Принципи цифрової обробки сигналів

Вступ

Сукупність цих коефіцієнтів утворює спектр дискретного періодичного сигналу. Коливанню існує його дискретне МІП–подання:

Дискретна модель подається комплексним рядом Фур'є:

з коефіцієнтами

.
.

Формула визначає послідовність коефіцієнтів, які утворюють дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) розглянутого сигналу.

Відновлення вихідного сигналу по ДПФ. Якщо на підставі сукупності відліків деякого сигналу знайдені коефіцієнти ДПФ то по ним завжди можна відновити вихідний сигнал з обмеженим спектром, який був підданий дискретизації. Ряд Фур'є такого сигналу приймає вигляд кінцевої суми:

де – фазовий кут коефіцієнта ДПФ.

Зворотне дискретне перетворення Фур'є. Припустимо, що коефіцієнти , які утворюють ДПФ, задані. Врахуємо, що та додається лише кінцеве число членів ряду, які відповідають гармонікам, що містяться в спектрі вихідного сигналу.

Таким чином, отримаємо формулу для обчислення відлікових значень:

яка виражає алгоритм зворотного дискретного перетворення Фур'є (ЗДПФ).

Взаємно доповнюючи один одного формули є дискретними аналогами звичайної пари перетворень Фур'є для безперервних сигналів.

Дискретна згортка

За аналогією зі звичайною згорткою двох сигналів

уводять дискретну згортку – сигнал, відліки якого зв'язані з відліками дискретних сигналів та співвідношенням

(1.334)

Знайдемо зв'язок між коефіцієнтами дискретної згортки та ДПФ сигналів . Для цього виразимо поточні значення відліків і як ЗДПФ від відповідних спектрів:

а потім підставимо ці величини у формулу (1.334):

Змінивши порядок додавання, одержимо

(1.335)

Описаний тут алгоритм згортки періодичних сигналів іноді називають круговою або циклічною згорткою.

Неважко помітити, що внутрішня сума може бути обчислена на підставі формули (1.328), що відображає властивість ортогональності елементів базису Фур'є. Скориставшись цим, отримуємо

(1.336)

Оскільки формула (1.336) є ЗДПФ, приходимо до висновку, що коефіцієнти перетворення Фур'є згортки є добутками коефіцієнтів ДПФ, згортаємих сигналів:

(1.337)

Цей результат має велике значення в теорії дискретних сигналів і цифрових фільтрів. Виявляється, що якщо сигнали досить довгі (наприклад, містять кілька тисяч відліків), то для обчислення згортки доцільно спочатку знайти їх ДПФ, перемножити коефіцієнти, а потім скористатися формулою (1.336), застосувавши алгоритм ШПФ. Такий спосіб обчислень часто більш економічний, чим пряме використання формули (1.334).

Z-перетворення сигналів

При аналізі та синтезі дискретних і цифрових пристроїв широко використовують так зване перетворення, що відіграє стосовно дискретних сигналів таку ж роль, як інтегральні перетворення Фур'є та Лапласа стосовно безперервних сигналів. У даному параграфі викладаються основи теорії цього функціонального перетворення та деякі його властивості.

Визначення z-перетворення . Нехай числова послідовність, кінцева або нескінченна, яка містить відлікові значення деякого сигналу. Поставимо їй в однозначну відповідність суму ряду за негативними степенями комплексної змінної z:

(1.338)

Назвемо цю суму, якщо вона існує, z-перетворенням послідовності . Доцільність уведення такого математичного об'єкта пов'язана з тим, що властивості дискретних послідовностей чисел можна вивчати, досліджуючи їх z-перетворення звичайними методами математичного аналізу.

У математиці z-перетворення називають також виробляючою функцією вихідної послідовності.

На підставі формули (1.338) можна безпосередньо знайти
-перетворення дискретних сигналів з кінцевим числом відліків. Так, найпростішому дискретному сигналу з єдиним відліком відповідає . Якщо ж, наприклад, то

Збіжність ряду. Якщо в ряді (1.338) число складових нескінченно велике, то необхідно досліджувати його збіжність. З теорії функцій комплексної змінної відомо наступне. Нехай коефіцієнти розглянутого ряду задовольняють умові

(1.339)

при будь-яких . Тут і – постійні дійсні числа. Тоді ряд (1.338) сходиться при всіх значеннях , таких, що . У цій області збіжності сума ряду являє собою аналітичну функцію змінної , що не має ні полюсів, ні особливих точок.

