Спектральна щільність модульованої імпульсної послідовності
Вступ
Дискретні сигнали виникають у тих випадках, коли джерело повідомлень видає інформацію у фіксовані моменти часу. Прикладом можуть служити відомості про температуру повітря, передані радіомовними станціями кілька разів у добу. Властивість дискретного сигналу проявляється тут гранично яскраво: у паузах між повідомленнями ніяких відомостей про температуру немає. Фактично ж температура повітря змінюється в часі плавно, так що результати виміру виникають за рахунок дискретизації безперервного сигналу - операції, яка фіксує відлікові значення.
Дискретні сигнали набули особливе значення в останні десятиліття під впливом удосконалювання техніки зв'язки та розвитку способів обробки інформації швидкодіючими обчислювальними засобами. Техніка дискретних сигналів є основою таких перспективних областей, як цифрове радіомовлення, цифрове телебачення, цифровий звукозапис і т.п.
Великі успіхи досягнуті в розробці та використанні спеціалізованих пристроїв для обробки дискретних сигналів, так званих цифрових фільтрів.
Даний підрозділ присвячений розгляду принципів математичного опису дискретних сигналів, а також теоретичних основ побудови лінійних пристроїв для їх обробки.
1. Дискретизуюча послідовність
Відмінність між дискретними та аналоговими (безперервними) сигналами підкреслювалося в підрозділі 1.1 при класифікації радіотехнічних сигналів. Нагадаємо основну властивість дискретного сигналу: його значення визначені не в усі моменти часу, а лише в рахунковій множині точок.
|
|
|
Якщо аналоговий сигнал має математичну модель виду безперервної або кусочно-безперервної функції, то дискретний сигнал 
, який йому відповідає, є послідовність 
відлікових значень сигналу 
в точках 
відповідно.
На практиці, як правило, відліки дискретних сигналів беруть у часі через рівний проміжок 
, який має назву інтервал (крок) дискретизації:
| (1.305) |
Операцію дискретизації, тобто перехід від аналогового сигналу до дискретного сигналу , можна описати, увівши в розгляд узагальнену функцію
 ,
| (1.306) |
яка названа дискретизуючою послідовністю (рис. 1.153).
Очевидно, дискретний сигнал є функціонал (див. п. 1.2), який визначений на множині різноманітних аналогових сигналів та дорівнює скалярному добутку функції та 
:
| (1.307) |
Формула (1.307) указує шлях практичної реалізації пристрою для дискретизації аналогового сигналу. Робота дискретизатора базується на операції стробування – перемноження оброблюваного сигналу та «гребінчастої» функції . Оскільки тривалість окремих імпульсів, з яких складається дискретизуюча послідовність, дорівнює нулю, на виході ідеального дискретизатора в рівновіддалені моменти часу виникають відлікові значення оброблюваного аналогового сигналу.
|
|
|
Дискретні сигнали почали використовувати ще в 40-х роках XX сторіччя при створенні радіотехнічних систем з імпульсною модуляцією. Цей вид модуляції відрізняється тим, що в якості «несучого коливання» замість гармонічного сигналу служить періодична послідовність коротких імпульсів.
2. Модульована імпульсна послідовність
Імпульсний модулятор (рис. 1.154) це пристрій із двома входами, на один з яких подається аналоговий сигнал . На інший вхід надходять короткі синхронізуючі імпульси з інтервалом повторення 
. Модулятор побудований таким чином, що в момент подачі кожного синхронізуючого імпульсу відбувається вимір миттєвого значення сигналу . На виході модулятора виникає послідовність імпульсів, кожний з яких має площу, пропорційну відповідному до відлікового значення аналогового сигналу. Сигнал 
на виході імпульсного модулятора має назву модульованої імпульсної послідовності (МІП). Звичайно, що дискретний сигнал є математичною моделлю МІП.
Відзначимо, що із принципової точки зору характер імпульсів, з яких складається МІП, не має значення. Зокрема, ці імпульси можуть мати однакову тривалість, у той час як їх амплітуда пропорційна відліковим значенням дискретизуємого сигналу. Такий вид перетворення безперервного сигналу одержав назву амплітудноімпульсної модуляції (АІМ) (рис. 1.155, а).
|
|
|
Можливий інший спосіб – широтно-імпульсна модуляція (ШІМ) (рис. 1.155, б). Тут амплітуди імпульсів на виході модулятора постійні, а їх тривалість (ширина) пропорційна миттєвим значенням аналогового коливання.
Вибір того або іншого способу імпульсної модуляції диктується рядом технічних міркувань, зручністю схемної реалізації, а також характерними рисами переданих сигналів. Наприклад, недоцільно використовувати АІМ у випадку, якщо корисний сигнал змінюється в дуже широких межах, тобто, як часто говорять, має широкий динамічний діапазон. Для неспотвореної передачі такого сигналу потрібен передавач зі строго лінійною амплітудною характеристикою. Створення такого передавача є технічно складною проблемою. Системи ШІМ не пред'являють вимог до лінійності амплітудних характеристик передавального пристрою. Однак їх схемна реалізація може виявитися трохи складніше в порівнянні із системами АІМ.
|
|
|
Фундаментальне застосування імпульсно-модульованих сигналів – створення багатоканальних систем зв'язку з часовим поділом каналів. У ряді випадків системи з імпульсною модуляцією дозволяють добитися більшої завадостійкості в порівнянні з тією, яка може бути досягнута при використанні в якості несучого коливання простого гармонічного сигналу.
