Варианты для заданий № 5, №6, №7.
Даны точки А, В, С, D.
№ варианта | А | В | С | D |
1 | (2;-1;3) | (-1;3;2) | (0;1;-1) | (-1;-3;1) |
2 | (-2;-1;3) | (1;3;-2) | (3;1;-1) | (2;-3;-2) |
3 | (0;-1;3) | (-2;3;-1) | (0;1;-1) | (-1;-3;1) |
4 | (3;-2;3) | (-1;0;2) | (-3;1;-1) | (-3;-3;1) |
5 | (1;-1-2) | (-1;2;-2) | (2;1;-2) | (-1;-2;3) |
6 | (1;-1;3) | (-1;-2;2) | (1;1;-1) | (0;-3;1) |
7 | (2;-2;3) | (-2;3;2) | (1;1;-1) | (-1;-3;0) |
8 | (-2;1;-3) | (2;3;2) | (3;-1;-1) | (-1;-3;1) |
9 | (-1;-1;3) | (-1;3;-2) | (-3;1;-1) | (-1;-3;2) |
10 | (2;-1;2) | (-1;-3;2) | (2;1;-1) | (-1;-3;0) |
Задание 5.
Найти:
1) направляющие косинусы вектора .
Найдем координаты вектора . Для этого из координат конца вектора (т.е. координат точки В(1;3;-2)) вычитаем координаты начала (т.е. координат точки А(-2;-1;3)).
= (1-(- 2); 3-(-1); 2-3) =(3; 4; -1)
Обозначим первую координату вектора через , вторую- через , третью – через , т.е.
=( ) =(3; 4; -1).
Тогда направляющие косинусы вычисляются по формулам (координата вектора делится на его длину):
cos a = ; cos b = ; cos g = .
То есть
cos a = ; cos b = ;
cos g = .
2) проекцию вектора на вектор , т.е. пр .
Чтобы найти проекцию вектора на вектор , надо скалярное произведение этих векторов разделить на длину вектора .
пр = .
Найдем координаты векторов, используемых в задании.
= (3; 4; -1) = (-5; -2;4), 3 = (-15; -6; 12)
=(3-15; 4- 6; -1+12) = (-7; -2; 11), = (5; -4; 1).
Тогда
пр =
3) высоту h пирамиды АВСD, опущенную из вершины D на плоскость основания АВС.
Высота h треугольной пирамиды АВСD равна -объем пирамиды разделить на площадь основания –площадь основания.
|
|
SDABC = | |.
Найдем векторное произведение векторов и .
= = - + = -14 -7 - 14
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, тогда площадь треугольника, лежащего в основании пирамиды, вычисляется следующим образом:
SDABC = = = ед2.
Найдем объем пирамиды.
Объем пирамиды равен объему параллелепипеда, численно совпадающим со смешанным произведением трех векторов, являющихся сторонами параллелепипеда.
= (3;4;-1) = (5; 2; -4) = (4; -2; -5)
= = |-30 +10 – 64 + 8 – 24 +100 | = 10 ед3
SDABC = ед2
= = .
Задание 6.
Доказать, что вектора образуют базис. Найти разложение вектора в этом базисе.
Найдем координаты векторов.
= (3;4;-1) = (5; 2; -4) = (4; -2; -5) = (5; -4; 1).
Убедимся, что вектора образуют базис. Вектора образуют базис, если они линейно независимы, то есть определитель, элементами которого являются координаты векторов, не равен нулю.
= -30 +10 – 64 + 8 – 24 +100 =10 ¹ 0.
Т.е. вектора линейно независимы, следовательно, вектора образуют базис и следовательно, вектор будет иметь следующее разложение:
= +b · +g · .
Подставим вместо векторов их координаты:
Используя операции умножения вектора на число и сложение векторов, получим систему
|
|
Решаем систему методом Гаусса.
~ ~ ~
=>
=443/154 -13/33 -9/14 .
Задание 7.
1) Составить уравнение прямой L , проходящих через две точки A и B
A = (-2;-1;3); B= (1;3;2); C = (3;1;-1); D = (2;-3;-2)
1) Дано:
A(-2;-1;3); B(1;3;2),
АÎL, BÎL
Найти
L .
Решение.
1.Нарисуем чертеж к задаче.
А
М(х,у,z)
В
2. На объекте исследования, т.е прямой А B, выберем произвольную точку М с текущими координатами, т.е М( ).
3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке и концом в точке М , т.е и вектор, соединяющий две заданных точки т.е .
4. Найдем координаты этих векторов.
, = (3;4;-1).
5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Они параллельны || , следовательно, их координаты пропорциональны.
.
Таким образом, получили каноническое уравнение прямой.
2) написать параметрическое уравнение прямой L 1 , проходящей через точку С, параллельно прямой AB ;
Дано:
A = (-2;-1;3); B= (1;3;2); C = (3;1;-1)
L: (см. предыдущую задачу)
СÎ L1
Найти
L1.
Решение
1.Нарисуем чертеж к задаче.
А |
В |
C |
L1 |
M(x,y,z) |
2. На объекте исследования, т.е прямой L1, выберем произвольную точку М с текущими координатами М( ).
