Прямоугольный параллелепипед.

1) рассмотреть модель прямоугольного параллелепипеда;

2) рассмотреть этапы изображения прямоугольного параллелепипеда;

3) рассмотреть свойства его граней, двугранных углов, диагоналей.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, L ∈ A1B1, L - середина A1B1, М ∈ AD, М - середина AD; К ∈ АВ, К - середина АВ (рис. 5).

Построить: 1) сечение LKM; 2) Каким многоугольником является сечение.

Построение:

1) LKM ∩ А1АВ = L.

2) LKM ∩ ABC = М.

3) Грани ABC параллельны А1В1С1, значит, отрезки сечения параллельны.

4) Строим LN || KM.

5) KLNM - параллелограмм.

Ответьте на вопросы:

- Что называется параллелепипедом?

- Грани, вершины, противоположные вершины, противоположные ребра, диагональ параллелепипеда.

- Свойства параллелепипеда.

1) Определение прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

2) Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники.

Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

Самостоятельно доказать свойство.

3) Понятия измерений прямоугольного параллелепипеда.

4) Теорема:

Доказательство изучить самостоятельно.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед.

Доказать:

Доказательство: так как СС1 ⊥ ABCD ⇒ ∠ACC1 - прямой из прямоугольника ΔАСС1: по теореме Пифагора АС - диагональ прямоугольникаABCD, поэтому следовательно, теорема доказана.

Следствие: диагонали параллелепипеда равны.

Предложить назвать все диагонали:

Решение задач.

№ 187 в. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = √39 ; AD = 7; АА1 = 9.

Найти: АС1.

Решение: (Ответ: 13.)

№ 190 в. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; К - середина A1D1 (рис. 6).

Найти: Двугранный угол А1ВВ1К.

Решение: Плоскости значит, значит, (по определению перпендикулярной прямой и плоскости); ∠А1В1К — линейный угол двугранного угла КВ1ВА из прямоугольного ΔА1В1К; ∠A1 - прямой, (К - середина A1D1 - по условию); А1В1 = а — все ребра у куба равны; (Ответ: )

№ 193. Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. D1B = d; AC = m; AB = n (рис. 7).

Найти: расстояние между прямой DD1 и плоскостью АСС1.

Решение: DD1 || АА1С1 (так как DD1 || АА1, признак параллельности прямой и плоскости). Проведем

(Ответ: )

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; ОМ ⊥ DC; B1D = d.

Найти: O1М.

Решение: обозначим AD = х, тогда ; по теореме; ; по теореме Пифагора (Ответ: )

№ 187 б Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 8; ВС = 9; AA1 = 12 (рис. 9).

Найти: АС1.

Решение: По теореме (Ответ: 17.)

№ 193 а. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = n, BD = d, BD = m (рис. 10).

Найти: АА1.

Решение: расстояние между плоскостями равно АА1 по свойству прямоугольника BD = АС = m, из прямоугольного ΔBD1D по теореме Пифагора (Ответ: )

19 занятие Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная.

Дано: ОА

α, ОА = OD. Доказать, что AB = DB. ВО – медиана и высота в Δ ABD

D ABD – равнобедренный

AB = DB.

Как проверить перпендикулярность данной прямой к данной плоскости? Исходя из определения, необходимо проверить перпендикулярность данной прямой по отношению к любой прямой, лежащей в плоскости. Но таких прямых – бесконечно много. Сколько достаточно взять, чтобы ответить на данный вопрос?

Начнем с наименьшего количества прямых. Возьмем одну прямую, лежащую в плоскости. (Видно, что одной прямой недостаточно.

Возьмем две прямые. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися. Что вы замечаете? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак формулируется. Записываются условия и требования. Что надо доказать, чтобы утверждать, что прямая а перпендикулярна плоскостиα? (Что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.)

№ 127.

Дано: Δ АВС,

А +

В = 90°, BD (АВС). Доказать, что CD

АС.

Доказательство

1. А + В = 90° С = 90°.

№ 128.

Дано: ABCD – параллелограмм, АМ = МС, ВМ = МD. Доказать, что МО

(АВС).

