Зв'язок між кореляційними функціями і спектрами сигналів
Лекція 5
РОЗДІЛ 3 Кореляційний аналіз сигналів
Тема 3.1. Кореляційний аналіз сигналів
Автокореляційна функція. Взаємна кореляційна функція. Зв'язок між кореляційними функціями і спектрами сигналів.
Кореляційний аналіз разом із спектральним грає велику роль в теорії сигналів. Перш за все, його сенс полягає в кількісному вимірюванні міри подібності різних сигналів. Для цього застосовуються кореляційні функції, з розгляду яких ми і почнемо цей розділ.
Автокореляційна функція
Автокореляційна функція (АКФ; англійський термін - correlation function, CF) детермінованого сигналу з кінцевою енергією є інтегралом (у нескінченних границях) від добутку двох копій сигналу, зсунутих одна відносно другої на якийсь час 
:
.
Автокореляційна функція показує міру схожості між сигналом і його зсунутою копією - чим більше значення автокореляційної функції, тим ця схожість сильніша. Крім того, автокореляційна функція має наступні властивості:
1. Значення АКФ при 
дорівнює енергії сигналу, тобто інтегралу від його квадрата:
.
2. АКФ є парною функцією свого аргументу :
.
3. Значення АКФ при є максимально можливим значенням: 
.
4. Із зростанням абсолютного значення АКФ сигналу з кінцевою енергією затухає: 
5. Якщо сигнал s(t) не містить особливостей у вигляді дельта-функцій, його АКФ не може мати розривів (тобто обов'язково буде неперервною функцією).
|
|
|
6. Якщо сигнал - напруга, то розмірність його АКФ дорівнює В2·с.
Як приклад обчислимо АКФ розглянутого на минулій лекції прямокутного імпульсу тривалістю Т, який розпочинається у нульовий момент часу :
· при 
;
· при 
;
· при 
.
|
Рис. 5.1. Прямокутний імпульс
Графік АКФ прямокутного імпульсу показаний на рис. 5.1.
-T о T τ
Рис. 5.2. Кореляційна функція прямокутного імпульсу
У разі періодичного сигналу (і взагалі будь-якого сигналу з нескінченною енергією) скористатися приведеним визначенням не вдасться. Тому КФ періодичного сигналу з періодом Т обчислюють, усереднюючи добуток зсунутих копій в межах одного періоду :
.
Набір властивостей такої АКФ дещо зміняюється:
1. При її значення дорівнює не енергії, а середній потужності аналізованого сигналу:
.
2. Властивість парності зберігається: .
3. Значення АКФ при , як і раніше, є максимально можливим: .
4. АКФ періодичного сигналу є періодичною функцією з тим же періодом, що і сам сигнал: 
.
5. Якщо сигнал не містить дельта-функцій, його АКФ буде безперервною функцією.
6. Розмірність КФ періодичного сигналу - квадрат розмірності сигналу (В2, якщо сигнал - напруга).
|
|
|
Як приклад обчислимо АКФ гармонійного сигналу з частотою 
:
.
Обчислюємо кореляційний інтеграл, враховуючи, що період такого сигналу ра-вен 2π/ω0:
.
Як бачите, АКФ гармонічного сигналу теж є гармонічною функцією. Ще дуже важливий той факт, що отриманий результат не залежить від початкової фази (параметр 
до отриманого виразу не увійшов). Це прояв загальної властивості усіх КФ, про яку піде мова далі в розділі "Зв'язок між кореляційними функціями і спектрами сигналів".
Взаємна кореляційна функція
Якщо АКФ показує міру схожості між зсунутими копіями одного і того ж сигналу, тоді взаємна кореляційна функція (ВКФ; англійський термін - cross - correlation function, CCF) дозволяє виміряти аналогічну величину для зсунутих екземплярів двох різних сигналів.
Загальний вигляд формули КФ зберігається, але під інтегралом стоїть добуток двох різних сигналів, один з яких затриманий на якийсь час τ:
.
ЗАУВАЖЕННЯ. Очевидно, що АКФ є окремим випадком ВКФ, коли обидва сигнали однакові: 
.
Як приклад, обчислимо ВКФ прямокутного і трикутного імпульсів (див. рис. 5.1 і 5.3) :
· при
· при 
· при
Об'єднуючи результати, можна записати
|
|
|
Рис. 5.3. Трикутний імпульс
Графік отриманої ВКФ представлений на рис. 5.2.
Рис. 5.4. ВКФ прямокутного і трикутного імпульсів
Властивості ВКФ дещо відрізняються від властивостей КФ:
1. 
, де Е1 і Е2 - енергії сигналів s1(t) і s2(t).
2. 
, тобто зміна знаку τ рівносильно взаємній перестановці сигналів.
3. Значение ВКФ при τ=0 ничем не выделяется; максимум может быть расположен в любом месте оси τ.
4. Із зростанням абсолютного значення τ ВКФ сигналів з кінцевою енергією затухає: 
5. Якщо сигнали s1(t) і s2(t) не містять особливостей у вигляді дельта-функцій, їх ВКФ не може мати розривів (тобто обов'язково буде безперервною функцією).
6. Якщо сигнали - напруга, то розмірність їх ВКФ є В2·с.
Для періодичних сигналів поняття ВКФ зазвичай не застосовується, хоча воно може бути введено у разі, якщо сигнали s1(t) і s2(t) мають однаковий період.
Зв'язок між кореляційними функціями і спектрами сигналів
Оскільки як кореляційні функції, так і спектри є інтегральними перетвореннями аналізованих сигналів, логічно припустити, що ці характеристики якось пов'язані один з одним. Для виявлення цього зв'язку піддамо взаємну кореляційну функцію перетворенню Фур'є, вважаючи, що сигнали s1(t) і s2(t) мають спектральні функції 
і 
:
|
|
|
Отриманий результат дуже простий: ВКФ пов'язана перетворенням Фур'є з так званим взаємним спектром сигналів. Взаємний спектр 
для сигналів s1(t) і s2(t) є добутком їх спектральних функцій, одна з яких піддана комплексному спряженню
.
Звідси можна зробити дуже важливий висновок: якщо спектри сигналів не перекриваються, то їх взаємний спектр дорівнює нулю на усіх частотах, а це означає, що дорівнює нулю і їх ВКФ при будь-яких часових зсувах τ. Таким чином, сигнали із спектрами, що не перекриваються, є некорельованими. Прийнявши s1(t)=s2(t)=s(t), отримуємо аналогічний результат для АКФ:
Отже, АКФ сигналу пов'язана перетворенням Фур'є з квадратом модуля спектральної функції, або з енергетичним спектром сигналу.
Звідси витікає ще один важливий факт: АКФ сигналу не залежить від його фазового спектру. Отже, сигнали, амплітудні спектри яких однакові, а фазові розрізняються, матимуть однакову АКФ. Ще один наслідок полягає в тому, що по АКФ не можна відновити вихідний сигнал (знову ж таки із-за втрати інформації про фазу).
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 27; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!