Гипотеза о генеральной средней нормального распределения

Статистические гипотезы

Пусть исследуется некоторый признак статистической совокупности. Успеваемость студентов, продолжительность жизни, точность измерений, да что угодно – хоть качество помидоров. Всё, что можно «оцифровать» и посчитать.

Как проводится исследование? Обычно так: из генеральной совокупности извлекается репрезентативная выборка и на основании изучения этой выборки делается вывод обо всей совокупности. Напоминаю, что это основной метод математической статистики и называется он выборочным методом. В зависимости от исследования могут проводиться неоднократные выборки, выборки из нескольких ген. совокупностей, да и вообще анализироваться произвольные статистические данные.

И в результате анализа этих данных появляются мысли, которые оформляются в статистические гипотезы.

Статистической называют гипотезу о законе распределения статистической совокупности либо о числовых параметрах известных (!) распределений.

Например:

– рост танкистов распределен нормально;
– дисперсии стрельбы двух танковых дивизий равны между собой, при этом известно*, что точность стрельбы распределена нормально.

* из многочисленных ранее проведённых исследований.

В первом случае выдвигается гипотеза о законе распределения, во втором – о числовых характеристиках двух распределений, закон которых известен.

Откуда взялись эти гипотезы? В первом случае была проведена выборка танкистов (например, 100 человек) и в результате её исследования появилось обоснованное предположение, что рост ВСЕХ танкистов распределён нормально. Во втором случае исследовались выборочные данные по точности стрельбы двух дивизий, в результате чего возник интерес проверить – а одинакова ли генеральная результативность, или же какая-то дивизия стреляет точнее?

В обеих гипотезах речь идёт о генеральных совокупностях, и выдвигаются эти гипотезы на основании анализа выборочных данных. Это распространенная схема, но она не единственна, бывают и другие статистические гипотезы.

Выдвигаемую гипотезу называют нулевой и обозначают через . Обычно это наиболее очевидная и правдоподобная гипотеза (хотя это вовсе не обязательно). И в противовес к ней рассматривают альтернативную или конкурирующую гипотезу .

В рассмотренных выше примерах альтернативные гипотезы очевидны (отрицают нулевую), но существуют и другие варианты, так, например, к гипотезе : генеральная средняя нормально распределённой совокупности равна , можно сформулировать разные конкурирующие гипотезы: или конкретно , это зависит от условия и данных той или иной задачи.

Поскольку нулевая гипотеза выдвигается на основании выборочных данных, то она может оказаться как правильной, так и неправильной – мы не знаем! И поэтому она подлежит статистической проверке.

Проверка осуществляется с помощью статистических критериев – это специальные случайные величины, которые принимают различные действительные значения. В разных задачах критерии разные, и мы рассмотрим их в конкретных примерах.

В результате проверки нулевая гипотеза либо принимается, либо отвергается в пользу альтернативной. При этом есть риск допустить ошибки двух типов:

Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой («альфа»).

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность совершить эту ошибку обозначают буквой («бета»). Значение называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной гипотезы.

Уровень значимости задаётся исследователем самостоятельно, наиболее часто выбирают значения . И тут возникает мысль, что чем меньше «альфа», тем вроде бы лучше. Но это только вроде: при уменьшении вероятности - отвергнуть правильную гипотезу растёт вероятность - принять неверную гипотезу (при прочих равных условиях). Поэтому перед исследователем стоит задача грамотно подобрать соотношение вероятностей и , при этом учитывается тяжесть последствий, которые повлекут за собой та и другая ошибки.

Понятие ошибок 1-го и 2-го рода используется не только в статистике, и для лучшего понимания я как раз приведу нестатистический пример:

Вася зарегистрировался в почтовике. По умолчанию, – он считается добропорядочным пользователем. Так считает антиспам фильтр. И вот Вася отправляет письмо. После чего фильтр может совершить ошибку двух типов: 1) ошибочно отклонить нулевую гипотезу (счесть нормальное письмо за спам и Васю за спаммера) или 2) ошибочно принять нулевую гипотезу (хотя Вася добросовестный).

