Знайти закон розподілу випадкової величини х.
Лабораторна робота № 5
Тема: Закони розподілу та числові характеристики дискретних випадкових величин.
Мета роботи: Вивчення основних законів розподілу дискретних випадкових величин та застосування табличного процесору Microsoft Excel для розв'язування задач теорії ймовірностей з використанням цих законів.
Теоретичні відомості
Випадкова величина — це величина, яка в результаті випробування набуде одне (певне) значення з можливих, яке наперед невідоме, бо залежить від випадкових причин, що не можуть бути враховані.
Випадкові величини поділяють на дискретні та неперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, яка набирає лише певні (конкретні) можливі значення з певними ймовірностями. Можливі значення дискретної випадкової величини складають скінчену або зліченну множину.
Законом розподілу випадкової величини називають відповідність між значеннями випадкових величин та їх ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають однозначну відповідність між можливими значеннями випадкової величини 
та їх ймовірностями 
. Цю відповідність часто подають у вигляді таблиці (ряду розподілу) (табл. 3.1). Ряд розподілу складається з двох рядочків: у верхньому перелічені всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а в нижньому — відповідні ймовірності:
|
|
|
Таблиця 3.1
| 
| 
| 
| 
|
| 
|
| 
| 
|
| 
|
| 
|
Завжди виконується рівність 
— умова нормування ймовірностей для дискретної випадкової величини.
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна представити графічно. У прямокутній системі координат будують точки 
, 
… 
й сусідні точки сполучають відрізками прямих. Одержану фігуру називають многокутником розподілу.
Універсальним способом задання випадкової величини, придатним для всіх типів випадкових величин (як неперервних так і дискретних), є інтегральна функція розподілу (функція розподілу) .
Функцією розподілу випадкової величини (інтегральною функцією розподілу випадкової величини) називають функцію 
, яка визначає для довільного 
ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого за :
.
Розглянемо деякі найважливіші закони розподілу дискретної випадкової величини.
Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії ймовірностей посідають такі, які набувають лише цілих невід’ємних значень 
.
Ці випадкові величини називають цілочисловими.
|
|
|
1. Біномний закон розподілу. Цілочислова випадкова величина Х має біномний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі.
. (3.1)
2. Закон розподілу Пуассона. Цілочислова випадкова величина має закон розподілу Пуассона, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Пуассона
, (3.2)
де 
.
(Розподілу Пуассона визначає ймовірність того, що в серії з великої кількості 
рідкісних випробувань кількість успіхів набуває значення 
, — параметр розподілу.)
3. Геометричний закон розподілу. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
, (3.3)
де 
– ймовірність появи події А в кожному випробуванні, 
, Х = k – кількість випробувань до появи події А в серії незалежних повторних випробуваннях.
4. Гіпергеометричний закон розподілу. Цілочислова випадкова величина має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
|
|
|
. (3.4)
Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей відбувається за таких обставин: нехай в партії з 
виробів є 
стандартних 
. З партії вибираються 
виробів, причому відібраний виріб перед вибором наступного в партію не повертається. Випадкова величина — число 
стандартних деталей серед відібраних має гіпергеометричний закон розподілу.
Кожен закон розподілу випадкової., величини доповнюється кількісними показниками, які називають числовими характеристиками цього розподілу. Вони узагальнено характеризують випадкову величину. Найбільш часто використовують три числові характеристики: матема тичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення від математичного сподівання.
Математичне сподівання дискретної випадкової величини визначається як сума добутків можливих значень випадкової величини на відповідні ймовірності:
. (3.5)
Дисперсією випадкової величини X називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
|
|
|
. (3.6)
Формула для розрахунку дисперсії дискретної випадкової величини має такий вигляд:
. (3.7)
Робоча формула для обчислення дисперсії
. (3.8)
Числову характеристику закону розподілу випадкової величини
, (3.9)
називають середньоквадратичним відхиленням, або стандартним відхиленням.
Справедливі формули для обчислення основних числових характеристик для основних законів розподілу ймовірностей.