3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке С и концом в точке М , т.е , лежащий на прямой L1 и направляющий вектор (вектор параллельный прямой) = (3, 4, -1), найденный из канонического уравнения прямой AB: .
|
|
4. Найдем координаты этих векторов.
; = (3, 4, -1).
5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Они параллельны || , следовательно, их координаты пропорциональны.
Таким образом, получили -это каноническое уравнение прямой L1.
3) написать уравнение высоты DH треугольной пирамиды ABCD ;
Дано: A(2;-2;3); B(-2;3;2); C(1;1;-1); D(-1;-3;0)
DH ^ AB C
Найти DH
Решение
Будем решать задачу в два этапа.
1) Найдем уравнение плоскости, проходящей чрез точки A,B и C .
1.Нарисуем чертеж.
A |
B |
M(x,y,z) |
Р |
C |
2. На объекте исследования, т.е плоскости Р, выберем произвольную точку М с текущими координатами М( ).
3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке А и концом в точке М , т.е , второй вектор, соединяющий две заданных точки и третий вектор, соединяющий две заданных точки .
4. Найдем координаты этих векторов.
= (-4;5;-1) = (-1; 3;-4)
5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Эти вектора лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю т.е.
|
|
×
Раскроем скобки.
-17x - 15y - 7z + 25= 0 –это уравнение плоскости АВС.
2) Найдем уравнение высоты DH.
1.Нарисуем чертеж.
A |
B |
M(x,y,z) |
C |
D |
Н |
2. На объекте исследования, т.е прямой DH, выберем произвольную точку М с текущими координатами М( ).
3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке D и концом в точке М , т.е и другой вектор- вектор нормали (вектор перпендикулярный плоскости) .
4. Найдем координаты этих векторов.
Из уравнения плоскости -17x - 15y - 7z + 25= 0 найдем координаты вектора нормали к плоскости (это коэффициенты при неизвестных) =(-17; -15; -7);
5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Вектора и параллельны, следовательно, их координаты пропорциональны:
-это и есть искомое уравнение высоты DH.
4) написать уравнение медианы AD треугольника ABC ;
Дано:
A(2;-2;3); B(-2;3;2); C(1;1;-1); D(-1;-3;0)
D1ÎBC; | BD1| = |D1C|
Найти AD1.
Решение
Координаты точки D1 находим как половина суммы координат точек С и В.
D1 =
Строим каноническое уравнение прямой аналогично задания 1)
AD1: =>
5) определить угол между плоскостями ABC и ACD ;
6) Дано:
A(2;-2;3); B(-2;3;2); C(1;1;-1); D(-1;-3;0)
-17x - 15y - 7z + 25= 0 –уравнение плоскости АВС.
Найти j .
Решение
Найдем плоскость ACD (аналогично нахождению плоскости АВС)
Три вектора = (-3;-1;-3) = (-1; 3; -4)
Лежат в одной плоскости, следовательно их смешанное произведение равно нулю т.е.
=>
13х -9y -10z-14 = 0 –это уравнение плоскости ACD.
Угол между двумя плоскостями то же самое, что угол между их векторами нормали.
Вектор нормали плоскости ABC = (-17; -15; -7), а вектор нормали плоскости ACD = (13; -9; -10)
cos = =
j =arcos ( )
Задание 8.
Определить тип кривой второго порядка; найти координаты центра; полуоси.
х2 - 4у2 – 6х - 16у - 29 = 0/
Сгруппируем слагаемые, содержащие х и слагаемые, содержащие у.
(х2 – 6х) -4(у2 + 4у) -29 = 0
Выделим полный квадрат относительно х и у.
(х2 – 6х +9 – 9) -4(у2 + 4у +4- 4) -29 = 0.
Свернем квадрат разности относительно х и квадрат суммы относительно у.
(x - 3)2 -4(y +2)2 +16 -9 -29 =0
(x - 3)2 -4(y +2)2 = 22.
Разделим правую и левую части уравнения на 22.
.
Это уравнение эллипса, центр которого имеет координаты (3;-2), большая полуось равна , малая .
Варианты к заданию № 8.
1. 5х2 + 9у2 – 30х + 18у + 9 = 0
2. 16х2 - 9у2 – 64х - 54у - 161 = 0
3. 4х2 + 9у2 – 16х - 18у - 11 = 0
4. х2 - 4у2 – 6х + 16у - 11 = 0
5. 16х2 + 25у2 + 32х - 100у - 284 = 0
6. 9х2 - 16у2 + 90х + 32у - 367 = 0
7. х2 - 4у2 – 6х - 16у - 29 = 0
8. 4х2 + 3у2 – 8х + 12у - 32 = 0
9. 16х2 - 9у2 – 64х - 18у + 199 = 0
Задание 9. Возвести комплексное число в степень:
, z4 - ?
Найдем модуль и аргумент комплексного числа z = x + iy
Модуль: = = 4
Аргумент, т.е. угол: = = = p - =
Для z1= z4 модуль будет r1 = r4 = 44 = 256, а аргумент j1 = 4j = ·4 .
Таким образом z4 =256·( cos + i · sin )
Варианты к заданию № 9.
1) , ; | 3) , ; |
2) , ; | 4) , ; |
5) , ; | 8) , ; |
6) , ; | 9) , ; |
7) , ; | 10) , . |
Приложение 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 26; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!