Какая ошибка более «тяжелая»? Васино письмо может быть ОЧЕНЬ важным для адресата, и поэтому при настройке фильтра целесообразно уменьшить уровень значимости , пожертвовав вероятностью , в результате чего в основной ящик будут чаще попадать письма особо талантливых спаммеров.

Существует примеры, где наоборот – более тяжкие последствия влечёт ошибка 2-го рода, и вероятность следует увеличить (в пользу уменьшения вероятности ). Ну а теперь возвращаемся к статистике.

Процесс проверки статистической гипотезы состоит из следующих этапов:

1) Обработка выборочных данных и выдвижение основной и конкурирующей гипотез. К нулю, кстати, нулевая гипотеза не имеет никакого отношения, это просто историческое название, оно могло оказаться каким угодно.

2) Выбор статистического критерия . Это непрерывная случайная величина, принимающая различные действительные значения. В разных задачах критерии разные.

3) Выбор уровня значимости , о дилемме выбора этого значения я чуть-чуть рассказал выше.

4) Нахождение критического значения – это значение случайной величины , которое зависит от выбранного уровня значимости и опционально от других параметров. Критическое значение определяет критическую область. Она бывает левосторонней, правосторонней и двусторонней (красная штриховка):

Критическая область – это область отвержения нулевой гипотезы. Незаштрихованную область называют областью принятия гипотезы.

Следует отметить, что это только одна из графических моделей. Существуют статистические критерии, которые принимают далеко не все действительные значения.

5) Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое значение критерия: . И вердикт:

– Если в критическую область НЕ попадает, то гипотеза на уровне значимости принимается. Здесь мы с вероятность рисковали отвергнуть правильную гипотезу. Однако не нужно думать, что нулевая гипотеза доказана и 100% правильна, ведь существует вероятность – того мы совершили совершить ошибку 2-го рода (приняли неверную гипотезу).

– Если попадает в критическую область, то гипотеза на уровне значимости отвергается (при этом, если, например, , то в среднем в 5 случаев из 100 мы отвергнем правильную гипотезу, т.е. совершим ошибку 1-го рода).

…ну а что делать? – такая вот статистика неточная наука :)

И по горячей информации сразу разберём одну из наиболее распространённых гипотез:

Гипотеза о генеральной средней нормального распределения

Постановка задачи такова: предполагается, что генеральная средняя нормального распределения равна некоторому значению . Это нулевая гипотеза:

Для проверки гипотезы на уровне значимости проводится выборка объема и рассчитывается выборочная средняя . Исходя из полученного значения и специфики той или иной задачи, можно сформулировать следующие конкурирующие гипотезы:

1)
2)
3)
4) , где – конкретное альтернативное значение генеральной средней.

При этом возможны две принципиально разные ситуации:

а) если генеральная дисперсия известна.

Тогда в качестве статистического критерия рассматривают случайную величину , где – случайное значение выборочной средней. Почему случайное? Потому что в разных выборках мы будем получать разные значения , и заранее предугадать это значение невозможно.

Далее находим критическую область. Для конкурирующих гипотез и (случай ) строится левосторонняя область, для гипотез и (случай ) – правосторонняя, и для гипотезы – двусторонняя – т. к. конкурирующее значение генеральной средней может оказаться как больше, так и меньше -го.

Чтобы найти критическую область нужно отыскать критическое значение . Оно определяется из соотношения – для односторонней области (лево- или право-) и – для двусторонней области, где – выбранный уровень значимости, а – старая знакомая функция Лапласа.

Теперь на основании выборочных данных рассчитываем наблюдаемое значение критерия:

это можно было сделать и раньше, но такой порядок более последователен и логичен.

Результаты:

1) Для левосторонней критической области. Если , то гипотеза на уровне значимости принимается. Если , то отвергается. И картинки тут недавно были, просто заменю букву:

2) Правосторонняя критическая область. Если , то гипотеза принимается, в случае (красный цвет) – отвергается:

3) Двусторонняя критическая область. Если (незаштрихованный интервал), то гипотеза принимается, в противном случае – отвергается:

условие принятия гипотезы часто записывают компактно – с помощью модуля:

И немедленно приступаем к задачам, а то по студенческим меркам я тут уже на пол диссертации наговорил:)

Пример 35

Из нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией извлечена выборка объёма и по ней найдена выборочная средняя . Требуется на уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу против конкурирующей гипотезы .