Біномний закон розподілу: 
, 
, 
. (3.10)
Закон розподілу Пуассона: 
; 
; 
. (3.11)
Геометричний закон розподілу: 
; 
; 
. (3.12)
Гіпергеометричний закон розподілу:
; 
; . (3.14)
Приклад 3.1. За даним у табличній формі законом розподілу дискретної випадкової величини (табл. 3.2) побудувати функцію та її графік.
Таблиця 3.2
|
| -4 | -1 | 2 | 6 | 9 | 13 |
| 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
◄ 
| |
одержимо:
1) якщо 
, тоді 
;
2) якщо 
, тоді 
;
3) якщо 
;
4) якщо 
, тоді 
;
5) якщо, 
тоді 
;
6) якщо 
тоді
;
7) якщо 
;
Отже, функція розподілу має вигляд (3.15). Її графік зображено на рисунку 3.1.
(3.15)
Рис. 3.1
►
Приклад 2. По мішені проводяться чотири незалежні постріли. Ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,25. Скласти ряд розподілу випадкової величини — числа влучень в мішень та обчислити його основні числові характеристики. Визначити функцію розподілу та побудувати її графік.
◄ Випадкова величина — число попадань в мішень може приймати значення 0, 1, 2, 3, 4. Оскільки розглядувані випробування задовольняють схемі Бернуллі, то має біномний закон розподілу. У даному випадку 
, 
, 
.
Для складання ряду розподілу використаємо функцією Excel категорії «Статистические» БИНОМРАСП (число_успехов; число_испьтаний; вероятность_успеха; интегральная)при таких параметрах:
Число_успехов — 
— змінна величина, яка приймає значення: 0, 1, 2, 3, 4;
Число_испьтаний — 4 — число незалежних випробувань;
Вероятность_успеха — 0,25 —ймовірність успіху у кожному випробуванні;
Интегральная — 0 — для знаходження ймовірності випадкової події 
.
Відповідні ймовірності, знайдені за допомогою даної функції БИНОМРАСП, наведено в табл. 4.4
Таблиця 3.3
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Сума |
|
| 0,3164 | 0,4219 | 0,2109 | 0,0469 | 0,0039 | 1 |
В останньому стовпчику знайдена сума 
, для перевірки умови нормування.
Знайдемо основні числові характеристики розподілу даної випадкової величини: математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення.
Оскільки, у даному випадку, маємо справу з дискретною випадковою величиною, яка має біномний розподіл, то основні числові характеристики можна обчислити за формулами (3.10):
, 
, 
.
В згальному випадку математичне сподівання дискретної випадкової величини може обчислюється за формулою (3.5):
.
Для обчислення дисперсії скористаємося формулою (7.4). Знайдемо 
. Звідси
. Середнє квадратичне відхилення обчислимо за формулою (9.4). 
.
Для функції розподілу випадкової величини скористаємось функцією БИНОМРАСП (число_ успехов; число_испьтаний; вероятность_успеха; интегральная)зпараметрами: Число_успехов — — змінна величина, яка приймає значення: 0, 1, 2, 3, 4; Число_испьтаний — 4 — число незалежних випробувань; Вероятность_успеха — 0,25 -ймовірність успіху кожного випробування; Интегральная — 1 — для знаходження функції розподілу .
Відповідні значення, знайдені за допомогою даної функції, наведено в табл. 3.4.
Таблиця 3.4
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
| 0,3164 | 0,7383 | 0,9492 | 0,9961 | 1 |
ЗауваженняПри використані функції БИНОМРАСП для побудови функції розподілу трібно врахувати, що “БИНОМРАСП” повертаєзначення 
, а не 
. Результат застосування табличного процесора Microsoft Excel для розв’язування прикладу 2 наведено на рисунку 3.2.
 |
Рис 3.2
Функція розподілу має вигляд (14.4), а її графік зображено на Рис 3.3:
 |
(14.4)
Рис 3.3 ►
Ймовірнісний многокутник (мно-гокутник розподілу ) зображено на рис 4.2. Для побудови діаграми використно команду “Диаграмма” (Вставка Þ Диаграмма Þ Точечная…) з відповідними параметрами.
