Свойства и графики некоторых функций
Тема: свойства функций
С двумя свойствами функций вы уже знакомы – это область определения и область значений функций. Рассмотрим следующие свойства функции – точка пересечения графика функции с осями координат.
Так как ось Оу (ось ординат) характерна тем, что любая точка на ней имеет координату х = 0, а для оси Ох (ось абсцисс) – любая точка на ней имеет координату у = 0, то точки пересечения графика с осями координат ищутся очень просто.
Точка пересечения с осью Оу равна значению функции у(х) при х = 0, т.е. у(0).
Точка пересечения с осью Ох являются корнями уравнений у(х) = 0 и называются нулями функции.
Пример 1
Рассмотрим функцию у(х) = – х2 + 6х – 8.
Найдем точки пересечения графика этой функции с осями координат. Чтобы определить точку пересечения графика с осью ординат, вычислим значение функции у(х) при х = 0
у(0) = – 02 + 6 · 0 – 8 = – 8. Получим координаты этой точки (0; – 8).
Теперь определим точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс. Для это в функцию у = – х2 + 6х – 8 подставим значение у = 0 и получим квадратное уравнение 0 = – х2 + 6х – 8 или – х2 + 6х – 8 = 0. Решим его:
– х2 + 6х – 8 = 0 | · (– 1)
х2 – 6х + 8 = 0
а = 1; b = – 6; с = 8
D = b2 – 4ac
D = (– 6)2 – 4 · 1 · 8
D = 36 – 32
D = 4, D > 0
х1 = 4 х2 = 2
Поэтому график данной функции пересекается с осью абсцисс в двух точках с координатами (4; 0) и (2; 0). Для наглядности на рисунке приведен график данной функции.
|
|
Следующее свойство – ограниченность функции. Функция называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше некоторого числа а. (т.е. у(х) ≥ а).
Функция называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше некоторого числа а (т.е. у(х) ≤ а).
Если функция ограничена снизу и сверху, то она называется ограниченной.
На рисунке приведены графики ограниченных и неограниченных функций.
Пример 2
Докажем, что функция у(х) = – х2 + 6х – 8 ограничена сверху.
Выделим в функции у(х) = – (х2 + 6х – 8) полный квадрат разности. Для этого в скобках прибавим и вычтем единицу. Получаем:
у(х) = – (х2 + 6х – 8) = – ((х2 – 6х + 9) – 1) = – ((х – 3)2 – 1) = 1 – (х – 3)2.
Так как при всех значения х величина (х – 3)2 ≥ 0, величина – (х – 3)2 ≤ 0 то 1 – (х – 3)2 ≤ 1, т.е. у(х) ≤ 1. Тогда по определения данная функция ограничена сверху (при этом число а, входящее в определение, равно 1). Из графика примера 1 наглядно видно, что при всех значения х значения у(х) ≤ 1.
Рассмотрим еще одно свойство функции – монотонность (т.н. возрастание и убывание функции).
|
|
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (т.е. если х2 > х1, то у(х2) > у(х1)).
Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т.е. если х2 > х1, то у(х2) < у(х1)).
На рисунке приведены графики монотонных (возрастающей и убывающей) и немонотонной функции.
Пример 3
Определить монотонность функции у(х) = – 2х + 4.
Область определения этой функции – все значения х, т.е. х (– ∞; + ∞). Возьмем два значения х из области определения этой функции х1 и х2 и пусть х2 > х1. Найдем значения функции в этих точках: у(х1) = – 2х1 + 4 и у(х2) = = – 2х2 + 4. Теперь необходимо сравнить эти значения и определить, какое из них больше. Для этого рассмотрим разницу этих величин:
у(х2) – у(х1) = (– 2х2 + 4) – (– 2х1 + 4) = – 2х2 + 4 + 2х1 – 4 = – 2(х2 – х1).
Так как х2 > х1, то разность х2 – х1 > 0 и величина – 2(х2 – х1) < 0. Поэтому получаем: у(х2) – у(х1) < 0, или у(х2) < у(х1). Это неравенство означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому данная функция (по определению) является убывающей. Это же видно из приведенного графика функции.
|
|
Функция во всей области определения может быть немонотонной, но на отдельных промежутках функции может быть монотонной. Например, в примере 1 функция в целом немонотонная, но на промежутке х [3; + ∞) функция убывает, а на промежутке х (– ∞; 3] возрастает.
И наконец, рассмотрим еще одно свойство функции – четность. Предварительно введем еще одно понятие – симметричность области определения. Область определения называется симметричной, если функция определена и в точке х0 и в точке (– х0) (т.е. в точке, симметричной х0 относительно начала числовой оси).