Прежде чем приступить к решению, пару слов о смысле такой задачи. Есть генеральная совокупность с известной дисперсией и есть веские основания полагать, что генеральная средняя равна 20 (нулевая гипотеза). В результате выборочной проверки получена выборочная средняя 19,3, и возникает вопрос: это результат случайный или же генеральная средняя и на самом деле меньше двадцати? – в частности, равна 19 (конкурирующая гипотеза).

Решение: по условию, известна генеральная средняя , поэтому для проверки гипотезы используем случайную величину .

Найдём критическую область. Для этого нужно найти критическое значение. Так как конкурирующее значение меньше чем , то критическая область будет левосторонней. Критическое значение определим из соотношения:
.
для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным пакетом (Пункт 5*) определяем, что этому значению функции соответствует аргумент . Таким образом, при (красная критическая область) нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:

В данном случае .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости нулевую гипотезу принимаем.

Такой, вроде бы неожиданный результат, объясняется тем, что генеральное стандартное отклонение достаточно великО: , а посему нет оснований отвергать «главное» значение (несмотря на то, что выборочная средняя гораздо ближе к конкурирующему значению ). Иными словами, такое значение выборочной средней, вероятнее всего, объясняется естественным разбросом вариант .

Ответ: на уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу принимаем.

Что означает «на уровне значимости 0,01»? Это означает, что мы с 1%-ной вероятностью рисковали отвергнуть нулевую гипотезу, при условии, что она действительно справедлива. Однако не нужно забывать, что на самом деле она может быть и неверной и существует -вероятность того, мы приняли неправильную гипотезу. Примеры расчёта мощности критерия для заданного уровня значимости и различных конкурирующих значений можно найти, например, в учебном пособии задачнике В. Е. Гмурмана (поздние издания).

Пример 36

По результатам измерений температуры в печи найдено . Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с . Проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы .

Сначала разберём, в чём жизненность этой ситуации. Есть печка. Для нормального технологического процесса нужна температура 250 градусов. Для проверки этой нормы 5 раз измерили температуру, получили 256 градусов. Из многократных предыдущих опытов известно, что среднеквадратическая погрешность измерений составляет 6 градусов (она обусловлена погрешностью самого термометра, случайными обстоятельствами проверки и т.д.)

И здесь не понятно, почему выборочный результат (256 градусов) получился больше нормы – то ли температура действительно выше и печь нуждается в регулировке, то ли это просто погрешность измерений, которую можно не принимать во внимание.

Решение: по условию, известно генеральное среднее квадратическое отклонение , поэтому для проверки гипотезы используем случайную величину .

Найдём критическую область. Так как в конкурирующей гипотезе речь идёт о бОльших значениях температуры, то эта область будет правосторонней. Критическое значение определим из соотношения . Для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным пакетом (Пункт 5*) определяем, что . Таким образом, при (критическая область) нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости нулевую гипотезу отвергаем.

Как бы сказали статистики, выборочный результат статистически значимо отличается от нормативного значения , и печь нуждается в регулировке (для уменьшения температуры).

Ответ: на уровне значимости гипотезу отвергаем.

Ещё раз осмыслим – что означает «на уровне значимости 0,05»? Это означает, что с вероятностью 5% мы отвергли правильную гипотезу (совершили ошибку 1-го рода). И тут остаётся взвесить риск – насколько критично чуть-чуть уменьшить температуру (если мы всё-таки ошиблись и температура на самом деле в норме). Если даже небольшое уменьшение температуры недопустимо, то имеет смысл провести повторное, более качественное исследование: увеличить количество замеров , использовать более совершенный термометр, улучшить условия эксперимента и т.д.

