Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.
Лекция № 2 Степенные ряды. Интервал сходимости.
Глава 2. Функциональные ряды.
Основные понятия.
Определение 6. Ряд вида
где – функция от x, называется функциональным рядом.
Придавая определённое значение , получим числовой ряд
который может, как сходится, так и расходится.
Точка называется точкой сходимости функционального ряда (18), если числовой ряд (19) сходится.
Точка называется точкой расходимости функционального ряда (18), если числовой ряд (19) расходится.
Совокупность значений аргумента x , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Совокупность значений аргумента x , при которых функциональный ряд расходится, называется его областью расходимости.
В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х.
Составим n -ю частичную сумму функционального ряда в области сходимости:
.
Если ряд сходится при некотором значении , то
где функция – сумма функционального ряда (18).
Остатком ряда называется выражение вида:
(21)
В области сходимости ряда для всех x выполняется равенство:
Равномерная сходимость ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов
Определение 7. Функциональный ряд
называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд
с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения
|
|
(23)
Пример 23. Ряд
мажорируемый на всей числовой оси , так как для всех значений х выполняется неравенство
Обобщённый гармонический ряд с показателем степени сходится.
Теорема 10. Признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)
Пусть функциональный ряд
мажорируем на отрезке : . Знакоположительный числовой ряд
сходится. Пусть – сумма функционального ряда, – сумма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа найдётся положительное число N такое, что при всех выполнятся неравенство , при любом .
Определение 7. Функциональный ряд
называется равномерно сходящимся рядом на отрезке , если для любого как угодно малого числа найдётся такой номер N, что при всех будет выполняться неравенство , для любого .
Свойства равномерно сходящихся рядов
1. Если члены равномерно сходящегося на отрезке функционального ряда непрерывны, то его сумма также непрерывна на отрезке .
2. Если члены равномерно сходящегося на отрезке функционального ряда непрерывны, то ряд интегралов
где , сходится равномерно на отрезке и имеет суммой функцию
|
|
3. Пусть функциональный ряд сходится на отрезке и его члены имеют непрерывные производные. Тогда ряд, полученный после почленного дифференцирования, сходится равномерно на отрезке и его сумма равна производной от суммы данного ряда:
Иначе говоря, равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать.
Пример 24. Доказать равномерную сходимость функционального ряда на всей числовой оси.
Рассмотрим общий член ряда . Функция ограниченная: , тогда , при всех значениях n. Числовой ряд сходится, как убывающая геометрическая последовательность. Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно.
Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.
Частным случаем функциональных рядов является степенной ряд, который имеет большое значение в математике и её приложениях.
Определение 7. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где – коэффициенты ряда, постоянные числа, общий член ряда .
Ряд (24) расположен по степеням . Рассматривают ряд и по степеням :
где некоторое постоянное число. При получим ряд (24).
Если дан степенной ряд, по возникает вопрос: при каких значениях ряд сходится или расходится. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.
|
|
Теорема 11. (теорема Н. Абеля)
Если степенной ряд (24) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .
Если степенной ряд (24) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .
Из теоремы Абеля следует, что если точка – точка сходимости степенного ряда, то – интервал сходимости. Число называется радиусом сходимости.
Если точка – точка расходимости степенного ряда, то – интервал расходимости.
Для нахождения интервала и радиуса сходимости степенного ряда (24) (или (25)) составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда. К составленному знакоположительному ряду применим признак Даламбера.
Допустим, что существует предел:
Если ряд сходится, то
Выразим х
Радиус абсолютной сходимости степенного ряда (24):
Аналогично, применяя радикальный признак Коши, имеем:
Радиус абсолютной сходимости степенного ряда (24):
Замечания.
1. Если , то , степенной ряд сходится на всей числовой оси.
2. Если , то , степенной ряд (24) сходится в точке .
3. Интервал сходимости степенного ряда (25) находится из условия: или .
|
|
4. В каждом случае необходимо проверять сходимость степенного ряда на концах интервала.
Свойства степенных рядов.
1. Сумма степенного ряда (24) является непрерывной функцией в интервале сходимости .
2. Степенные ряды и , с радиусами сходимости и соответственно, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости полученных рядов .
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать.
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости .
Интервал сходимости полученных рядов в пунктах 3 и 4 остаётся тем же.
Пример 25.
Найти интервал сходимости степенного ряда:
Применим признак Даламбера:
Предел отношения:
Получили , тогда интервал сходимости . Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При получим числовой ряд , он расходится, как гармонический ряд.
При получим числовой ряд , он сходится условно по признаку Лейбница.
Интервал сходимости степенного ряда: .
Пример 26.
Найти интервал сходимости степенного ряда:
Общий член ряда . Применим радикальный признак Коши:
Раскроем модуль: . Получаем интервал сходимости . Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.
Проверим сходимость ряда на концах интервала.
При получим ряд . Числовой ряд расходится, не выполнен необходимый признак сходимости.
При получим ряд . Знакопеременный числовой ряд расходится, не выполнен необходимый признак сходимости.
На концах степенной ряд расходится. Интервал сходимости .
Пример 27. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:
Общий член ряда , коэффициент . По радикальному признаку Коши радиус равен:
Следовательно, степенной ряд сходится в одной точке .
Пример 28. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:
Общий член ряда , коэффициент , . По признаку Даламбера имеем:
Радиус сходимости , интервал сходимости , или . Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.
Проверим сходимость ряда на концах интервала.
При получим ряд . Числовой ряд расходится как аналог гармонического ряда.
При получим ряд . Знакопеременный числовой ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Интервал сходимости .
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!