Принцип относительности Галилея
Лекция №1
Механика
Кинематика поступательного и вращательного движения
(Материальная точка, система отсчета, перемещение, скорость, ускорение, основная задача кинематики)
Кинематика - это раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения, то есть, в основном, геометрические свойства движения. Массы тел и действующие на них силы в кинематике не рассматриваются. В лекциях по кинематике рассмотрены три вопроса, необходимых для понимания физических основ механики: кинематика частицы, кинематика твердого тела и преобразование скорости и ускорения при переходе от одной системы отсчета к другой
Если размеры тела при описании его движения несущественны, то его движение можно рассматривать как движение материальной точки в пространстве. Это самая простая модель для описания реального тела. Так как в дальнейшем будут рассматриваться движения тела обладающего массой, но в пренебрежении ее размерами, внутренней структуры и формы, то введем в рассмотрение единый термин частица , понимая под ним материальную точку. Существует несколько способов описания движения частицы: векторный (геометрический) и координатный. Рассмотрим их последовательно.
Векторный способ . В этом способе положение интересующей нас частицы А задают радиусом-вектором , проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчетав точку А. Под системой отсчета в механике понимают совокупность: тело отсчета, способ измерения расстояний ("линейка") и способ измерения времени ("часы"). При движении частицы А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени t.
|
|
Рис. 1. Векторный способ описания движения частицы |
Геометрическое место точек, где тело побывало за время своего движения, называется траекторией частицыА. При векторном способе описания траекторией будет положение концов радиус-вектора во все моменты времени.
Введем понятие скорости частицы. Скорость характеризует быстроту движения частицы. Пусть за промежуток времени точка А переместилась из точки 1 в точку 2 (рис.1). Из рисунка видно, что вектор перемещения частицы А представляет собой приращение радиус-вектора за время (t : . Отношение называют средним вектором скорости< > за время (t. Вектор < > совпадает по направлению с . Определим теперь вектор скорости частицы в данный момент времени как предел отношения при t→ 0, т. е.
(1.1) |
Это значит, что вектор скорости частицы в данный момент времени равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения частицы А (как и вектор ). Модуль вектора равен
|
|
Заметим, что в общем случае модуль приращения радиус-вектора не равен изменению модуля радиус-вектора . Например, если меняется только по направлению при движении частицы по окружности, то но .
Движение частицы характеризуется также ускорением. Вектор ускорения определяет скорость изменения вектора скорости со временем:
, | (1.2) |
т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора совпадает с направлением вектора - приращением вектора за время dt. Модуль вектора определяется аналогично модулю вектора .
Таким образом, зная зависимость , можно найти скорость и ускорение частицы в каждый момент времени.
Возникает и обратная задача: можно ли найти и , зная зависимость от времени ускорения .
Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости недостаточно, так как необходимо еще знать начальные условия, а именно - скорость и радиус-вектор частицы в некоторый начальный момент . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простой случай, когда при движении ускорение частицы остается постоянным.
|
|
Определим сначала скорость частицы . Малое приращение скорости за интервал времени dt . Интегрируя это выражение по времени от t = 0 до t, определим конечное приращение вектора скорости за это время:
.
Но величина - это еще не искомая скорость . Для нахождения , необходимо знать скорость в начальный момент времени . Тогда , или
Аналогично вычисляется и радиус-вектор частицы. Малое приращение радиус-вектора за интервал времени dt . После интегрирования этого выражения с учетом определенной выше зависимости , определим приращение радиуса-вектора за время от t = 0 до t:
.
Для нахождения самого радиус-вектора необходимо знать положение частицы в начальный момент времени . Тогда ,
или
.
Координатный способ . В этом способе с телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор вида системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить математическое решение задачи. Для простоты рассмотрим декартову систему координат x,у,z. Изучение движений частицы в других координатах оставим для задач.
|
|
Запишем проекции радиус-вектора на оси координат. Вектор определяет положение интересующей нас частицы относительно начала координат О в момент t:
Закон движениячастицы - это зависимость координат от времени. Он задает положение частицы в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Cпроектировав вектор перемещения точки, например, на OX, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:
, | (1.3) |
где dx- проекция вектора перемещения на ось х,
(1.4) |
здесь - проекция вектора приращения скорости на ось х. Такие же соотношения получаются для у- и z-проекций соответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени.
Зависимости полностью определяют движение частицы. Зная их, можно найти не только положение частицы, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости определяется формулой
,
а направление вектора задается направляющими косинyсами по формулам:
(1.5) |
где a, β ,γ - углы между вектором и осями х, у, z соответственно. Направляющие косинусы всегда удовлетворяют соотношению . Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения .
С помощью закона движения можно найти траекторию частицы, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения частицы и т.д.
Нахождение скорости и закона движения частицы по заданному ускорению называется обратной задачей. Ее решение проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени). Задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты частицы в начальный момент времени.
Вернемся к определению ускорения частицы . Пусть частица движется понекой траектории Рис.2. Выразим скорость как
Рис.2
Здесь еτ является еденичным вектором (ортом) вдоль направления вектора скорости. Отсюда:
Первая часть нашего равенства характеризует изменение модуля скорости со временем и направлена вдоль вектора скорости эта часть носит название: линейное или тангенциальное ускорение.
