К в а д р а т н ы е у р а в н е н и я.
Квадратные уравнения. Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем a≠0, или уравнение, к нему сводящееся.
Число a называется старшим (первым) коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, число c – свободным членом.
Замечание.
1) Заметим, что если a=0, то уравнение (3) становится линейным; именно поэтому в определении a≠0.
2) Выражение ax2+bx+c называется квадратичным (квадратным) трехчленом.
ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене 7−x2+2x коэффициент a=−1, b=2 и c=7! Так как 7−x2+2x=−x2+2x+7, а по определению a – коэффициент перед x2, b – коэффициент перед x, c – свободный член.
Определение. Дискриминантом квадратного уравнения (3) называется выражение D=b2−4ac.
Корни квадратного уравнения.
1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля (D>0), то оно имеет два различных корня и x1= и x2= .
2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю (D=0), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) x=−
3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля (D<0), то оно не имеет корней.
Пример: Решите уравнение 3x2−33x+90=0.
Решение. Найдём дискриминант данного уравнения: D=332−4⋅3⋅90=9. Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных и x1=33+3/6=6 и x2=33−3/6=5
Теорема Виета. Пусть квадратное уравнение ax2+bx+c=0, a≠0, имеет два корня x1 и x2 (возможно, совпадающих), то есть D⩾0. Тогда их сумма равна x1+x2=− а их произведение равно x1⋅x2=
|
|
Определение. Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент a=1. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на a.
Следствие. Для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 теорема Виета выглядит следующим образом: x1+x2=−p, x1⋅x2=q.
Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена.
Пусть уравнение ax2+bx+c=0, a≠0, имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть D⩾0. Тогда при любом значении x выполнено ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax2+bx+c=0 (возможно, совпадающие).
Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен 3x2−2x−1.
Решение. Рассмотрим уравнение 3x2−2x−1=0 и найдем его корни. D=(−2)2−4⋅3⋅(−1)=16, значит x1=2−4/2⋅3=−1/3 и x2=2+4/2⋅3=1 Таким образом, 3x2−2x−1=3(x−1)(x+1/3)=(x−1)(3x+1).
Домашнее задание. Решить самостоятельно следующие примеры.
1. Решить линейные уравнения:
А) 11,24х – 5, 47 = 6, 129;
Б) 5х ·4 = 12;
В) – 5 = 14.
2. Решить задачу:
На первом складе было 2300м3 дров, на втором 2800м3 дров. Со второго склада взяли впятеро больше дров, чем с первого, и тогда на обоих складах дров стало поровну. Сколько дров взяли с каждого склада?
|
|
Урок. Алгебраические системы уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1) определение алгебраической системы уравнений;
2) методы решений алгебраических систем уравнений;
3) симметрические системы уравнений.
Глоссарий по теме:
Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.
Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.
Уравнение P(x;y)= а, где , называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.
Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
|
|
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!