Содержание геометрии Лобачевского
Министерство образования Московской области
Государственное образовательное учреждение
Высшего образования Московской области
Ногинский филиал
Московского государственного областного университета
Реферат по ТОНКМ на тему:
«История геометрии. Геометрия Лобачевского»
Студентки группы 4 «Е»
Выполнила: Куликова Елизавета Дмитриевна
Специальность: «Преподавание в начальных классах»
Преподаватель: Никифорова Г. В.
г. Ногинск
2021 г.
Геометрия с практической точки зрения - это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.
Около 29002900 лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется 20002000 годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.
Именно греки 600600 – 400400 лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
|
|
|
Пифагор (569−475569−475 лет до н. э.)
Следующим считается Пифагор. Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием "пифагорейцы", которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.
Евклид Александрийский (325−265325−265 лет до н. э.)
Евклид Александрийский считается “отцом современной геометрии”. Евклид ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга “Начало”, написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга "Начало" была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел 2323 определения, 55 постулатов и 55 аксиом.
|
|
|
Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как аксиоматический подход. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.
Рене Декарт (1596−16501596−1650)
До появления Рене Декарта в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.
Карл Фридрих Гаусс (1777−18551777−1855)
Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.
|
|
|
Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
1.В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т.е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
|
|
|
2.Сумма углов всякого треугольника меньше 1800 и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность 1800 - (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади. 12
3.Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
4.Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
5.Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
6.Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
7.Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
Стоит выделить еще одно важное отличие геометрии Евклида и геометрии Лобачевского: в геометрии Евклида существует всего 3 признака равенства треугольников, а геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Л. г. изучает свойства плоскости Лобачевского в планиметрии и пространства Лобачевского в стереометрии. Плоскость Лобачевского – это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии (а также движения фигур, расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется сформулированной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла Л. г. состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовывались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Л. г. В 1868 Э. Бельтрами заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера (рис. 2). Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставить точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению плоскости Лобачевского сопоставить перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме Л. г. будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Таким образом, Л. г. получает простой реальный смысл (интерпретация Бельтрами). При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере, однако здесь даётся интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем более не в пространстве. В 1901 Д. Гильберт доказал, что в евклидовом пространстве не может существовать регулярной поверхности, геометрия на которой совпадает с геометрией всей плоскости Лобачевского.
Рис. 3.
В 1871 Ф. Клейн указал описанную выше модель (интерпретация Клейна) как всей плоскости, так и пространства Лобачевского: плоскостью служит внутренность круга, а пространством – внутренность шара. В этой модели расстояние между точками AA и BB (рис. 1) определяется как ln(ANAM⋅BMBN)ln(ANAM⋅BMBN). Позднее А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель (интерпретация Пуанкаре). В этой интерпретации за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис. 3), прямыми считаются дуги окружностей (напр., a,b,b'a,b,b′), перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями – преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. В модели Пуанкаре углы изображаются обычными углами. Модель Л. г. в пространстве строится аналогично.
Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством – внутренность шара), и Л. г. есть теория о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре – при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования переводят прямые в прямые, конформные – сохраняют углы).
Возможно чисто аналитич. определение модели Л. г. Напр., точки плоскости можно определять как пары чисел (x,y)(x,y), прямые можно задавать уравнениями, движения – формулами, сопоставляющими точкам (x,y)(x,y) новые точки (x',y')(x′,y′). Это абстрактно определённая аналитич. геометрия на плоскости Лобачевского, аналогичная аналитич. геометрии на евклидовой плоскости. Лобачевский дал основы своей аналитич. геометрии и тем самым фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Ф. Клейна и др. выявилось само понятие о модели. Др. аналитич. определение Л. г. состоит в том, что она определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны. Это определение было фактически дано Б. Риманом (1854) и включало модель Л. г. как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л. г., а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь в 1868.
Содержание геометрии Лобачевского
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрич. понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрич. методом, подобно тому как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, напр., теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрий. Ниже перечислены неск. фактов Л. г., установленных самим Н. И. Лобачевским, которые отличают её от геометрии Евклида.
1) В Л. г. не существует подобных, но не равных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, напр., сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше ππ и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это видно на модели Пуанкаре. Разность π−(α+β+γ)π−(α+β+γ), где α,β,γα,β,γ – углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку OO, не лежащую на данной прямой aa, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих aa и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние bb и b'b′, которые называются параллельными прямой aa в смысле Лобачевского. В моделях Клейна и Пуанкаре они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) aa общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек, рис. 1, 3). Угол αα между прямой bb (или b'b′) и перпендикуляром из OO на aa, т. н. угол параллельности, по мере удаления точки OO от прямой aa убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно увидеть непосредственно). Параллель bb с одной стороны (а b'b′ с противоположной) асимптотически приближается к aa, а с другой – бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояние между точками, приближающимися к разным точкам граничной окружности, бесконечно растёт).
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают др. прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой есть не прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой или гиперциклом.
6) Предел бесконечно растущих окружностей есть не прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью или орициклом.
7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса есть не плоскость, а особая поверхность – предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это послужило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее, чем радиус.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше метрич. соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Напр., чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от ππ , чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π2π, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!