Глава 3. Правила вычисления пределов функции.
Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х0 есть величина бесконечно малая, т. е., если ,
то
f (x) = A + a (х) (3.1)
где a (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х0.
Доказательство. Обозначим за a (х) разность между функцией и ее пределом
a (х) = f (x) – A.
Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию ½x0 - х½< d. Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что a (х) есть величина бесконечно малая.
Справедливы следующие свойства пределов функций:
1. Если предел функции существует, то он единственен.
2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.
(3.2)
Если при х®x0 существуют конечные пределы функций f(x) и g(x)
(3.3)
то справедливы следующие утверждения
3. . (3.4)
Действительно
где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е.
α(х) + β (х) = γ(х),
то
.
Отсюда следует, что
4. (3.5)
|
|
5. (3.6)
6. (3.7)
7. (3.8)
Пример 1. Вычислить .
Решение. Так как
, а ,
то по теореме о пределе частного получаем, что .
Как правило применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .
Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.
При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.
Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.
Пример 2. Вычислить .
Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим
, так как и .
Пример 3. Вычислить .
Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
|
|
.
Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.
Теорема. Если функция неотрицательна в окрестности точки x0, то и ее предел при x ®x0 тоже величине неотрицательная
. (3.9)
Доказательство ведем методом «от противного».
Предположим, что A < 0, т.е. – A > 0. В определении предела подразумевается, что в качестве ε можно выбрать любое положительное число. Возьмем , по нему найдем зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x0 - х½< d, справедливо . Раскроем модульное неравенство
Рассмотрим правую часть неравенства и перенесем А направо. Получим
или
.
Это означает, что функция отрицательна, что противоречит условию теоремы.
Следствие. Если f (x) < g (x), то и . (3.10)
Первый замечательный предел
. (3.11)
Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 4.1)
|
|
Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично.,
Площадь треугольника ВОА
.
Рис. 4.1. Первый замечательный предел.
Площадь сектора ВОА
.
Площадь треугольника DОА
.
Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение
т.е.
Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x). Получим
Или, для обратных величин
Так как , то и . Что и требовалось доказать.
Следствие: (3.12)
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 98; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!