Способ 4. Графический способ решения.
Способ 1. Решение по определению логарифма.
Логарифмом положительного числа х по основанию , называется показатель степени b, в которую надо возвести чтобы получить х.
loga х=b – это одно и тоже, что и a b = x
Если , то (где, a > 0, a ≠ 1,
Пример 1.
log2 (x+2) = 4
Воспользуемся определением логарифма
x+2 = 24
x+2 = 16
x = 16-2
x=14
Проверка: для проверки подставляем полученный корень только в подлогарифмические выражения (x+2)=14+2=16 >0, условие выполнено. Корень подходит.
Ответ: 14.
Пример 2.
log2 (x+1) + log2 (x+3) = 3
Здесь необходимо использовать свойства логарифмов: loga b + loga c = loga (b*c)
log2 (x+1)*(x+3) = 3
Воспользуемся определением логарифма
(x+1)*(x+3) = 23
(x+1)*(x+3) = 8
x2+x+3x+3=8
x2+4x-5=0
x1=1, x2=-5.
Проверка: для проверки подставляем полученные корни только в подлогарифмические выражения
Для первого корня x1=1:
(x+1)=1+1=2 >0
(x+3)=1+3=4 >0
Корень подходит.
Для второго корня x2=-5:
(x+1)=-5+1=-4 <0
(x+3)=-5+3=-2 <0
Корень не подходит, так как выражение меньше нуля.
Ответ: 1.
Пример 3.
log4 (x+6) - log4 (x) = 1
Здесь необходимо использовать свойства логарифмов: loga b - loga c = loga (b/c)
log4 (x+6)/x = 1
Воспользуемся определением логарифма
(x+6)/x = 41
(x+6)/x = 4
По свойству пропорции находим:
x+6=4x
x-4x=-6
-3x=-6
x=2
Проверка: для проверки подставляем полученные корни только в подлогарифмические выражения
(x+6)=2+6=8 >0
(x)=6 >0
Корень подходит.
Ответ: 2.
Способ 2. Решение по свойству логарифмов:
|
|
если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, то знаки логарифмов можно опустить. Т.е. если loga b = loga c , то b = c .
Если loga x1 = loga x2,
Если loga f(x) = loga g(x),
Пример 4.
log4 (x2) = log4 (2x-1)
x2 = (2x-1)
x2 – 2x+1=0
x=1
Проверка:
(x2)=12=1 >0
(2x-1)=2*1-1=1 >0
Корень подходит.
Ответ: 1.
Пример 5 .
log15 (2x2–4x+12) = log15 (x) + log15 (x+3)
Справа используем свойство логарифмов:
log15 (2x2–4x+12) = log15 (x*(x+3))
Опускаем логарифмы:
(2x2–4x+12) = (x*(x+3))
2x2–4x+12= x2+3x
2x2–4x+12– x2–3x=0
x2–7x+12=0
x1=3, x2=4.
Проверка: для проверки подставляем полученные корни только в подлогарифмические выражения
Для первого корня x1=3:
(2x2–4x+12)= 2*32–4*3+12=18 >0
(x)=3 >0
(x+3)=3+3=6 >0
Корень подходит.
Для второго корня x2=4:
(2x2–4x+12)= 2*42–4*4+12=28 >0
(x)=4 >0
(x+3)=4+3=7 >0
Корень подходит.
Ответ: 3,4.
Способ 3. Введение новой переменной.
Пример 6 .
log52 (x) + 4*log5 (x) – 5 = 0
Замена: log5 (x) = t, тогда
Возвращаем замену обратно для каждого из полученных корней:
log5 (x) = 1
Решаем уравнение по определению логарифма:
x = 51
x = 5
log5 (x) = -5
Решаем уравнение по определению логарифма:
x = 5-5
x = 1/3125
Проверка: для проверки подставляем полученные корни только в подлогарифмические выражения
Для первого корня x1=5:
(x)=5 >0
|
|
Корень подходит.
Для второго корня x2=1/3125:
(x)= 1/3125 >0
Корень подходит.
Ответ: ; 5.
Пример 7.
log3 (x) + logx (3) = 5/2
Замена: log3 (x) = t, тогда logx (3) = 1/t в силу свойств логарифма.
Тогда
t+1/t=5/2
(t2+1)/t=5/2
Псвойству пропорции:
2*(t2+1)=5*t
2t2+2=5t
2t2-5t+2=0
t1=2, t2=1/2.
Возвращаем замену обратно для каждого из полученных корней:
log3 (x) = 2
Решаем уравнение по определению логарифма:
x = 32
x = 9
log3 (x) = 1/2
Решаем уравнение по определению логарифма:
x = 31/2
Проверка: для проверки подставляем полученные корни только в подлогарифмические выражения
Для первого корня x1=9:
(x)=9 >0
Корень подходит.
Для второго корня x2=31/2:
(x)= 31/2>0
Корень подходит.
Ответ: 9, 31/2.
Способ 4. Графический способ решения.
Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.
Пример 8.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!