Дії з комплексними числами, поданими в тригонометричній формі

ЛЕКЦІЯ 24. Комплексні числа

ПЛАН

1. Поняття комплексних чисел

2. Дії з комплексними числами

3. Геометричне зображення комплексного числа (інтерпретація Гаусса)

4. Тригонометрична форма комплексного числа

5. Дії з комплексними числами, поданими в тригонометричній формі

6. Квадратний тричлен з комплексними числами

7.  Загальний висновок про квадратні рівняння

Поняття комплексних чисел

Означення 1 . Комплексним числом називається число виду , де a, b — дійсні числа, і² = – 1. Число а називається дійсною частиною, bi — уявною частиною, і — уявною одиницею. Множина комплексних чисел позначається С.

Означення 2. Комплексні числа виду a + bi і a – bi називаються спряженими. Комплексні числа виду a + bi і – a – bi називаються протилежними. Спряжене до комплексного числа z позначається .

Означення 3. Два комплексних числа a + bi і a₁ + b₁i вважаються рівними в тому і тільки в тому випадку, якщо a = a₁ і b = b₁.

Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них вважати більшим.

Дії з комплексними числами

Додавання: (a + bi) + (a₁ + b₁і) = (a + a₁) + (b + b₁)i.

Віднімання: (a + bi) – (a₁ + b₁i) = (a – a₁) + (b – b₁)i.

Множення: (a + bi)(a₁ + b₁i) = aa₁ + a₁bi + ab₁i + bb₁i² = (aa₁ –
– bb₁) + (a₁b + ab₁)i.

Ділення:

Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і² треба вважати таким, що дорівнює – 1.

і⁰ = 1               і⁵ = і⁴ × і = і

і¹ = і                і⁶ = і⁵ × і = – 1

і² = – 1            і⁷ = і⁶ × і = – 1 × і = – і

і³ = і² × і = – і   і⁸ = і⁷ × і = – і × і = 1

і⁴ = і³ × і = – і × і = 1 і т. п.

Отже, дістали чотири значення, що чергуються:

і; – 1; – і; + 1, тоді:

(а + ib)² = a² + 2abi + b²i² = (a² – b²) + 2abi,

(а + ib)³ = a³ + 3a²b + 3a(ib)² + (ib)³ = (a³ – 3ab²) + (3a²b – b³)i і т. п.

Добування квадратного кореня: Припустимо, що

Тоді a + bi = (x² – y²) + 2xyi.

Отже, маємо:

.

З рівняння 2ху = b випливає, що знаки х та у мають бути однакові, якщо b > 0, і різні, якщо b < 0.

Тому  при b > 0;

 при b < 0.

Зауваження . Для того щоб з комплексного числа можна було добути корінь третього, або вищого степеня, йому треба надати іншого вигляду.

Приклад. Нехай     z₁ = 5 + i6; z₂ = 7 – i9; z₃ = 5 + 12i.

Знайти: z₁ + z₂, z₁ × z₂, z₁ / z₂, z₁², .

z₁ + z₂ = (5 + 6і) + (7 – 9і) = (5 + 7) + і(6 – 9) = 12 – 3і;

z₁ × z₂ = (5 + 6і) × (7 – 9і) = 5 × 7 + 6і × 7 – 5 × 9і – і6 × і9 =
= 35 + 42і – 45і + 54 = 89 – 3і;

z₁² = (5 + i6)² = 25 + 2 × 5 × 6i + (i6)² = 25 + 60i – 36 = – 11 + 60i;

.

3. Геометричне зображення комплексного числа (інтерпретація Гаусса)

Будь-яке комплексне число a + bi можна зобразити геометрично.

Візьмемо в площині прямокутну систему координат і, вибравши одиницю довжини, зображатимемо дійсні числа на осі абсцис, а уявні — на осі ординат. Відповідно до цього вісь абсцис називається дійсною віссю, а вісь ординат - уявною.

Число a + bi зображатимемо точкою площини, абсциса якої чисельно дорів­нює а, а ордината дорівнює b (рис. 1).

Рис. 1

Тригонометрична форма комплексного числа

Зображення комплексних чисел за допомогою точок на площині дає змогу подати число a + bi в іншому вигляді, а саме — у тригонометричній формі.

