Пример вычисления ср. ар. по групповым средним
Лекция 6. Средние величины
1. Средние величины и их показатели. Среднее арифметическое
2. Медиана
3. Мода
Построение вариационного ряда явл. только первым шагом в изучении стат. данных. Для более глубокого исследования материала нужны обобщающие количественные показатели, вскрывающие общие свойства совокупности.
Эти показатели:
а) дают общую картину, показывают тенденцию развития процесса или явления, нивелируют случайные индивидуальные отклонения;
б) позволяют сравнивать вариационные ряды;
в) используются во всех разделах мат. статистики при более полном и сложном мат. анализе совокупности.
Есть две группы характеристик вариационного ряда:
1) Меры уровня. или средние;
2) меры рассеяния.
Остановимся на мерах уровня.
Уровень ряда – среднее значение признака, вокруг которого варьируют остальные значения. Средняя явл. обобщающей характеристикой совокупности (средняя з/плата, средняя урожайность. средняя успеваемость).
Вместе с тем. Англ. статистик Дж. Рейхман сказал: "Каждый понимает, что такое средние, до тех пор, пока не начнет применять их".
Средняя нескольких величин является результатом действий, выполненных по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная). либо новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя). Это определение отражает мат. процедуру определения средней, но не ее сущность
|
|
|
Статистическая средняя (эмпирическая) – количественная характеристика объективного свойства совокупности, определяемого в абстрактной модели основными причинами.
Наиболее употребительными в стат. исследованиях явл. 3 вида средних:
- средняя арифметическая;
- мода;
- медиана.
Известны давно методы средних историкам, но применяются редко. Они позволяют упростить процесс исследования и расширить круг решаемых истор. задач. Каждая средняя (гармоническая, геометрическая, квадратическая, описательные – мода, медиана) употребляются в зависимости от структуры конкретного источника. Средние величины могут быть вычислены для колич. признаков.
Каждая средняя имеет свои формулы вычисления. но ко всем средним предъявляются общие требования, выполнение которых влечет за собой достоверность окончательных результатов.
Общие требования к средней
Средняя представляет собой количественную характеристику качественно однородной совокупности. Соединение крупных и мелких предприятий одной области – затушевывает кардинальные различия. Средний доход в месяц всего населения, без различия профес. групп.
|
|
|
Средняя не должна быть слишком абстрактной, а должна иметь ясный смысл в решении задачи..
При выборе средней желательно свести к минимуму влияние случайных колебаний выборки
Наиболее простой распространенной мерой уровня явл. средняя арифметическая. Определяется как частное от деления суммы всех значений признака на число наблюдений. Используется в 2х видах – простая средняя арифметическая и средняя взвешенная.
Среднее арифметическое обозначается через х и определяется по формуле:
- х1 + x2 + X 3…+ X k Σ Xi-
х = ------------------------ = ---------,
N n
N - число наблюдений
Среднее арифм. дискретного ряда – абстрактное число. Определяют для ряда, в котором признаки не сгруппированы
Табл. 4.1. – стат. методы, с. 50-51
Вычисление простого среднего арифметического
| номер рабочего | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | n= 10 |
| квалифик. разряд | 4 | 5 | 5 | 6 | 5 | 3 | 5 | 6 | 6 | 4 | Σ Xi = 49 |
Взвешенное среднее арифметическое вариационного ряда вычисляется для группировок, в которых отдельные значения признаков сведены по частоте повторения.
|
|
|
Равно сумме произведений каждого значения признака на его вес (частоту), разделенный на сумму весов (частот).
- х 1 n1+ x2 n2 +X 3 n 3 …+X k k Σ Xi n i
х = ------------------------------------- = ------------
n1 + n2+ n 3 +… n k Σ n i
где - n i – веса (частоты) значений признака
Пример. Ковальченко. с. 80, табл.1
Славко, с. 49, табл.
При определении среднего взвешенного интервального ряда, т.е. группировки, в основу которой положен признак, имеющий интервальную градацию, в качестве переменной (х) берется серединное значение интервала.
Средние значения интервалов равны полусумме их крайних значений
Славко, с. 50. т. 10
Вычисление средней землеобеспеченности одного работника.
Свойство среднеарифметического –
среднее арифметическое всей совокупности равно среднему арифметическому, взвешенному по групповым средних
Пример вычисления ср. ар. по групповым средним
| категория трудящ. | средний недельн. бюджет свобод ного времени, час. х1 | число трудящихся n i | произведение групповой сред-ней на ее вес (частоту) Xi n i |
| Рабочие | 30,64 | 151 | 4626.64 |
| ИТР | 38,40 | 16 | 614,40 |
| Служащие | 32,29 101, 33 | 5 Σ n i = 172 | 161,45 Σ Xi n i = 5402,49 |
|
|
|
Σ Xi n i 5402,49
х = ------------ = ------------ = 31,41 час.
Σ n i 172
2. Медиана (М е)- значение варьирующего признака, которое приходится на середину вариационного ряда.
При нахождении медианы дискретного ряда возникнуть могут 2 случая:
1) число вариант нечетное К = 2м+ 1
2) число вариант четное К = 2м
1) М е= х m+1. т.е. медиана равна центральной (срединной) варианте ряда.
2) М е=( х m+1 + х m) / 2,
т.е медиана равна полусумме находящихся в середине ряда вариант
Пример 1. Нечетное число.
| х1 | х 2 | х 3 | х 4 | х5 | х6 | х7 | х8 | х9 |
| 8 | 9 | 11 | 12 | 15 | 16 | 18 | 19 | 19 |
|
| ||||||||
К = 2м+ 1
9= 2м+1 , отсюда м = 4
М е= х m+1. = Х 4+1= х5 = 15
число вариант четное К = 2м
медиана интервального ряда
Медиану можно использовать в тех случаях, когда изучаемая совокупность неоднородна
Важна при анализе асимметричных рядов, т. е. у рядов, где имеют большие частоты крайние или близкие к крайним значения вариант.
Медиану следует применять, если вычисление средней арифм. неправомерно вследствие неопределенности интервалов (первого и последнего, того и другого вместе).
Медиана меньше подвержена случайностям выборки, чем средняя арифметическая.
Мода – наиболее часто встречающееся значение признака. Модальное значение имеет наибольшую частоту.
В дискретном ряду найти просто.
В интервальном ряду модальным явл. класс с наибольшим числом наблюдений, значение моды находится в его пределах
_
n Mo - n
М о = x o + δ ----------------------------------
2 n Mo – n - + (-? ) n +
? Славко,с.51
формула 4.6 по стат. методам ,(с. 57.)
где x o - нижняя граница модального интервала,
δ - величина интервала
n- - частота интервала, предшествующего модальному
n Mo - частота модального класса
n+ - частота интервала, следующего за модальным.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!