Математичну модель ідеальної МІП можна отримати в такий спосіб. Розглянемо формулу динамічного подання сигналу (див. п. 1.2):
 .
| (1.308) |
Оскільки МІП визначена лише в точках 
, інтегрування у формулі (1.308) слід замінити додаванням по індексу 
. Роль диференціала 
буде відіграти інтервал (крок) дискретизації . Тоді математична модель модульованої імпульсної послідовності, яка утворена нескінченно короткими імпульсами, буде задана виразом
 .
| (1.309) |
де 
– вибіркові значення аналогового сигналу.
Спектральна щільність модульованої імпульсної послідовності
Дослідимо спектр сигналу, що виникає на виході ідеального імпульсного модулятора та задано виразом (1.309). Підмітимо, що сигнал виду МІП з точністю до коефіцієнта пропорційності дорівнює добутку функції та дискретизуючої послідовності :
 .
| (1.310) |
Згідно з даною моделлю, значення сигналу в паузах умовно вважаються рівним нулю.
Відомо, що спектр добутку двох сигналів пропорційний згортці їх спектральних щільностей (див. п. 1.2). Тому якщо відомі закони відповідності сигналів та спектрів:
 ,
|
то спектральна щільність МІП-сигналу
 .
| (1.311) |
Щоб знайти спектральну щільність 
дискретизуючої послідовності, розкладемо періодичну функцію в комплексний ряд Фур'є:
 .
|
Коефіцієнти цього ряду 
 .
|
Тут тривалість прямокутних імпульсів, які формують вибірки, прямує до нуля.
Звернувшись до формули (1.130) 
, отримаємо
 .
| (1.312) |
інакше спектр дискретизуючої послідовності складається з нескінченної сукупності дельта-імпульсів у частотній області. Дана спектральна щільність є періодичною функцією з періодом 
.
Нарешті, підставивши формулу (1.312) в (1.311) і змінивши порядок проходження операцій інтегрування та додавання, знаходимо
 .
| (1.313) |
Отже, спектр сигналу, отриманого в результаті ідеальної дискретизації нескінченно короткими стробуючими імпульсами, є сума нескінченного числа «копій» спектра вихідного аналогового сигналу. Копії розташовуються на осі частот через однакові інтервали 
, які рівні значенню кутової частоти першої гармоніки дискретизуючої імпульсної послідовності (рис. 1.156,а, б)
4. Відновлення безперервного сигналу по модульованій імпульсній послідовності
Надалі будемо вважати, що дійсний сигнал має низькочастотний спектр, який симетричний щодо точки 
та обмежений верхньою граничною частотою 
. З рис. 1.156,б випливає, що якщо 
, тоді окремі копії спектра 
не накладаються один на одного.
Тому аналоговий сигнал з таким спектром, який підданий імпульсній дискретизації, може бути зовсім точно відновлений за допомогою ідеального ФНЧ, на вхід якого подана імпульсна послідовність виду (1.309). При цьому найбільший допустимий інтервал дискретизації 
, який узгоджується з теоремою Котельникова.
Дійсно, нехай фільтр, що відновлює безперервний сигнал, має частотний коефіцієнт передачі
| (1.314) |
Імпульсна характеристика цього фільтра описується виразом
 .
|
Беручи до уваги, що МІП-сигнал виду (1.309) є зважена сума дельта-імпульсів, знаходимо відгук на виході відновлюючого фільтра
 .
| (1.315) |
Даний сигнал з точністю до масштабного коефіцієнта повторює вихідне коливання з обмеженим спектром.
Ідеальний ФНЧ фізично нереалізуємий і може служити лише теоретичною моделлю для пояснення принципу відновлення повідомлення за його дискретними імпульсними відліками. Реальний фільтр нижніх частот має амплітудно-частотну характеристику (АЧХ), яка, або охоплює кілька пелюсток спектральної діаграми МІП, або, концентруючись поблизу нульової частоти, виявляється значно вужчою центральної пелюстки спектра. Для прикладу на рис. 1.157, б – енаведені криві, що характеризують сигнал на виході 
-кола, який використовується в якості відновлюючого фільтра (рис. 1.157, а).
З наведених графіків видно, що реальний, відновлюючий фільтр неминуче спотворює вхідне коливання.
Визначення спектра аналогового сигналу за сукупностю відліків. Маючи МІП–подання, можна не тільки відновити аналоговий сигнал, але й знайти його спектральну щільність. Для цього слід безпосередньо зв'язати спектральну щільність МИП з відліковими значеннями:
| (1.316) |
З іншого боку, спектральна щільність 
була знайдена раніше іншим способом [див. формулу (1.313)]. Тому справедливо співвідношення
 ,
| (1.317) |
відоме в математиці як формула додавання Пуассона.
Однозначно знайти функцію , знаючи ліву частину рівності (1.317) з результатів вимірів, загалом кажучи, неможливо через ефект накладення копій спектра. Виключення становить випадок, коли заздалегідь відомо, що вихідний сигнал має спектр низькочастотного виду, що задовольняє умові теореми Котельникова. Тоді спектр аналогового сигналу
| (1.318) |
Дана формула вичерпно вирішує поставлену задачу при зазначеному вище обмеженні.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 20; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!