Розглянемо, наприклад, дискретний сигнал , утворений однаковими одиничними відліками та поданого моделлю звичайної функції включення. Нескінченний ряд є сумою геометричної прогресії та сходиться при будь-яких у кільці . Додаючи прогресію, отримуємо

На границі області аналітичності коли ця функція має єдиний простий полюс.

Аналогічно виходить -перетворення нескінченного дискретного сигналу , де – деяке дійсне число. Тут

Даний вираз має сенс у кільцевій області .

Z-перетворення безперервних функцій. Вважаючи, що відліки є значення безперервної функції в точках , будь-якого сигналу можна зіставити його перетворення при обраному кроці дискретизації:

(1.340)

Наприклад, якщо , то відповідне -перетворення

є аналітичною функцією при .

3. Зворотне - перетворення

Нехай – функція комплексної змінної , аналітична в кільцевій області . Чудова властивість -перетворення полягає в тому, що функція визначає всю нескінченну сукупність відліків .

Дійсно, помножимо обидві частини ряду (1.338) на множник :

(1.341)

а потім обчислимо інтеграли від обох частин отриманого рівності, обравши в якості контуру інтегрування довільну замкнену криву, що лежить цілком в області аналітичності та охоплює всі полюси функції X(z). При цьому скористаємося фундаментальним положенням, що випливають із теореми Коші:

Обхід контуру інтегрування проводиться в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.

Інтеграли від усіх доданків правої частини обернуться в нуль, за винятком доданка з номером тому

(1.342)

Дана формула називається зворотним - перетворенням.

Зв'язок з перетвореннями Лапласа та Фур'є. Визначимо при сигнал виду ідеальної МІП:

Перетворивши його за Лапласом, отримаємо зображення

(1.343)

яке безпосередньо переходить в z-перетворення, якщо виконати підстановку . Якщо ж прийняти , то вираз

(1.344)

буде перетворенням Фур'є імпульсної послідовності.

Установлений тут факт дає можливість проводити формальну аналогію між спектральними властивостями безперервних та дискретних сигналів.

Найважливіші властивості z-перетворення. Розглянемо деякі властивості -перетворення.

1. Лінійність. Якщо та – деякі дискретні сигнали, причому відомі відповідні перетворення та , то сигналу буде відповідати перетворення при будь-яких постійних . Доказ проводиться шляхом підстановки суми у формулу (1.338).

2. Z-перетворення зміщеного сигналу. Розглянемо дискретний сигнал , що виходить із дискретного сигналу шляхом зміщення на одну позицію убік запізнювання, тобто коли . Безпосередньо обчислюючи z-перетворення, отримуємо наступний результат:

(1.345)

Таким чином, символ служить оператором одиничної затримки (на один інтервал дискретизації) в z-області.

1. Z-перетворення згортки. Нехай і – безперервні сигнали, для яких визначена згортка

(1.346)

Стосовно до дискретних сигналів за аналогією з (1.346) прийнято вводити дискретну згортку – послідовність чисел, загальний член якої

(1.347)

Подібну дискретну згортку на відміну від кругової іноді називають лінійною згорткою.

Визначимо z-перетворення дискретної згортки:

(1.348)

Отже, згортці двох дискретних сигналів відповідає добуток z-перетворень.

Перераховані тут властивості мають пряму аналогію із властивостями перетворень Фур'є та Лапласа аналогових сигналів.

Принципи цифрової обробки сигналів

У наш час широко використовуються методи обробки радіотехнічних сигналів за допомогою мікроелектронних обчислювальних пристроїв і систем. У даному параграфі розглядається найпростіший, найбільш вивчений і впроваджений клас систем дискретної обробки сигналів – так звані лінійні стаціонарні цифрові фільтри. Виконуючи, подібно аналоговим колам, операцію частотної фільтрації, цифрові фільтри (ЦФ) мають ряд істотних переваг. До них належать, наприклад, висока стабільність параметрів, можливість отримувати найрізноманітніші форми АЧХ та ФЧХ. Цифрові фільтри не вимагають настроювання та легко реалізуються на ЕОМ програмними методами.

Принцип цифрової обробки сигналів. На рис. 1.161 наведена основна структурна схема цифрової обробки сигналів.