Следующая задача для самостоятельного решения, и на всякий случай я ещё раз продублирую ссылку на таблице значений функции Лапласа и расчётный пакет

Пример 37

Средний вес таблетки сильнодействующего лекарства (номинал) должен быть равен 0,5 мг. Выборочная проверка выпущенных таблеток показала, что средний вес таблетки равен мг. Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, изготавливаемых фармацевтическим заводом, установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением мг. Требуется на уровне значимости проверить гипотезу о том, что средний вес таблеток действительно равен .

Рассмотрите как конкурирующую гипотезу , так и гипотезу . И в самом деле – ведь полученное значение является случайным и в другой выборке оно может запросто оказаться и меньше чем 0,5.

Краткое решение и ответы, как обычно, в конце урока.

Кстати, это тот самый пример, где ошибка 2-го рода (ошибочное принятие неверной нулевой гипотезы), может повлечь гораздо более тяжелые последствия (опасную передозировку). Поэтому в такой ситуации лучше включить паранойю и увеличить уровень значимости до – при этом мы будем чаще отвергать правильную нулевую гипотезу (совершать ошибку 1-го рода), но зато перестрахуемся и проведём более тщательное исследование.

Можно ли одновременно уменьшить вероятности ошибок 1-го и 2-го рода ( и )? Да можно. Если увеличить объём выборки. Что вполне логично.

Теперь вторая ситуация. Та же самая задача, почти всё то же самое, но:

б) генеральная дисперсия НЕ известна.

В этом случае остаётся ориентироваться на исправленную выборочную среднюю и критерий , где – случайное значение выборочной средней и – соответствующее исправленное стандартное отклонение. Данная случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Алгоритм решения полностью сохраняется:

Пример 38

На основании измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм и мм. В предположении о нормальном распределении проверить на уровне значимости гипотезу мм против конкурирующей гипотезы мм.

И начнём мы опять со смысла задачи, что здесь произошло? Здесь 7 раз измерили высоту этой камеры, получили среднее значение 51 мм и за неимением генеральной дисперсии вычислили исправленную выборочную дисперсию. Согласно норме, высота должна равняться 50 мм – эту гипотезу и проверяем.

Решение: так как генеральная дисперсия неизвестна, то для проверки гипотезы используем случайную величину .

Конкурирующая гипотеза имеет вид , а значит, речь идёт о двусторонней критической области. Критическое значение можно найти по таблице распределения Стьюдента либо с помощью расчётного пакета (Пункт 10в). Для уровня значимости и количества степеней свободы :

Таким образом, при нулевая гипотеза принимается, и вне этого интервала (в критической области при ) – отвергается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
– полученное значение попало в область принятия гипотезы ( ), поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу принимаем.

Ответ: на уровне значимости 0,05 гипотезу мм принимаем.

То есть, с точки зрения статистики, выборочный результат мм обусловлен погрешностью измерений, и высота сальниковой камеры соответствует норме. Скорее всего.

Творческая задача для самостоятельного решения:

Пример 39

Нормативный расход автомобильного двигателя составляет 10 л на 100 км. После конструктивных изменений, направленных на уменьшение этого показателя, были получены следующие результаты 10 тестовых заездов:

На уровне значимости 0,05 выяснить, действительно ли расход топлива стал меньше.

Да, это не редкость – когда в предложенной задаче нужно не только проверить гипотезу, но и предварительно рассчитать выборочные значения. Кстати, даже при известной генеральной дисперсии, ориентироваться на неё тут нельзя, ибо конструктивные изменения могут изменить не только генеральную среднюю, но и генеральную дисперсию.

В данной задаче критическая область левосторонняя, и критическое значение для односторонней области отыскивается по самой нижней строке таблицы или с помощью расчётного пакета (тот же Пункт 10в).

Постарайтесь грамотно оформить решение, свериться с образцом можно чуть ниже.

Решения и ответы:

Пример 37. Решение: поскольку известно ген. стандартное отклонение, то для проверки гипотезы используем случайную величину .

а) Рассмотрим конкурирующую гипотезу . Так как альтернативные значения генеральной средней больше чем 0,5, то находим правостороннюю критическую область. Критическое значение определим из соотношения . Для уровня значимости :

При гипотеза принимается, при (критическая область) – отвергается.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 20; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!