Криволинейные координаты точек
поверхности, - линии, - линии
Если , то зависит только от , поэтому на поверхности она описывает гладкую линию. Ее называет - линией , аналогична - линии . Векторы и называются направляющими векторами касательных - линии и - линии.
1. Если известны и , , то по формуле можно вычислить координаты точки . Поэтому и называются криволинейные координаты точки ; , - линии криволинейной системы координат на поверхности .
2. Уравнения или их векторную форму называют параметризацией поверхности .
3. Одну и ту же поверхность можно задать разными параметризациями.
Пусть : , где
- некоторая параметризация;
,
- гомеоморфизм, причем .
Тогда :
.
Новая параметризация поверхности , где
Различие параметризации отличаются тем, что они по разному описывают образование этой поверхности.
Способы задания гладкой поверхности
1-способ - задания гладкой поверхности с помощью регулярной
параметризации .
2-способ - с помощью ясной функции .
- область, гомеоморфная плоскости.
Теорема 1. Вектор-функция , где , , определяет в гладкую поверхность класса , если функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно.
Доказательство простое.
Пример. Гиперболичный параболоид задается явной функцией . Это функция имеет непрерывные частные производные любого порядка. Отсюда выходит, что гиперболичный параболоид - гладкая поверхность класса .
|
|
3-способ - с помощью «хорошей» неявной функции
Теорема 2. Пусть - множество нулей неявной функции . Если найдется окрестность такая, что во множестве : 1) в точке отлична от 0 хотя бы одна их частных производных , то найдется окрестность , что - гладкая элементарная поверхность.
Пример. Эллипсоид задается уравнением , где . Непрерывные частные производны имеют вид: . Во всех точках эллипсоида неравны нулю значение хотя бы одной их частных производных. Поэтому для любой точки этой поверхности найдется окрестность такая, что - гладкая элементарная поверхность.
Касательная плоскость и нормаль
Пусть - гладкая поверхность, , - ее параметризация, - некоторая точка. Векторы
Векторы и являются направляющими векторами касательных к линиям ( ) и ( ) соответственно приведенных через точку . Плоскость обладает следующими свойствами:
1) Содержит касательные, приведенные к - линии и - линии в точке .
2) Какова бы ни была гладкая линия , лежащая на поверхности и проходящая через точку , ее касательная лежит на этой плоскости.
Плоскость, в которой лежат касательные по всем линиям, лежащим на поверхности и проходящую через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
|
|
1. Пусть .
Пусть .
Тогда , нормаль ,
где .
Нормаль
.
Пример. В точке , соответствующей найти и к геликоиду.
.
Имеем
;
.
Пример. Для гиперболичного параболоида в точке
,
Тогда
.
2. заданная неявная функция: ,
.
Вектор перпендикуляр к касательной плоскости.
Тогда
- уравнение нормали.
- уравнение касательной плоскости в точке .
Пример. в точке .
Решение:
Тогда
- уравнение касательной плоскости,
- уравнение нормали.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!