов. Любые две вершины дерева соединены лишь одним маршрутом.
Число q ребер графа находится из соотношения q = n - 1, где n — число вершин дерева.
Приведенное соотношение выражает критическое значение числа рёбер дерева, так как, если мы присоединим к дереву ещё одно ребро — будет создан цикл. А если уберем одно ребро, то граф-дерево разделится на две компоненты. Граф, состоящий из компонент дерева, называется лесом.
Определение дерева
Деревом называется связный граф, который не содержит циклов.
Таким образом, в дереве невозможно вернуться в исходную вершину, перемещаясь по ребрам и не проходя по одному ребру два или более раз.
Циклом называется замкнутый путь, который не проходит дважды через одну и ту же вершину.
|
|
|
Простым путем называется путь, в котором никакое ребро не встречается дважды.
Легко проверить, что дерево — это граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем. Если выкинуть любое ребро из дерева, то граф станет несвязным. Поэтому:
Дерево — минимальный по числу рёбер связный граф.
Висячей вершиной называется вершина, из которой выходит ровно одно ребро.
Определения дерева:
1. Деревом называется связный граф не содержащий простых циклов.
2. Деревом называется связный граф, содержащий n вершин и n - 1 ребро.
3. Деревом называется связный граф, который при удалении любого ребра перестает быть связным.
4. Деревом называется граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем.
Очень часто в дереве выделяется одна вершина, которая называется корнем дерева. Дерево с выделенным корнем называют корневым или подвешенным деревом. Пример: генеалогическое дерево.
Когда изображают деревья, то часто применяют дополнительные соглашения, эстетические критерии и ограничения.
Например, при соглашении включения (рис. 1) вершины корневого дерева изображают прямоугольниками, а соглашение — опрокидывания (рис. 2) подобно классическому соглашению нисходящего плоского изображения корневого дерева. Вот так могут выглядеть разные изображения одного дерева:
|
|
|
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!