Безперервний вхідний сигнал надходить в аналого-цифровий перетворювач (АЦП), керований синхронізуючими імпульсами від генератора, який задає частоту дискретизації. У момент подачі синхронізуючого імпульсу на виході АЦП виникає сигнал, що відображає результат виміру миттєвого значення вхідного коливання у вигляді двійкового числа з фіксованою кількістю розрядів. Залежно від особливості побудови пристрою цьому числу відповідає або послідовність коротких імпульсів (передача в послідовному коді), або сукупність рівнів напруг на сигнальних шинах окремих розрядів (передача в паралельному коді). Перетворений у такий спосіб сигнал надходить в основний блок пристрою, так званий цифровий процесор, який складається з арифметичного пристрою та пристрою пам'яті. Арифметичний пристрій виконує над цифрами ряд операцій, таких, як множення, додавання та зміщення у часі на задане число інтервалів дискретизації. У пристрої пам'яті може зберігатися деяке число попередніх відліків вхідного та вихідного сигналів, які необхідні для виконання операцій обробки.

Цифровий процесор перетворює числа, які надійшли до нього відповідно до заданого алгоритму фільтрації та створює на виході послідовність двійкових чисел, які є вихідним сигналом. Якщо надалі необхідно мати інформацію в аналоговій формі, то використовується цифро–аналоговий перетворювач (ЦАП). Однак цей пристрій може бути відсутнім, якщо сигнали піддаються тільки цифровим перетворенням.

Основний технічний показник ЦФ – швидкодія – залежить як від швидкості протікання перехідних процесів у мікроелектронних компонентах, так і від складності алгоритму фільтрації.

Квантування сигналів у ЦФ. Специфіка будь-якого цифрового пристрою – подання сигналів у вигляді послідовності чисел з обмеженою розрядністю. Тому миттєве значення сигналу дискретизується за рівнем, таким чином, що інтервал дискретизації (мінімальна різниця між двома сусідніми рівнями) є одиниця молодшого двійкового розряду.

Машинне подання чисел у цифровому фільтрі. Точне значення відліку сигналу у двійковій формі має вигляд

(1.349)

де або 1. При обмеженні довжини числа деякою кількістю розрядів замість точного значення виходить його наближене (машинне) подання:

(1.350)

коли коефіцієнт дорівнює або , або залежно від того, нуль або одиниця міститься в розряді.

У радіотехніці дискретні сигнали, у яких рівні приймають лише рахункову множину значень, називають квантованними сигналами (рис. 1.162). Квантування сигналів приводить до специфічної похибки під час обробки, яка отримала назву шуму квантування. Прямий шлях зниження цієї похибки – використання двійкових чисел з великою кількістю розрядів. Однак при цьому неминуче знижується швидкодія ЦФ через збільшення часу виконання операцій над багато розрядними числами. Тому на практиці в мікропроцесорних системах для цифрової обробки сигналів і дискретного керування зазвичай застосовують двійкові числа з кількістю розрядів від 8 до 32.

Алгоритм лінійної цифрової фільтрації. Математична теорія цифрових фільтрів у разі дискретних сигналів переносить усі основні положення теорії лінійних систем, які перетворюють безперервні сигнали.

Як відомо, лінійна стаціонарна система перетворює безперервний вхідний сигнал так, що на її виході виникає коливання , яке дорівнює згортці функції та імпульсної характеристики :

(1.351)

Лінійний цифровий фільтр, за визначенням, є дискретною системою (фізичним пристроєм або програмою для ЕОМ), яка перетворює послідовність числових відліків вхідного сигналу в послідовність відліків вихідного сигналу:

(1.352)

або скорочено

Лінійний цифровий фільтр має властивість, що сума будь-якої кількості вхідних сигналів, помножених на довільні коефіцієнти, перетворюється до суми його відгуків на окремі доданки, тобто

Звідки випливає

(1.353)

за будь-якими коефіцієнтами .

Для того щоб узагальнити формулу (1.351) у разі дискретних сигналів, уводять поняття імпульсної характеристики ЦФ (рис. 1.163). За визначенням, вона являє собою дискретний сигнал , який є реакцією ЦФ на «одиничний імпульс» :

(1.354)

Лінійний ЦФ стаціонарний, якщо під час зміщення вхідного одиничного імпульсу на будь-яку кількість інтервалів дискретизації імпульсна характеристика зміщується у такий же спосіб, не змінюючись за формою.

