Нормальный закон распределения
Лекция 7
Важнейшие законы распределения случайных величин
Биномиальный закон распределения
Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n , с соответствующими вероятностями:
, где 
, 
, 
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей биномиальное распределение, находятся по формулам:
. (10)
Из формулы Бернулли следует, что случайная величина 
– число наступлений события 
в 
независимых испытаниях ( 
) – распределена по биномиальному закону.
Закон распределения Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона (или распределена по закону Пуассона) с параметром 
, если она принимает бесконечное, но счетное число значений: 0, 1, 2, …, m , …, с соответствующими вероятностями
, где m = 0, 1, 2, … , 
. (11)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, находятся по формулам:
.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального закона, когда число испытаний 
, а вероятность события 
, при условии, что произведение 
- постоянная величина. При этих условиях (т. е. при , , 
) величина 
, определяемая по формуле Бернулли, стремится к вероятности 
, определяемой по закону Пуассона.
|
|
|
Поэтому закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона в случае, когда число опытов велико, а вероятность события A в каждом из них мала. В связи с этим закон распределения Пуассона называют часто законом редких событий.
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [ a , b ], если ее плотность вероятности 
постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:
(12)
Равномерное распределение случайной величины X на участке [a, b] (или (a, b)) обозначают следующим образом: 
.
Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величины X, имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение, находятся по формулам:
; 
. (13)
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на интервал 
вычисляется по формуле:
.
Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:
|
|
|
где - параметр данного распределения.
Функция распределения F(x) случайной величины X, распределенной по показательному закону, находится по формуле
(14)
Важнейшие числовые характеристики показательного распределения определяются равенствами:
, 
, 
. (15)
Для показательного закона распределения вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется формулой
.
Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами 
и 
, если ее плотность вероятности имеет вид:
.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
|
|
|
Нормальная кривая 
изображена на рис. 9.
Рис. 9
Тот факт, что случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами 
, коротко записывают так: 
.
Математическое ожидание случайной величины X , распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т. е. 
, а дисперсия – параметру 
, т. е. 
.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами 
и 
, т. е. случайной величины 
называется стандартным или нормированным.
Плотность стандартной случайной величины X имеет вид
и называется функцией Гаусса.
Вероятность попадания в интервал (a, b) случайной величины X, подчиненной нормальному закону, определяется формулой
, (16)
где функция 
называется функцией Лапласа (или интегралом вероятности). Эту функцию называют также функцией ошибок.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1. 
, т. е. функция 
- нечетная;
2. 
; 3. 
.
Функция Лапласа находится по таблице.
Вероятность попадания случайной величины 
в интервал 
, симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле
|
|
|
. (17)
В частности, 
, т. е. практически достоверно, что случайная величина принимает свои значения в интервале 
. Это утверждение называется “правилом трех сигм”.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 99; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!