Третий признак параллелограмма и его доказательство
Урок 9
8 класс геометрия
Тема: Признаки параллелограмма
На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма.
Ссылка на видео-урок: https://www.youtube.com/watch?v=8_n-ZmGXP28
Прочитать:
1. Определение и основные свойства параллелограмма
Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Вспомним основные свойства параллелограмма:
Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, – параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.
2. Первый признак параллелограмма
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ 
(см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
|
|
|
по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства указанных треугольников следует, что 
по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей.
Имеем, что:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
.
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:
по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что и 
по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Пример на применение первого признака параллелограмма
Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.
Пример 1.
В выпуклом четырехугольнике 
Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону 
.
|
|
|
Решение. Изобразим Рис. 4.
Рис. 4
параллелограмм по первому признаку параллелограмма.
А. 
по свойству параллелограмма о противоположных углах, 
по свойству параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне.
Б. 
по свойству равенства противоположных сторон.
Ответ. 
.
Третий признак параллелограмма и его доказательство
Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник является параллелограммом.
Дано:
– четырёхугольник; 
; 
.
Доказать:
– параллелограмм.
Доказательство:
Для того чтобы доказать данный факт, необходимо доказать параллельность сторон параллелограмма. А параллельность прямых чаще всего доказывается через равенство внутренних накрест лежащих углов при этих прямых. Таким образом, напрашивается следующий способ доказательства третьего признака параллелограмма: через равенство треугольников 
.
Докажем равенство этих треугольников. Действительно, из условия следует: . Кроме того, поскольку углы 
– вертикальные, то они равны. То есть:
(первый признак равенства треугольников – по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников: 
|
|
|
(так как равны внутренние накрест лежащие углы при этих прямых и секущей 
).
Кроме того, из равенства треугольников следует, что 
. Значит, мы получили, что в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма: – параллелограмм.
Доказано.
Домашнее задание: с.101-102 выучить свойства 10 – 30.
Решить: №№ 383, 373, 378 (записать решение в тетрадь)
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 116; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!