Свойства коэффициента корреляции.

Оценки вероятностей отклонений случайной величины от её средних значений.

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина попадёт в заданный интервал (х₁,х₂): .

В частности, вероятность, что отклонение случайной величины от её мат. ожидания М( ) по абсолютной величине будет меньше числа, равного 3 , равна = = - . Так как функция Лапласа нечётная, получим = + =2 =2 =0,9973 .

Нормально распределённая случайная величина почти наверное принимает значения, принадлежащие интервалу ( ; ).

Правило трёх сигм: Практически достоверно, что при однократном испытании отклонение нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания не превышает утроенного среднеквадратического отклонения.

Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания на величину, большую, чем некоторое фиксированное число

Доказательство: Пусть - множество значений случайной величины , находящихся на расстоянии больше чем от её математического ожидания. : .

По определению дисперсии непрерывной случайной величины : = .

С помощью неравенства Чебышева можно расширить применение правила трёх сигм до случайных величин с произвольным законом распределения:

= 1- >1 =1 =1 =

То есть каков бы не был закон распределения случайной величины , вероятность, что отклонение этой случайной величины от её математического ожидания не превысит трёх среднеквадратических отклонений, не меньше, чем .

Неравенство Маркова. Если случайная величина положительна и её математическое ожидание – конечное число, то для любых положительных выполняется: .

Доказательство: М( )= .

Предельные теоремы и законы.

Закон больших чисел в форме Бернулли.

Вероятность, что при n независимых испытаниях отклонение относительной частоты события А от его вероятности по абсолютной величине не превышает заданного положительного числа , стремиться к единице, при n стремящимся к бесконечности.

Закон больших чисел в форме Чебышева.

При неограниченном возрастании числа независимых, имеющих конечную дисперсию и проводимых в одинаковых условиях опытов, среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию.

Применяется в теории измерений: проводят n измерений случайной величины и за приближённое её значение принимают среднее арифметическое полученных значений. Так как …= = , то , а значит, увеличивая число измерений, мы увеличиваем точность результата измерений.

Центральная предельная теорема:

Пусть случайная величина - результат суммарного воздействия взаимно независимых случайных величин , ,…, , причём n достаточно велико и не одна из величин не является доминирующей. Тогда - имеет закон распределения, весьма близкий к нормальному.

Теорема Ляпунова.

Если случайная величина равна сумме очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то эта случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному.

На практике, нормально распределённой считают величину, равную сумме более чем 10 случайных величин с произвольными законами распределения.

Зависимость случайных величин.

Случайные величины , , … , -независимы, если значений этих величин , , …, выполняется : = , = , … , = = = =