Доказательство

Ответить на вопрос:

ü Как расположены плоскости верхней и нижней граней по отношению к боковым ребрам?

ü Что можно сказать о двух (трех, четырех) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?

ü Верно ли утверждение: «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны»?

Задача 1. Дано: AD

(АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6. Определите вид Δ АСВ. Найдите DC и DB. AD – перпендикуляр к плоскости, DC – наклонная, AC – проекция этой наклонной на плоскость (АВС).

По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через основание наклонной – точку С.

Вы доказали, что и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ.

Сможем ли мы доказать это утверждение без метрических данных?

Задача 2. Дано: AD (АВС),

АСВ = 90°. Доказать, что: а) AD

CB; б) СВ

(ADC); в) СВ

CD. Какое утверждение вы доказали? Это утверждение получило название теоремы о трех перпендикулярах.

Учитель формулирует теорему о трех перпендикулярах. Доказывает её вместе с учащимися.

Сформулируйте обратную теорему, докажите ее (№ 153).

№ 150

Дано: ABCD – прямоугольник, АK

(АВС), KD = 6 см, KВ = 7 см, KС = 9 см. Найдите ρ(K, (АВС)), ρ (АK, CD).

1. ρ (K, (АВС)) = АK.

3. Δ KВС – прямоугольный. CB = см.

4. Δ AKD – прямоугольный. AK = = 2 см.

5. ρ(А K, CD) = А D; AD = 4 см.

	Задача 3. Дано: Е (ABCD). ABCD – прямоугольник. ВЕ АВ, ЕА АD. Доказать, что AD BE. Найти S_EBD, если BD = 7 см, ED = 25 см.
	Задача 4. Дано: ABCD – тетраэдр, Δ АВС – правильный, DO (АВС). Доказать, что АВ DC. Доказательство 1. АВ ^ (DMC), так как АВ MD, АВ МС.

	Задача 5. Дано: ABCD – тетраэдр, DAC = DAB, АВ = АС. Найдите (AD, ВС).
	Задача 6 Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед. Все грани – равные ромбы. С₁СВ = С₁СD. Найдите (С₁С, ВD), (А₁С, ВD).

1. Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости»?

2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

3. Как расположены по отношению друг к другу ребра, выходящие из одной вершины куба?

4. Как расположены плоскости верхней и нижней граней по отношению к боковым ребрам?

5. Что можно сказать о двух (трех, четырех) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?

6. Верно ли утверждение: «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны»?

Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (Как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.) Вспомнить, как называются отрезки АМ, МН. Определить расстояние от точки до плоскости (п. 19).

№ 143.

Дано: Δ АВС – правильный, АВ = 6 см, М

(АВС), АМ = ВМ = СМ = 4 см. Найдите расстояние от М до (АВС). Опустим перпендикуляр МО к плоскости (АВС). 1. МО

(АВС).

2.Δ АОМ = Δ ВОМ = Δ СОМ (как прямоугольные по гипотенузе и катету) АО = ВО = СО, то есть О – центр описанной около Δ АВС окружности.

3. R = , R = см.

4. Δ МОС – прямоугольный, МО = = 2 см.

Докажите, что любая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной около него окружности, равноудалена от всех его вершин. (Для доказательства можно использовать тот же рисунок.)

Верно ли утверждение: «Любая точка прямой, проходящей через центр описанной около многоугольника окружности перпендикулярно к плоскости этого многоугольника, равноудалена от всех его вершин»

Дополнительные задачи

1. ABCD – квадрат. Отрезок MD перпендикулярен к плоскости АВС. Докажите, что MB АС.

2. ABCD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости АВС. ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и найдите АЕ.

3. Точка А принадлежит окружности, АK – перпендикуляр к ее плоскости, АK = 1 см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник KСВ прямоугольный, и найдите KС.

Домашнее задание:

1. Через катеты BD и BC прямоугольных треугольников ABD и ABC проведена плоскость α, не содержащая их общий катет. Будет ли АВ α?

2. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР = 4 см, НK = 5 см, МЕ = 12 см.

Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!