Некоторые следствия из аксиом
Тема 8.1.
Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них.
Цели занятия:
1) ознакомить студентов с содержанием курса стереометрии;
2) изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Ход занятия
I. Организационный момент
II.Новый материал
Преподаватель знакомит с понятием стереометрии: Мы с вами с 7 класса начали знакомиться со школьным курсом геометрии.
Вопрос: что такое геометрия? (Геометрия - наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» - греческое, в переводе - «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.) В 7-9 классах вы с вами изучали первый раздел геометрии - планиметрию.
Вопрос: что такое планиметрия? (Планиметрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.)
Вспомним основные понятия планиметрии (точка, прямая: обозначение, изображение).
Необходимо отметить, что эти понятия не определяемы, они принимаются интуитивно.
Сегодня мы приступим к изучению нового раздела геометрии - стереометрии.
Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучается свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Основные фигуры в пространстве: точка, прямая и плоскость.
Плоскость
|
|
Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола.
Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся во все стороны, не ограниченной.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,
Необходимо отметить, что об этих фигурах мы имеем наглядное представление, но определения этих фигур в геометрии не даются. Их свойства выражены в аксиомах. С ними мы познакомимся немного позже.
Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела, изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Модели и примеры из окружающей действительности.
Теперь рассмотрим аксиомы стереометрии.
Вопрос:
1) Что такое аксиома? (Аксиома - утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.)
|
|
2) Какие аксиомы планиметрии вы знаете?
- через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
- из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах:
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если взять не 3, 4 точки произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, т.е. 4 точки могут не лежать в одной плоскости. Из аксиомы 1 следует, что 2 прямые в пространстве имеют только 1 общую точку, либо ни одной. Прямые имеющие 1 общую точку называются пересекающимися. | |
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). | |
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. (3 случая расположения прямой и плоскости) | |
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Плоскости называются пересекающимися. Общая прямая называется прямой пересечения плоскостей. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. |
|
|
Некоторые следствия из аксиом
Следствие 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. Дано: Доказать: Док-во: 1) о существовании 2) о единственности | |
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. Док-во рассмотреть самостоятельно |
III. Практическая часть.
Задача
ABCD - ромб, О - точка пересечения его диагоналей,
М - точка пространства, не лежащая в плоскости ромба.
Точки A, D, О лежат в плоскости .
Дайте ответ на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями.
1. Лежат ли в плоскости точки В и С?
2. Лежит ли в плоскости МОВ точка D?
3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO.
4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°.
Решение
Дано: ABCD - ромб, AC BD = O, M , (A, D, О) .
|
|
АВ = 4 см, А = 60°.
Найти: (В, С) , D MOB, MOB ADO, Sabcd
Решение:
1)D , О , то по DO , так как В DO, то В . (по А2)
Аналогично A , О , то АО , так как С AO, то С .(по А2)
2)OB MOB, D OB, то D MOB.
3)О МОВ, О ADO.
В МОВ, B ADO => MOB ADO = ВО, но так как ВО - часть DB, то MOB ADO = DB.
Учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
4)Sромба = AB2•sin А= 4 • 4 • sin 60° = 8 (см2).
Решение задач.№1, 2, 6, 7, 9, 10, 14, 9,
IV. Вопросы для закрепления
1. Что изучает стереометрия?
2. Назовите основные фигуры в пространстве.
3. Сформируйте основные аксиомы стереометрии.
V. Задание на дом
- самостоятельная работа с учебником Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы (повторить А1-А3, рассмотреть доказательство следствия 2), Введение стр.3-8
- подготовить сообщение на темы «Предмет стереометрии», «Прикладное (практическое) значение геометрии»,
- задачи ,
Литература Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы.
Задача
ABCD - ромб, О - точка пересечения его диагоналей,
М - точка пространства, не лежащая в плоскости ромба.
Точки A, D, О лежат в плоскости .
Дайте ответ на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями.
1. Лежат ли в плоскости точки В и С?
2. Лежит ли в плоскости МОВ точка D?
3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO.
4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°.
Задача
ABCD - ромб, О - точка пересечения его диагоналей,
М - точка пространства, не лежащая в плоскости ромба.
Точки A, D, О лежат в плоскости .
Дайте ответ на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями.
1. Лежат ли в плоскости точки В и С?
2. Лежит ли в плоскости МОВ точка D?
3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO.
4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 41; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!