Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.
Пример 2.
Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.
(Чертеж к задаче сделать самим).
Доказательство.
Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.
Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b(по теореме 5).
Пример 3.
Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.
(Чертеж к задаче сделать самим).
Доказательство.
Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
Доказательство.
Докажем параллельность А1В1 и А2В2.
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2 (она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).
|
|
|
В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.
Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.
Верное решение:
Докажем параллельность А1В1 и А2В2.
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2 (она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).
В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.
Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.
№2.
Тип задания: выделение цветом.
Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.
|
|
|
Решение:
Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD - выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.
Ответ:
1) они параллельны
2) скрещиваются
3) пересекаются
Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 1. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А1, В1 и С1, а другую в точках А2, В2, С2 (рис. 19). Докажите, что треугольники А1B1C1 и A2B2C2 подобны.
Рис. 19.
Доказательство:
Пусть данные три прямые пересекаются в точке S.
По свойству 1, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Плоскости А1B1C1 и A2B2C2 параллельны и пересечены плоскостью SА1B1. Значит, линии пересечения А1B1 иА2В2 параллельны. Аналогично, плоскость SВ1С1 рассекает плоскости А1B1C1 и A2B2C2 по параллельным прямым В1С1 и В2С2. А плоскость SА1С1 рассекает плоскости А1B1C1иA2B2C2 по параллельным прямым А1С1 и А2С2.
Способ.
Углы А и А1 равны как углы с сонаправленными сторонами. Углы С и С1 также равны как углы с сонаправленными сторонами. Значит, треугольники А1B1C1 и A2B2C2 подобны по двум углам.
|
|
|
Способ.
Треугольники SА1B1 и SА2B2 подобны, так как прямые А1B1 иА2В2 параллельны. Треугольники SС1B1 и SС2B2 подобны, так как прямые С1B1 иС2В2 параллельны. Треугольники SА1С1 и SА2С2 подобны, так как прямые А1С1 иА2С2 параллельны. Из подобия следует:
Из пропорциональности трех сторон вытекает подобие треугольников SА1B1 и SА2B2.
Задача 2. Параллельные отрезки А1А2, В1B2, C1C2 заключены между параллельными плоскостями 
и 
(рис. 20).
а) Определите вид четырехугольника А1В1В2А2, С1В1В2С2, А1С1С2А2.
б) Докажите, что треугольники А1B1C1 и A2B2C2 равны.
Рис. 20.
Решение:
а) Прямые А1А2, В1B2 параллельны по условию. А1А2 = В1B2 по свойству 2 параллельных плоскостей. В четырехугольнике А1В1В2А2 противоположные стороны параллельны и равны, значит, А1В1В2А2 – параллелограмм. Аналогично доказывается, что четырехугольники С1В1В2С2, А1С1С2А2 – параллелограммы.
б) А1В1 = А2В2, B1C1 = B2C2, А1C1 = A2C2 (как противоположные стороны параллелограммов). Значит, треугольники А1B1C1 и A2B2C2 равны по трем сторонам.
Задача 3. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.
Рис. 21.
Доказательство:
Пусть АВ = x, AC1 = d, AA1 = z, AD = y. Из любой вершины исходят три ребра, сумма длин которых равна x + y + z. Воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольник АСС1. АС1 < AC + CC1, d < z + AC.
|
|
|
Из треугольника АВС имеем: АС < AB + BC = AB + AD= x + y. Значит, d < z + x + y, что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!