Наприклад:

(1.355)

Розглянемо, як із властивостей лінійності та стаціонарності випливає загальний алгоритм лінійної цифрової фільтрації. Нехай деякий сигнал на вході ЦФ із відомою імпульсною характеристикою.

Використовуючи співвідношення (1.353) і (1.355), можна записати відліків вихідного сигналу :

(1.356)

Формула (1.356), яка відіграє провідну роль у теорії лінійної цифрової фільтрації, показує, що вихідна послідовність є дискретна згортка вхідного сигналу та імпульсної характеристики фільтра. Зміст цієї формули простий і наочний: у момент кожного відліку ЦФ проводить операцію зваженого додавання всіх попередніх значень вхідного сигналу, причому роль послідовності вагових коефіцієнтів відіграють відліки імпульсної характеристики. Іншими словами, ЦФ має деяку «пам'ять» стосовно минулих вхідних впливів.

Принцип фізичної реалізованості цифрового фільтра. Практичний інтерес мають лише ЦФ, що фізично реалізуються, імпульсна характеристика яких не може стати відмінною від нуля у відлікових точках, які передують моменту подачі вхідного імпульсу. Тому для фільтрів, що фізично реалізуються коефіцієнти обертаються

в нуль і додавання в (1.356) можна поширити на всі позитивні значення індексу :

(1.357)

Дискретні гармонічні послідовності. Як відомо, у теорії лінійних систем особливу роль відіграють комплексні сигнали вигляду , які відображають гармонічні коливання. При дискретизації такого сигналу за часом виходить так звана гармонічна послідовність

(1.358)

така, що

(1.359)

Зауважимо, що послідовності (1.358) та (1.359) є неоднозначними дискретизованими гармонічними сигналами. Дійсно, ці послідовності не зміняться під час заміни частоти на , де – будь-яке ціле число, – кутова частота дискретизації.

Частотний коефіцієнт передачі ЦФ. Принципово неможливо відрізнити два дискретизованих гармонічних коливання, різниця частот яких перебуває в ціле-кратному відношенні із частотою дискретизації. Будемо вважати, що на вхід лінійного стаціонарного цифрового фільтра подана гармонічна послідовність вигляду (1.358), необмежено тривала у часі, тобто з індексом , який приймає значення . Для того щоб обчислити вихідний сигнал фільтра скористаємося формулою згортки (1.356) та визначимо -й відлік на виході:

Виконавши тотожні перетворення, отимаємо

Введемо новий індекс додавання . Тоді

(1.360)

Структура вихідного сигналу цифрового фільтра. Відповідно до формули (1.360) вихідний сигнал має структуру дискретної гармонічної послідовності з такою ж частотою, що й вхідний сигнал. Вихідні відліки отримуються із вхідних множенням на комплексну величину

(1.361)

яка має назву частотного коефіцієнта передачі ЦФ, що залежить від частоти , а також від кроку дискретизації і від сукупності коефіцієнтів імпульсної характеристики ЦФ.

Періодичний характер частотного коефіцієнта передачі цифрового фільтра. Формула (1.361) дозволяє зробити висновки:

1. Частотний коефіцієнт передачі ЦФ є періодичною функцією частоти з періодом, який дорівнює частоті дискретизації .

2. Функція є перетворення Фур'є імпульсної характеристики ЦФ, яка подана у вигляді послідовності дельта-імпульсів:

Системна функція ЦФ. Розрахунки найважливішої характеристики ЦФ – частотного коефіцієнта передачі – зручно проводити, використовуючи методи z-перетворень. Зіставимо дискретним сигналам , , їх -перетворення відповідно. Вихідний сигнал фільтра є згортка вхідного сигналу та імпульсної характеристики, тому [див. формули (1.348), (1.356)] вихідному сигналу відповідає функція

(1.362)

Системною функцієюстаціонарного лінійного ЦФ називають відношення z-перетворення вихідного сигналу до z-перетворення сигналу на вході.

З співвідношення (1.362) випливає, що системна функція фільтра

(1.363)

є z-перетворенням імпульсної характеристики. Порівнюючи вирази (1.361) та (1.363), приходимо до наступного висновку: щоб отримати частотний коефіцієнт передачі ЦФ із його системної функції, в останній потрібно зробити підстановку .

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 50; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!