Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: еслиa∥bиb∥c,тоa∥c.

Пример:

одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма ABCD сторона AD пересекает плоскость α в точке K.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.

2. Параллельность прямой и плоскости

Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит (находится) в плоскости;

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);

3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причём A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Обрати внимание!

Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема 6.
Если плоскость β проходит через данную прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b∥a.

Обрати внимание!

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Теорема 7.
Если одна из двух параллельных прямых a∥b параллельна данной плоскости α, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

№1.

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Найти: EF

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Ответ: EF=10

№2.

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

1. АВ=2 см

2. АВ=4 см

3. АВ=5 см

4. АВ=10 см

Решение: