Список рекомендованной литературы

Основные аксиомы стереометрии и следствия из них.

Изучение нового материала.

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией.

Основными понятиями стереометрии являются точка,прямая и плоскость. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Прямые и плоскости состоят из бесконечного множества точек пространства и не совпадают со всем пространством.

Сформулируем основные аксиомы стереометрии. Напомним, аксиомы - это предложения, принимаемые без доказательства. Аксиомы геометрии являются абстракцией соответствующих свойств окружающего нас реального мира.

Будем предполагать, что для любой плоскости пространства выполняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии. Кроме того, будем предполагать справедливыми следующие аксиомы стереометрии:

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

2. Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.

3. Если две различные плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой.

Используя эти аксиомы, докажем следующие утверждения:

Следствие 1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

Доказательство. На данной прямой l возьмем какие-нибудь две точки А и В (рис.).

Тогда по аксиоме 1 через данную точку М и точки А и В проходит единственная плоскость р и все точки прямой l принадлежат плоскости р.

Следовательно, плоскость р проходит через прямую l и не принадлежащую ей точку М. Другой такой плоскости нет, так как она должна проходить через три точки А, В, М, не лежащие на одной прямой, и, следовательно, должна совпасть с плоскостью р.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Доказательство. Действительно, пусть прямые 1₁ и 1₂ пересекаются в точке М (рис.).

На прямых 1₁ и 1₂ возьмем какие-нибудь точки A и В, отличные от точки М. Тогда через три точки А, В, М проходит единственная плоскость р. В силу аксиомы 2 плоскость р проходит через данные прямые 1₁ и 1₂.

Обозначение основных фигур стереометрии .

Рис. 1.

А, В, С, D – точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b – прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

– плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В. Прямая может быть также обозначена как АВ.

Рассмотрим прямую b, на ней лежат точки С и D. Прямая b может быть также обозначена как СD.

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : А .

Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : М . А вот прямая не принадлежит плоскости :

Аксиома 1 (А1).
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пояснение к аксиоме А1.

Рис. 2.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: С АВ (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.
Аксиома 2 (А2).

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).

Рис. 3.

Аксиома утверждает – все точки прямой (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М, то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

Рис. 4.

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
Пояснение к аксиоме А3.

Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 5)

Рис. 5.
Отсюда вытекает, что существует прямая , которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости и пересекаются по прямой .

Простейшие следствия из аксиом стереометрии/

Следствие. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна.

Точка E не принадлежит прямой m есть плоскость, в которой лежат прямая m и точка E, причем эта плоскость единственная.

Доказательство:

Возьмем на прямой m произвольные точки К и Т. Заметим, что точки Е, К и Т, не лежат на одной прямой, и, следовательно, согласно первой аксиоме, существует плоскость, которой принадлежат эти три точки. Обозначим эту плоскость буквой

Так как точки K и T прямой m принадлежат плоскости , то, согласно второй аксиоме, прямая m лежит в плоскости . Итак, мы доказали, что через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость. Теперь покажем, что эта плоскость единственна. Действительно, любая плоскость, проходящая через прямую m и точку E, проходит через точки E, K и T. Но, согласно первой аксиоме, эти три точки определяют единственную плоскость.

*Вопрос. Сколько плоскостей проходит через данные три точки?

Ответ и доказательство:

Ответ: одна плоскость или бесконечно много плоскостей.

Доказательство: Действительно, пусть имеем три точки A, B и C. Если эти точки не лежат на одной прямой (являются вершинами треугольника), то, согласно первой аксиоме, через них проходит плоскость и эта плоскость единственная.

Если же эти три точки принадлежат одной прямой, обозначим эту прямую буквой m, то, выбрав произвольную точку X₁, не принадлежащую прямой m, мы, согласно первому следствию, будем иметь плоскость — плоскость, проходящую через прямую m и не лежащую на ней точку X₁.

Теперь возьмем некоторую точку X₂, не принадлежащую плоскости , и плоскость, проходящую через прямую m и точку X₂, обозначим через . Затем можем взять какую-либо точку X₃, не лежащую на плоскостях и , и получим плоскость , проходящую через прямую m и не принадлежащую ей точку X₃. Этот процесс построения плоскостей можем продолжать сколь угодно много раз.

Таким образом, через данную прямую проходят сколь угодно много плоскостей.

*Вопрос. Верно ли и почему, что если две точки окружности принадлежат какой-либо плоскости, то окружность лежит в этой плоскости?

Ответ и доказательство

Ответ: нет, неверно.

Доказательство: Действительно, как мы знаем, окружность является плоской фигурой. Обозначим плоскость окружности (плоскость, в которой лежит окружность) буквой .

Отметим на окружности произвольные три точки M, K и N, которые, как нам известно из планиметрии, не лежат на одной прямой, и некоторую точку Q вне плоскости . Плоскость, проходящую через прямую MN и не принадлежащую ей точку Q, обозначим буквой . Плоскости и пересекаются по прямой MN, и следовательно, точка K окружности, а значит, и сама окружность, не лежит в плоскости

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют только одну общую точку.