Нехай точка М (рис. 2) зображає комплексне число a + ib.

Тоді ОА = а, АМ = b. Позначимо віддаль ОМ точки від початку координат через r, а кут АОМ, утворюваний ОМ з віссю х, — через j. Тоді з трикутника АОМ матимемо:

a = r cosj, b = r sinj.                                (1)

Підставивши в комплексне число a + bi значення a і b (1), дістанемо

a + bi = r cos j + r sin j × i або a + bi = r (cos j + i sin j). (2)

Це є тригонометрична форма комплексного числа. Довжина OM = r називається модулем комплексного числа, а кут АОМ = j — його аргументом.

Покажемо, як перетворити в тригонометричну форму комплексне число, подане в звичайній алгебраїчній формі.

Для цього треба знайти r і j за даними a і b. З трикутника ОАМ (рис. 2) маємо:

, ,                                       (3)

,                                            (4)

Рис. 2

Приклад. Подати в тригонометричній формі число – 3 + 2і.

З формул (3) маємо:

,

Тангенс від’ємний, отже, кут j треба шукати в ІІ або IV чверті. З формул (4) виходить, що при а = – 3 і b = 2 синус буде додатний, а косинус — від’ємний, тобто j буде кутом ІІ чверті. На ПОМ або за таблицями знаходимо: j = 146° 18¢, а тому .

Дії з комплексними числами, поданими в тригонометричній формі

Додавати і віднімати комплексні числа простіше і зручніше, коли компоненти подані в алгебраїчній формі. Зовсім інша річ з останніми чотирма алгебраїчними діями.

Множення. Нехай треба перемножити числа:

, .

Дістанемо:

                             (5)

Звідси випливає:

Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добуткові модулів співмножників, а аргумент — сумі аргументів співмнож­ників.

Приклад. Нехай:

; .

Тоді .

Ділення. Нехай треба число a = R₁(cos a + sin a) поділити на число b = R₂ (cos b +i sin b).

Матимемо:

.        (6)

Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів, а аргумент — різниці аргументів діленого і дільника.

Приклад. Нехай a=12 (cos55°+i sin55°); b=3(cos35°+i sin 35°).

Тоді .

Піднесення до степеня. Нехай треба число a = R(cos a + i sin a) піднести до степеня n:

Матимемо:

. (7)

Модуль степеня комплексного числа дорівнює тому самому степеню модуля основи, а аргумент — аргументові основи, помноженому на показник степеня.

У частинному випадку, якщо r = 1, формула (7) набуває вигляду

.

Ця формула має назву формули Муавра.

Приклад. Піднести до куба число a = 2 (cos 20° + i sin 20°).

Матимемо:

.

Формула Ейлера: , ,

, .

Добування кореня. Добудемо корінь n-го степеня з числа:

.

Матимемо:

(8)

1. Модуль кореня n-го степеня з комплексного числа дорівнює кореню того самого степеня з модуля підкореневого числа, а аргумент — аргументові підкореневого числа, поділеному на показник кореня.

2. Корінь n-го степеня з комплексного числа має n різних значень.

За допомогою формули Ейлера можна дістати показникову форму комплексного числа

6. Квадратний тричлен з комплексними числами

Дано тричлен y = ax² + bx + c.

Відомо, що корені його комплексні. У цьому випадку . Перетворимо тричлен до вигляду

.

Додамо й віднімемо по :

; .

При всіх значеннях х вираз  є число додатне або таке, що дорівнює нулю (при ).

Дослідимо, який знак має другий доданок .

У випадках комплексних коренів вираз b² – 4ac від’ємний, а протилежне йому число – (b² – 4ac), тобто 4ac – b², — число додатне.

Знаменник 4а² теж число додатне, а отже, дріб  є додатним числом. Значить, уся сума, що міститься в квадратних дужках, буде додатним числом при всіх значеннях.

Звідси випливає, що знак числової величини тричлена залежить лише від знака а: при а додатному тричлен має додатні значення, при а від’ємному - від’ємні.

Якщо тричлен має комплексний корінь, то при всіх значеннях х його числове значення має той самий знак, що й коефіцієнт при х².

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!