Пример 4
а) Областью определения функции являются все значения х, кроме тех, для которых х2 – 4 = 0 (т.е. х = 2). Поэтому эта функция определена, например, как при х = – 1, так и при х = – (– 1) = 1.
И наоборот, эта функция не определена и при х = – 2, и при х = – (– 2) = = 2. Следовательно, область определения данной функции:
х (– ∞; – 2) (– 2; 2) (2; + ∞) симметричная.
б) Областью определения функции является все значения х, кроме тех, для которых х – 4 = 0 (т.е. х = 4). Поэтому эта функция определена в точке х = – 4, но не определена в симметричной точке х = – (– 4) = 4. Поэтому область определения данной функции х (– ∞; 4) (4; + ∞) не является симметричной.
|
|
Понятие четности функции вводится только для функции с симметричной областью определения. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента, значение функции не меняется, т.е. у(– х) = у(х). График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат.
Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента, значение функции также меняется на противоположное, т.е. у(– х) = – у(х). График нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.
На рисунке приведены (для наглядности) графики четной, нечетной функции и функции, не имеющей никакой четности.
Пример 5
Выяснить четность функций:
а) у = |х| – х2.
у(– х) = |– х| – (–х)2 = |х| – х2 (здесь учтено, что |– х| = |х| и (–х)2 = х2). Теперь легко видеть, что у(– х) совпадает с данной функцией у(х), т.е. у(– х) = у(х). Поэтому данная функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.
б) у = х – х3
у(– х) = – х – (– х)3 = – х + х3 = – (х – х3) = – у(х). Видно, что значения функции в точках х и – х противоположны по значению, т.е. у(– х) = – у(х). Поэтому данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.
в) у = х – 2
у(– х) = – х – 2. Сравнивая значение – у(х) = – х – 2 со значением у(х) = х – 2, видим, что равенство у(– х) = у(х) не выполняется. Поэтому эта функция не является четной. Найдем теперь величину – у(х) = – (х – 2) = 2 – х. Сравнивая значения у(– х) = – х – 2 со значением – у(х) = 2 – х, видим, что равенство у(– х) = – у(х) также не выполняется. Поэтому эта функция не является нечетной.
Итак, данная функция никакой четности не имеет и ее график не обладает никакой симметричности.
Свойства и графики некоторых функций
Линейная функция y = kx + b
1. Область определения – множество всех чисел
2. Графиком функции является прямая линия
3. График функции пересекает ось абсцисс в точке при (k ≠ 0) и параллелен оси абсцисс при k = 0. График функции пересекает ось ординат в точке у = b.
4. Функция возрастает при k > 0, убывает при k < 0 и постоянна при k = 0.
5. Функция неограниченная при k ≠ 0 и ограниченная при k = 0.
6. Функция определенной четности не имеет при b ≠ 0 и у = b, нечетная при b = 0 и четная при k = 0.
7. Область значений – множество всех чисел при k ≠ 0 и у = b при k = 0.
8. При b = 0 функцию у = kx называют прямой пропорциональностью.
Обратная пропорциональность
1. Область определения – множество всех чисел, кроме нуля.
2. Графиком функции является гипербола
3. График функции осей координат не пересекает.
4. Функция возрастает при k < 0 и убывает при k > 0 в области определения.
5. Функция неограниченная
6. Функция нечетная
7. Область определений – множество всех чисел, кроме нуля.
Квадратная функция у = х2
Стоит отметить, что функция у = х2 является частным случаем квадратичной функции, которая детально будет изучаться позднее.
1. Область определения – множество всех чисел
2. Графиком функции является парабола
3. График функции проходит через начало координат
4. Функция убывает на промежутке (– ∞; 0] и возрастает на промежутке [0; + ∞)
5. Функция ограничена снизу, т.е. у ≥ 0.
6. Функция нечетная
7. Область значений – промежуток [0; + ∞)
Кубическая функция у = х3
1. Область определения – множество всех чисел
2. График специального названия не имеет
3. График функции проходит через начало координат
4. Функция возрастает
5. Функция неограниченная
6. Функция нечетная
7. Область значений – множество всех чисел.
Функция у =
1. Область определения – множество неотрицательных чисел
2. График специального названия не имеет
3. График выходит из начала координат
4. Функция возрастает
5. Функция ограничена снизу, т.е. у ≥ 0
6. Функция определенной четности не имеет
7. Область значений – множество неотрицательных чисел
Функция у =
1. Область определения – множество всех чисел
2. График специального названия не имеет
3. График проходит через начало координат
4. Функция убывает на промежутке (– ∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞)
5. Функция ограничена снизу, т.е. у ≥ 0
6. Функция четная
7. Область значений – множество неотрицательных чисел
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 94; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!