Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между векторами, т.е.

∙ .

Учитывая, что | | cos j – есть проекция вектора на направление вектора , имеем . Аналогично,

Углом между векторами называется угол между их направлениями

Свойства скалярного произведения.

(переместительный закон).

(распределительный закон).

(сочетательный закон).

Если два ненулевых вектора заданы своими координатами

, то скалярное произведение этих двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

(1)

Тогда из (6.1) и (6.2) следует, что

(2)

При умножении вектора на число получается коллинеарный вектор.

Пусть , тогда

Признаком коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат:

(3)

Признак ортогональности двух векторов можно получить из (2)

Если ^ , то j =p/2, cosj=0

, т.е. x_a×x_b+ y_a×y_b+ z_a×z_b=0.

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов

=(3; 5; 1) и =(-1; 5; 2).

Используя формулу (2.8), получим

3(-1)+5×5+1×2=-3+25+2=24.

Пример. Найти угол между векторами

=(0; -1; +2) и =(1; -2; 3).

Получаем

4. Разложение вектора по ортам в пространстве R³

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат OXYZ в пространстве , и произвольный радиус вектор

М₃

О М₂

М₁

Из точки M конца радиуса-вектора проведём прямую, параллельную оси OZ до пересечения в точке P с плоскостью OXY. Обозначим через M₁и M₂ — соответственно, проекции точки P на оси OX и OY. Пусть M₃ – проекция точки M на ось OZ. Тогда будем иметь

Заменив векторы и равными им векторами и , получим

(4)

Равенство (4) показывает, что всякий вектор в R³ можно представить в виде суммы трёх векторов, лежащих на осях координат. От точки O в направлении каждой оси отложим по вектору длины, равной 1. Обозначим эти вектора через и , соответственно и назовём их ортами. Обозначим через x, y и z — проекции вектора на координатные оси OX, OY и OZ, соответственно. Так как векторы и лежат на одной оси OX, то = . Аналогично, = , = . Следовательно, равенство (4) может быть переписано в виде

(5)

Равенство (2.2) даёт разложение вектора по ортам . Вместо полной записи (2.2) часто пользуются сокращенной ={x, y, z }, где x, y, z — проекции вектора на координатные оси, которые будем называть координатами вектора .

Действия с векторами, заданными своими координатами

Рассмотрим действия с векторами, которые заданы своими координатами:

1) При сложении векторов их одноименные координаты складываются, т.е. если , то

2) При умножении вектора на число l необходимо умножить на это число все его координаты:

3) Рассмотрим скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

Пусть , найдём их скалярное произведение

Согласно свойствам (3) и (4), имеем

Так как — три взаимно перпендикулярных вектора, то

и, следовательно,

(6)

т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Простейшие задачи аналитической геометрии (длина вектора, расстояние между двумя точками в пространстве, угол между двумя векторами, направление вектора, деление отрезка в заданном отношении)

1) Длина вектора.Применяя формулу (2.3) при , имеем . С другой стороны . Отсюда получаем формулу для определения длины вектора

| | или (7)

2) Расстояние между двумя точками в пространстве. Рассмотрим следующую задачу. Даны две точки M и M . Найти расстояние между ними.

^О Y

Заметим, что вектор есть разность векторов

Таким образом, . Следовательно, . Применяя формулу (1.4), получим

Пример 6. Определить расстояние между точками и .

Решение. Воспользовавшись формулой (2.2), получим

3)Угол между двумя векторами. Рассмотрим задачу об определении угла между двумя векторами. Согласно определению скалярного произведения векторов, имеем: ∙ = | || | cosj, где j — угол между векторами и . Из этой формулы находим

(8)

Выражая числитель и знаменатель в проекциях, получим формулу для вычисления угла между двумя данными векторами

. (9)

4) Направление вектора. Пусть a, b и g — углы, образованные вектором с осями координат OX, OY и OZ соответственно. Имеем . Отсюда

Аналогично получим

; .

Величины cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами вектора . Имеет место очевидное равенство: .

5) Деление отрезка в заданном отношении. Пусть даны точки A( и B( . Будем говорить, что точка M(x,y,z) делит отрезок в заданном отношении l, если .

Требуется найти координаты точки M, делящей отрезок в отношении l.

По условию имеем . Обозначим через – радиус-вектор точки M, – радиус вектор точки A, – радиус вектор точки B. Замечая, что , а , перепишем (2.7) в виде .