Основные теоремы о пределах функции

ü Теорема о связи б/б и б/м функций

- Если φ(𝑥) – это б/м функция при ,

то =  – это б/б функция при .

 

- И наоборот, если  – б/б функция при

то φ(𝑥)=  – б/м функция при .

 

ü Теоремы о пределах

1.  (где С – постоянная).

 

2. Если , то:

 

3.

 

4.

 

5. Если

то

6. Функция не может иметь более 1 предела.

Пример 2.3 : найти .

 при  – это б/б ф., по теореме о связи б/б и б/м ф.:

 при  – это б/м ф. ⇒ по опр. .

 

ü Замечательные пределы.

Первый замечательный предел :

, разрешает неопределенность вида .

Второй замечательный предел (число е):

Пример:

1) *1=3;

2) ;

3) .

 

 

Вопрос 3. Непрерывность функции

 

Непрерывность функции в точке – одно из важных свойств, интуитивное представление о котором можно получить при построении графиков различных функций: через несколько найденных точек графика проведя сплошную линию. Возникает вопрос – правомерна ли операция проведения такой линии даже тогда, когда функция определена на всей числовой оси или во всех точках некоторого промежутка (а; b)? Существуют ли функции, графики которых не являются сплошными линиями на всей области определения или на некотором промежутке (а; b)? Ответ: да! Такие функции существуют.

Рассмотрим пример:

Возьмем свинцовый кубик, имеющий объем 1дм³, при 0°С, и равномерно нагреем его. Опыт показывает, что изменение объема кубика происходит следующим образом: при нагревании от 0° до 327°С его объем увеличивается от 1000 до 1030 см³ постепенно, без скачков, то есть объем принимает при этом промежуточные значения. При t=327° (точка плавления свинца) объем резко (скачком) возрастает до 1067 см³ и при дальнейшем нагревании от 327 до 500°С опять постепенно, из скачков, возрастает от 1067 до 1088 см³, находясь в жидком состоянии.

График изменения объема свинца в зависимости от температуры изображен на Рис. 3.1.

 Рис.3.1

 

Заметим, что 0°<t<327°C график является непрерывной сплошной кривой АВ, а при t=327°С происходит скачок от точки В(327;1030) до точки С(327; 1067). При 327°С<t<500°C график снова – непрерывная сплошная кривая СК.

Следовательно, график зависимости между температурой и объемом свинца – функция V=f(t), которая задана на отрезке [0°; 500°]. Она разрывная в точке 327°, хотя и определена в каждой точке отрезка.

 

Рассмотрим еще несколько графиков функций, изображенных на Рис.3.2 (а, б, в, г, д, е), то нетрудно выяснить причину их разрыва в определенных точках, в которых соответствующая функция – не определена.

 Рис. 3.2

 

Только функция f ( x )= x ² (Рис.3.2(а)) непрерывна в любой точке числовой оси.

 

1. Рассмотрим понятие непрерывности функции в точке

Для этого предположим, что функция у= f ( x ) определена во всех точках некоторого промежутка ( a ; b ). Пусть х₀ – внутренняя точка этого промежутка.

Функция  называется непрерывной в точке х₀ϵ(a ; b ), если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке х_0.

Следовательно, функция у= f ( x ) в точке х₀ будет непрерывной тогда и только тогда, если выполняются следующие условия:

1) функция у= f ( x ) определена в точке х₀, то есть существует число f ( x ₀ );

2) существует предел lim f (х) функции в точке х₀;

х→ x₀

3) предел функции равен значению функции в этой точке, то есть,

lim f(х) = f (х₀).

х→x₀

Все эти условия в целом – необходимые и достаточные для того, чтобы функция у= f ( x ) была непрерывной в точке х₀.

2. Рассмотрим понятие непрерывности функции на отрезке

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Пример3.1 :

Функция у =  , проверим условия непрерывности в точке 𝑥₀ =0.

1) у(0)=0

2)

3)  функция у=2  непрерывна в точке 𝑥₀=0.

---

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!