Рис. 3.4
Приклад 3. Середнє число відвідувачів магазину на протязі 15-ти хвилинного інтервалу, дорівнює 2. Поява відвідувачів у магазині відбувається випадково і незалежно один від одного. Потрібно:
а) Скласти ряд розподілу числа відвідувачів магазину на протязі 15 хвилин і побудувати його графік.
б) Знайти числові характеристики цього розподілу.
в) Обчислити функцію розподілу числа відвідувачів магазину на протязі 15 хвилин.
г) Обчислити ймовірність того, що на протязі 15 хвилин число відвідувачів магазину виявиться менше 3 і не менше 3.
◄ Нехай випадкова величина — число відвідувачів магазину на протязі 15 хвилин. Дана дискретна випадкова величина може приймати значення X : 
, середнє значення, якої дорівнює 2. Отже, дана величина має закон розподілу Пуассона з 
і 
.
а) Для складання ряду розподілу скористаємось функцією Excel
ПУАССОН ( ; среднее; интегральная); при таких параметрах:
— — змінна величина, яка приймає значення: ;
среднее — 2 — середнє значення 
;
Интегральная — 0 — для знаходження ймовірності випадкової події 
.
Відповідні ймовірності, знайдені за допомогою даної функції, наведено в табл. 3.5, а відповідний графік наведено на рис. 3.5.
Таблиця 3.5
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0,1353 | 0,2707 | 0,2707 | 0,1804 | 0,0902 | 0,0361 | 0,0120 | 0,0034 | 0,0009 | 0,0002 |
а. Числові характеристики
обчислюються за формулами (11.4)
; 
.
Рис 3.5
б. Функцію розподілу можна обчислити за допомогою функції
ПУАССОН ( 
; среднее; интегральная); при значеннях параметрів “ ”та “среднее” як в завданні а);та “итегральная ”=1. Результати обчислень наведені в таблиці 3.6. (Врахувати зауваження в прикладі 1).
Таблиця 3.6
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|
| 0,1353 | 0,4060 | 0,6767 | 0,8571 | 0,9473 | 0,9834 | 0,9955 | 0,9989 | 0,9998 | 1,0000 |
в. . Ймовірність того, що на протязі 15 хвилин число відвідувачів магазину виявиться менше 3 можна обчислити за формулою 
, де числові дані взяті з таблиці 5.6. Цей самий результат можна одержати зразу, за допомогою таблиці 4.7 при 
. Ймовірність того, що на протязі 15 хвилин число відвідувачів магазину виявиться не менше 3, тобто 3 і більше, можна обчислити за формулою 
. ►
Приклад 4. Спортсмен стріляє зі спортивної рушниці по одній і тій самій мішені. Ймовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною сталою і дорівнює 0,8. Стрільба по мішені ведеться до першого влучення. Скласти таблицю розподілу, побудувати імовірнісний многокутник та визначити М(Х), D ( X ), 
дискретної випадкової величини — числа витрачених спортсменом набоїв.
◄ Випадкова величина є цілочисловою з геометрична законом розподілу ймовірностей. За умовою задачі: 
, 
. Розподіл випадкової величини X наведено в таблиці 3.7, де значення 
обчислюються за формулою (3.3). а імовірнісний многокутник — на рисунку 3.6.
Таблиця 3.7
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|
| 0,80000 | 0,16000 | 0,03200 | 0,00640 | 0,00128 | 0,00026 | 0,00005 | 0,00001 |
За формулами (12.4) будемо мати:
,
,
.
Рис.3.6 ►
Приклад 5. Серед дев’яти однотипних виробів п’ять відповідають стандарту, а решта — ні. Навмання береться 5 виробів. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини 
—появи числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити для цієї величини числові характеристики, якщо 
.
◄ У даному випадку випадкова величина задовольняє гіпергеометричному закону розподілу при 
, 
, 
і , що може приймати різні значення від 1 до 
.
Використаємо формулу (3.4) 
.
Якщо 
, де 
.
