Уравнение колебаний для математического маятника можно вывести, используя уравнение динамики вращательного движения.
Проведём ось Z через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника, тогда момент инерции материальной точки относительно оси Z: , момент импульса точки направлен вдоль оси Z, а момент силы тяжести (плечо силы тяжести относительно оси равно ) направлен против оси Z.
Закон вращательного движения точки вокруг оси Z: или .§
Пример. Найдем период колебаний физического маятника - тела массы m, которое может совершать колебания под действием силы тяжести (инерции) вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Решение. Проведем из центра масс тела C перпендикуляр к оси вращения z. Пусть длина этого перпендикуляра равна l.
Положение тела зададим углом отклонения j от вертикали этого перпендикуляра. При этом если угол j увеличивается (тело поворачивается против часовой стрелки), то вектор момента импульса направлен вдоль горизонтальной оси z на нас. Момент внешней силы тяжести относительно оси z направлен от нас. Рассмотрим проекции на ось z: , .
Уравнение вращения вокруг оси z: или .
Если выполняется условие малости колебаний: , то уравнение колебаний примет вид:
.
С учетом выражения для циклической частоты получаем выражение для периода колебаний физического маятника: .
Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом:
|
|
, , .§
Замечание. Как показано в последних двух примерах, уравнения колебаний можно получить, вводя обобщённую координату - угол и обобщённую квазиупругую силу – момент силы тяжести.
Энергия и импульс гармонического осциллятора.
Пусть задан закон движения осциллятора: .
Среднее значение (по времени) некоторой величины u(t) за интервал времени (t1, t2) – это такое постоянное значение , для которого выполняется равенство:
, поэтому .
Так как колебания незатухающие, то они продолжаются бесконечно долго, поэтому средние значения надо искать на бесконечном интервале: t2®+¥.
1) Найдем среднее значение проекции импульса для колебательного движения:
.
,
(так для любых j).
2) Найдём среднее значение кинетической энергии: .
.
Так как для любых j, то .
3) Найдём среднее значение потенциальной энергии: .
,
.
С учетом соотношения получаем, что .
4) Найдём среднее значение механической энергии осциллятора:
|
|
.
Как и следовало ожидать, полная механическая энергия осциллятора остается постоянной.
Фазовая плоскость.
Фазовой плоскостью называется двумерное пространство, координатами в котором являются координата точки и проекция импульса (соответственно, обобщённая координата и обобщённый импульс).
Для пружинного маятника из закона сохранения энергии:
следует, что фазовая траектория точки, совершающей свободные незатухающие колебания, является эллипсом. Покажем это:
, ,
где главные полуоси эллипса равны: , .
Замечание. В случае если система состоит из N осцилляторов, то фазовое пространство имеет размерность 2N.
Векторная диаграмма.
Рассмотрим радиус-вектор точки М, вращающейся вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью w. Угол между радиус-вектором и осью Х меняется с течением времени по закону: , где j0 – его начальное значение. Пусть длина радиус-вектора úОМê=А. Координаты точки М:
,
описывают колебания осцилляторов вдоль осей X и Y.
Данная форма представления колебаний называется амплитудной (векторной) диаграммой.
|
|
Рассмотрим сложение двух колебаний одного направления: пусть два осциллятора совершают колебания вдоль оси Х с циклическими частотами w1 и w2:
и .
Зададим эти колебания на векторной диаграмме с помощью векторов.
1-е колебание задаётся вектором , который вращается вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью w1, угол вращения меняется по закону: .
2-е колебание задаётся вектором , соответственно, угол .
Тогда результирующему колебанию сопоставим вектор с фазой .
По теореме косинусов:
.
Учтем, что ,
, тогда
,
или .
Соответственно, .
Остановимся подробнее на двух частных случаях.
1) Пусть , . Тогда .
Амплитуда результирующего колебания в этом случае не зависит от времени.
Если разность начальных фаз колебаний , где n – целое число, то и наблюдается усиление колебаний: .
Если разность начальных фаз колебаний , где n – целое число, то и колебания гасят друг друга: .
Для вывода зависимости результирующего колебания воспользуемся соотношением:
, тогда с учётом чётности функции косинуса имеем:
|
|
.
Амплитудой должно быть выражение, не зависящее от времени, но амплитуда не может быть отрицательной величиной, следовательно:
, тогда
.
Если , то , если то .
2) Рассмотрим случай, когда амплитуды одинаковые: , но частоты отличаются на небольшую величину: , , . Для упрощения примем, что и . Аналогично предыдущему случаю, получаем:
.
Пренебрегая в выражении для фазы второго сомножителя величиной по сравнению с величиной w, получаем:
.
Если , то , но если , то .
Таким образом, при сложении колебаний близких частот возникает периодическое изменение амплитуды и скачкообразное изменение фазы результирующего колебания – явление, которое называется биением.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 119; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!