Прямые p и q имеют только одну общую точку К прямые p и q пересекаются в точке K (p ).

Следствие. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть прямые p и q пересекаются в точке K. Докажем, что есть плоскость, в которой лежат эти прямые, и что эта плоскость единственна.

На прямых p и q отметим соответственно точки M и N, отличные от точки K. Точки M, N и K не лежат на одной прямой и, согласно первой аксиоме, есть плоскость, которой принадлежат эти три точки. Обозначим эту плоскость буквой .

Точки K и M прямой p принадлежат плоскости , и следовательно, согласно второй аксиоме, прямая p лежит в плоскости . Аналогично покажем, что и прямая q лежит в плоскости . Итак, мы обосновали, что две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Покажем теперь, что эта плоскость единственна. Действительно, в любой плоскости, проходящей через прямые p и q, будут лежать точки M, N и K. Но эти три точки, согласно первой аксиоме, определяют только одну плоскость.

Отметим, что следствие 1, следствие 2, как и аксиома 1, однозначно определяют (задают) плоскость.

*Вопрос. Верно ли и почему, что если точка M не принадлежит прямой , то все прямые, проходящие через точку M и пересекающие прямую , лежат в одной и той же плоскости?

Ответ и доказательство

Ответ: да, верно.

Доказательство: Действительно, согласно второму следствию, через прямую и не принадлежащую ей точку M проходит плоскость. Обозначим эту плоскость буквой . Рассмотрим произвольную прямую , которая проходит через точку M и пересекает прямую . Точку пересечения прямых s и обозначим буквой N. Так как точки M и N прямой s принадлежат плоскости , то, согласно второй аксиоме, прямая s лежит в плоскости . Так как прямая s была произвольной, то можем заключить, что все прямые, проходящие через точку M и пересекающие прямую , лежат в плоскости .

*Задача. Прямые a и b пересекаются в точке O. Верны ли утверждения:

все прямые, проходящие через точку O, лежат в одной и той же плоскости;

все прямые, не проходящие через точку O и пересекающиеся с прямыми a и b, лежат в одной и той же плоскости?

Ответ обосновать.

Решение:

Так как прямые a и b пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Обозначим ее буквой .

Докажем, что утверждение 1) задачи неверно. Так как прямые a и b проходят через точку O и лежат в плоскости , то нам достаточно показать, что есть прямая, проходящая через точку O и не лежащая в плоскости .

Отметим произвольную точку M пространства, не принадлежащую плоскости . Прямую, проходящую через точки M и O, обозначим буквой m. Так как точка M прямой m не принадлежит плоскости , то прямая m не является прямой плоскости .

Теперь докажем, что утверждение 2) задачи верно. Для этого достаточно показать, что произвольная прямая, удовлетворяющая условиям задачи, лежит в плоскости .

Действительно, пусть некоторая прямая p не проходит через точку O и пересекается с прямой a в точке E, а с прямой b — в точке F. Так как прямые a и b лежат в плоскости , то точки E и F принадлежат плоскости , и следовательно, согласно второй аксиоме, прямая p, проходящая через эти точки, лежит в плоскости .

Ответ:

1) неверно;

2) верно.

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то будем говорить, что прямая пересекает плоскость. Их общая точка называется точкой пересечения прямой и плоскости.

Прямая a и плоскость имеют одну общую точку M прямая a пересекает плоскость в точке (a ).

*Задача. Боковая сторона AB трапеции ABCD лежит в плоскости , а основание BC не принадлежит этой плоскости. Докажите, что прямая DC пересекает плоскость.

Доказательство

Как известно, прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются. Пусть прямые AB и DC, проходящие через боковые стороны данной нам трапеции ABCD, пересекаются в точке P. Точка P принадлежит прямой AB плоскости , и значит, точка P является точкой плоскости .Так как точка C не принадлежит плоскости , то прямая DC не лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая DC с плоскостью имеет одну общую точку P, и следовательно, в этой точке прямая DC пересекает плоскость .

Решение задач.

Задача 1.

Даны две прямые a и b, которые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости (Рис. 6.).

Рис. 6.

Решение:

Нам даны две прямые а и b, которые пересекаются в некоторой точке М. Возьмем произвольную прямую с, которая не проходит через точку М, но пересекает исходные прямые а и b в точках А, В, соответственно.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна, согласно 2 теореме. Значит через пересекающиеся прямые а и b проходит единственная плоскость, обозначим ее .

Две разные точки А и В прямой с принадлежат плоскости . А из того, что две точки прямой принадлежат плоскости, вытекает, что все точки прямой принадлежат плоскости, т.е. вся прямая лежит в плоскости. Значит, прямая с принадлежит этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что все прямые, пересекающие А и В, но не проходящие через М, лежат в одной плоскости.

