Зростання та спадання функцій
ЛЕКЦІЯ 20. Застосування похідної
ПЛАН
1. Правило Лопіталя
2. Перетворення невизначеностей виду
3. Зростання та спадання функцій
4. Екстремуми функцій
5. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Правило Лопіталя
Розглянемо відношення 
, де функції 
і 
визначені й диференційовні в деякому околі точки а, виключаючи, можливо, саму точку а. Може бути, що при 
обидві функції і прямують до 0 або до ¥, тобто ці функції одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими величинами при . Тоді говорять, що в точці а функція f (x) має невизначеність виду
.
У цьому випадку, використовуючи похідні 
і 
, можна сформулювати правило для знаходження границі функції f (x) при , тобто визначити спосіб для розкриття невизначеностей виду .
Теорема(правило Лопіталя). Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.
Зауваження. Якщо і при прямують одночасно до 0 або до ¥ і задовольняють ті умови, які були накладені теоремою на функції і , то до відношення / знову застосовуємо правило Лопіталя і виводимо формулу
і т. п.
Приклад. Знайти 
.
Виконавши граничний перехід, дістанемо невизначеність вигляду 
. Застосовуємо правило Лопіталя:
.
Приклад. Знайти 
.
Виконання граничного переходу приводить до невизначеності виду 
. Застосовуємо правило Лопіталя:
|
|
|
(виконання граничного переходу знову приводить до невизначеності виду , а тому застосовуємо правило Лопіталя повторно):
.
Перетворення невизначеностей виду
до виду або .
Правило Лопіталя можна застосувати тільки для розкриття невизначеностей вигляду або . При розкритті інших типів невизначеностей їх перетворюють до одного з цих видів.
Невизначеність виду 
. Нехай 
.
Потрібно знайти
.
Це невизначеність типу .
Якщо вираз записати у вигляді
або 
,
то при дістанемо невизначеність відповідно вигляду або .
Приклад. Знайти 
.
Тут маємо невизначеність вигляду 
. Зобразимо добуток функції у вигляді частки, а потім, отримавши невизначеність , застосуємо правило Лопіталя:
Невизначеність вигляду 
. Нехай маємо функцію 
.
При 
(а — скінченне або нескінченне) можливі три випадки:
а) 
маємо невизначеність виду 
;
б) 
дістанемо невизначеність 
;
в) 
маємо невизначеність виду 
.
Ці невизначеності за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності вигляду . Справді, позначимо дану функцію через у, тобто візьмемо 
. Прологарифмувавши цю рівність, дістанемо 
.
Легко перевірити, що при добуток 
буде невизначеністю для всіх трьох випадків.
|
|
|
Відповідно до пункту 1 розкриємо невизначеність 
, тобто знайдемо границю 
(k — скінченне або ¥).
Звідси 
.
Приклад. Знайти границю 
.
Це невизначеність виду 
. Позначимо функцію, що стоїть під знаком границі, через у, тобто 
, і прологарифмуємо її:
.
Обчислимо границю логарифма даної функції. Тут маємо невизначеність . Застосуємо правило Лопіталя:
.
Звідси 
.
Приклад. Знайти границю 
.
При 
маємо невизначеність 
.
.
Звідси 
.
Невизначеність 
. Якщо функції 
при (а — скінченне або нескінченне), то різниця 
при дає невизначеність 
. Остання з допомогою алгебраїчних перетворень зводиться до невизначеності або .
Приклад. Знайти границю 
.
Маємо невизначеність виду . Алгебраїчним перетворенням приведемо цю невизначеність до невизначеності , а потім двічі застосуємо правило Лопіталя:
Зростання та спадання функцій
Нагадаємо: функція f (x) називається зростаючою на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (якщо 
то 
); функція спадна на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (якщо , то 
).
Теорема 1 (необхідна умова зростання (спадання) функції):
|
|
|
1. Якщо диференційовна функція зростає на деякому проміжку, то похідна цієї функції невід’ємна на цьому проміжку.
2. Якщо диференційовна функція спадає на деякому проміжку, то похідна цієї функції недодатна на цьому проміжку.
Теорема 2 (достатня умова зростання (спадання) функції):
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!