Перейдем ко второй части равенства. Рассмотрим изменение единичного вектора еτ при его повороте за малый промежуток времени Dt Рис.3. Для этого совместим начало вектора еτ в первоначальный момент времени с началом этого вектора в момент времени через промежуток Dt . При этом вектор соединяющий конец первого вектора с концом второго вектора будет приращением (разностью) этих векторов Dеτ .
Рис.3
При малом повороте вектора еτ
При малых Dj
Отсюда исходное уравнение приобретает вид
Производная по времени от угла поворота есть угловая скорость. Представим угловую скорость в виде:
При малых углах Рис.4
Рис.4
Таким образом, мы установили связь между абсолютными значениями угловой и линейной скоростью.
Исходное выражение для ускорения точки может быть записано в окончательном виде:
В этом выражении первый член правой части является тангенциальным ускорением, которое направлено в сторону или навстречу движению точки. Второй член называется нормальным или центростремительным ускорением. Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно вектору скорости движения точки и направлено к центру кривизны траектории.
Полное ускорение направлено находится по правилу векторного сложения и является результирующим вектором векторов тангенциального и нормального ускорения. Его абсолютная величина определяется как:
Вернемся к рассмотрению вращательного движения, характеристиками которого является угол поворота тела и угловая скорость.
Угловая скорость, как и угол поворота, являются векторами (псевдо векторами) направление которых перпендикулярно плоскости вращения и совпадает с направлением вкручивания правого винта, если тот вращается в сторону рассматриваемого вращения.
Есть еще одна векторная характеристика вращательного движения, это угловое ускорение.
Направление этого вектора (псевдо вектора) совпадает или противоположно вектору угловой скорости в зависимости от того увеличивается или уменьшается угловая скорость объекта.
Равномерное вращение так же характеризуется периодом T (временем одного оборота тела) и частотой вращения n (количеством полных оборотов в единицу времени).
Период измеряется в секундах, частота - в обратных секундах, угол поворота - в радианах, угловая скорость - в радианах в секунду, угловое ускорение - в радианах в секунду за секунду.
Вернемся к выражению для углового ускорения, распишем его и получим связь между линейным и угловым ускорением
Основной задачей кинематики является нахождение положения движущейся матеоиальной точки, ее скорости, ускорения в любой интересующий нас момент времени.
Пусть известен вид функции, выражающей зависимость координат точки от времени
x = f 1 ( t ), y = f 2 ( t ), z = f 3 ( t ). Тогда подставляя значение времени в эти выражения, получим координаты точкив интересующий момент времени. Продифференцировав по времени и продифференцировав дважды по времени функции определяющие координаты точки, получим соответственно значение компонент скорости и ускорения точки.
Возможно так же и обратная задача: по функциям выражающим временную зависимость компонент ускорения от времени найти компоненты скорости и координаты точки в интересующий момент времени. Эта задача решается совершением обратной операции интегрированием. Однократное интегрирование дает значение компонент скорости, двукратное дает значение координат точки.
Так как интегрирование определяет функцию с точностью до произвольной постоянной величины. Для решения поставленной задачи должны быть заданы начальные условия определяемые из дополнительных соображений.
Начальные условия это параметры механического состояния заданные в определенный момент времени. Обычно удобен для этих случаев начальный момент, когда t = 0 .
Принцип относительности Галилея
Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относительности Галилея, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу . Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми "внутри" данной инерциальной системы, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется. Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы также и все законы механики.
Это утверждение - один из важнейших принципов классической механики. Оно является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений классической механики к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света.
Все сказанное ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться при изучении механических явлений.
Выведем формулы преобразования координат при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, опираясь на одинаковость свойств пространства и времени во всех системах отсчета и их независимость друг от друга. Пусть инерциальная система К движется со скоростью относительно другой инерциальной системы К. Выберем оси координат x, y,
Рис. 5. Преобразования Галилея |
z К'-системы параллельно соответствующим осям х, у, z К-системы, причем так, чтобы оси х' и х совпадали между собой и были направлены вдоль вектора (рис. 5).
Взяв за начало отсчета времени момент, когда начала координат О' и О совпадали, запишем соотношение между радиус-векторами и одной и той же точки А в К - и К'-системах:
(1.6) |
и, кроме того,
. | (1.7) |
Здесь использована одинаковость в обеих системах отсчета длин отрезков и хода времени, не зависящих от состояния движения.
Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой основе представлений классической механики, представлений, основанных на обширном экспериментальном материале, относящемся к изучению движений со скоростями, значительно меньшими скорости света.
Соотношения (1.6) и (1.7) представляют собой так называемые преобразования Галилея. В координатах эти преобразования имеют вид:
(1.8) |
Продифференцировав (1.6) по времени, найдем классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:
(1.9) |
Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что , получаем , т. е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Масса во всех и системах отсчета постулируется неизменной, так же легко показать, что и размеры предметов при переходе из системы в систему не претерпевают изменения, следовательно и все оснавные законы механики при в разных инерциальных системах отсчета будут неизменны.
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!