Задача 2. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Решение:

Пусть нам даны три точки: А, В, и С. Нужно доказать, что отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости (Рис. 7.).

Рис. 7.

Если точка С лежит на прямой АВ, то ответ очевиден. Предположим, что точка С не принадлежит прямой АВ. Тогда через три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, в силу аксиомы 1. Обозначим эту плоскость

Прямая АВ целиком лежит в плоскости , потому что две ее точки лежат в этой плоскости. Но, значит, и отрезок АВ лежит в плоскости .

Аналогично и с другими отрезками. Прямая ВС лежит в плоскости , потому что две ее точки В и С лежат в плоскости , значит, и отрезок ВС лежит в плоскости .

И аналогично, отрезок АС лежит в плоскости . Что и требовалось доказать.

Задача 3. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли 2 другие вершины параллелограмма в плоскости ?

Решение:

Рис. 8.

Пусть дан параллелограмм АВСD. Известно: точка А, точка В, точка О – точка пересечения диагоналей, лежат в плоскости . Нужно проверить, лежат ли вершины С и D лежат также в этой плоскости.

Через три точки А, В и О проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость . Прямая АО целиком лежит в этой плоскости, потому что две ее точки лежат в плоскости. Значит, точка С, точка прямой АО, лежит в плоскости .

Аналогично, прямая ВО целиком лежит в плоскости , значит, точка D этой прямой тоже лежит в плоскости .

Ответ: Да, вершины С и D лежат в плоскости .

Задача 4. Дана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Рис. 9.

Решение:

Нам дана прямая а и некоторая точка М, которая не лежит на этой прямой. Нам нужно доказать, что все прямые, которые проходят через точку М и пересекают прямую а лежат в некоторой единственной плоскости.

Мы знаем, что в силу 1 теоремы через прямую а и точку М проходит единственная плоскость, обозначим через . Теперь возьмем произвольную прямую, которая проходит через точку М и пересекает прямую а, например, в точке А. Прямая МА лежит в плоскости , потому что две ее точки М и А, лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая лежит в плоскости , в силу 2 аксиомы.

Итак, мы взяли произвольную прямую, которая удовлетворяет условиям задачи, и доказали, что она лежит в плоскости . Значит, все прямые, проходящие через точку М и пересекающие прямую а лежат в плоскости , что и требовалось доказать.

Задача 5. Верно ли утверждение:

а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;

б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Рис. 10.

Решение:

а) Пусть дана окружность и точки А, В, С. В случае если только две точки В и С принадлежат некоторой плоскости, то совсем необязательно, что и любая другая точка окружности лежит в этой плоскости. Поэтому, данное утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) Даны три точки окружности А, В, и С. В силу аксиомы 1, через эти три различные точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость .

Теперь докажем, что любая точка М окружности лежит в плоскости . Соединим М с А, получим точку D. Вся прямая АD лежит в плоскости , потому что две ее точки А и D лежат в плоскости . Значит, и точка М окружности лежит в плоскости . Значит, данное утверждение верно.

Ответ: да.

Задача 6. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости (Рис. 11.).

а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?

Рис. 11.

Решение:

а) Предположим, что любые три точки, например, А, В, С лежат на одной прямой. Тогда через эту прямую и точку D проходит плоскость, и все 4 точки лежат в этой плоскости, что противоречит условию;

Ответ: нет.

б) Нет, так как через пересекающиеся прямые можно провести плоскость, а тогда, в этой плоскости содержатся все 4 точки, что противоречит условию.

Ответ: нет.

Задача 7. а) Верно ли, что любые 3 точки лежат в одной плоскости?

Рис. 12.

Через 3 точки, если они не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну, в силу аксиомы А1.

Ответ: да.

б) Верно ли, что любые 4 точки лежат в одной плоскости?

Рис. 13.

Через 3 точки можно провести плоскость, а 4 точку можно взять и в этой плоскости, и вне нее. Значит, ответ отрицательный.

Ответ: нет.

в) Верно ли, что любые 4 точки не лежат в одной плоскости?

Рис. 14.

Приведем конкретный пример. Рассмотрим плоский четырехугольник, в плоскости этого четырехугольника лежат 4 точки. Итак, ответ на этот вопрос отрицательный, нет.

Ответ: нет.

г) Верно ли, что через любые 3 точки проходит плоскость, и притом только одна?

Рис. 15.

Приведем пример. Возьмем 3 точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Через них можно провести плоскость , плоскость . Через 3 точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное количество плоскостей.

Ответ: нет

Итоги урока .

Итак, мы еще раз подытожили наши знания о стереометрии, а именно: прокомментировали три аксиомы, и два следствия из нее. И, кроме того, решили самые разнообразные задачи с использованием этих знаний.

Далее и аксиомы, и следствия будут использованы на следующих уроках при решении вопросов параллельности прямых и плоскостей.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

Домашнее задание.

1. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.

2. Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то и прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.

3. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!