Для побудови функції розподілу скористаємося функцією пакету Exel. ГИПЕРГЕОМЕТ (Число_успехов_в_выборке; Размер_выборки; Число_успехов_в_совокупности; Размер_совокупности),
де Число_успехов_в_выборке — 
— змінна величина, яка приймає значення: 0, 1, 2, 3, 4;
Размер_выборки — — кількість навмання взятих виробів;
Число_успехов_в_совокупности — — кількість виробів, які сприяють події;
Размер_совокупности — — загальна кількість виробів.
На рисунку 3.7 наведено діалогове вікно функції ГИПЕРГЕОМЕТ.
Рис. 3.7
В таблиці 3.8 наведені гіпергеометричний закон, та числові характеристики закону, отримані в Excel
Таблиця 3.8
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Сума |
|
| 0,007937 | 0,15873 | 0,47619 | 0,31746 | 0,039683 | 1 |
| 0 | 0,15873 | 0,952381 | 0,952381 | 0,15873 |
|
| 0,039193 | 0,237115 | 0,023516 | 0,192044 | 0,125416 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічні результати можна одержати використовуючи формули (13.4):
; 
; 
.►
Завдання для самостійної роботи
1.Закон дискретної випадкової величини X – відсоткова зміна вартості акцій стосовно їх поточного курсу на протязі 4 місяців, заданий у табличній формі. Побудувати функцію розподілу F(x) і накреслити її графік. Обчислити s(x), Аs, Ек. Чому дорівнює 
?
| №1 | 
| 1 | 2 | 3 | 5 |
|
| 0,03 | 0,17 | 0,25 | 0,55 | |
| №2 |
| 1 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0,13 | 0,22 | 0,41 | 0,24 | |
| №3 |
| 1 | 3 | 5 | 7 |
|
| 0,17 | 0,21 | 0,32 | 0,30 | |
| №4 |
| 1 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0,12 | 0,19 | 0,43 | 0,26 | |
| №5 |
| 1 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0,14 | 0,23 | 0,33 | 0,30 | |
| №6 |
| 1 | 4 | 5 | 7 |
|
| 0,09 | 0,15 | 0,24 | 0,52 | |
| №7 |
| 1 | 2 | 3 | 7 |
|
| 0,52 | 0,11 | 0,08 | 0,29 | |
| №8 |
| 1 | 3 | 5 | 8 |
|
| 0,62 | 0,12 | 0,09 | 0,17 | |
| №9 |
| 1 | 2 | 6 | 8 |
|
| 0,73 | 0,12 | 0,07 | 0,08 | |
| №10 |
| 1 | 4 | 5 | 9 |
|
| 0,69 | 0,13 | 0,06 | 0,12 | |
| №11 |
| 1 | 3 | 4 | 10 |
|
| 0,72 | 0,14 | 0,06 | 0,08 | |
| №12 |
| 1 | 5 | 10 | 15 |
|
| 0,81 | 0,06 | 0,05 | 0,08 | |
| №13 |
| 1 | 2 | 4 | 6 |
|
| 0,75 | 0,15 | 0,04 | 0,06 | |
| №14 |
| 1 | 3 | 7 | 9 |
|
| 0,69 | 0,19 | 0,07 | 0,05 | |
| №15 |
| 1 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0,68 | 0,16 | 0,09 | 0,07 | |
| №16 |
| 1 | 2 | 6 | 9 |
|
| 0,59 | 0,28 | 0,07 | 0,06 | |
| №17 |
| 1 | 4 | 5 | 7 |
|
| 0,67 | 0,25 | 0,05 | 0,03 | |
| №18 |
| 1 | 2 | 5 | 9 |
|
| 0,66 | 0,26 | 0,07 | 0,01 | |
| №19 |
| 1 | 3 | 8 | 10 |
|
| 0,68 | 0,23 | 0,06 | 0,03 | |
| №20 |
| 1 | 4 | 7 | 10 |
|
| 0,58 | 0,29 | 0,08 | 0,05 | |
| №21 |
| 1 | 3 | 9 | 10 |
|
| 0,54 | 0,38 | 0,05 | 0,03 | |
| №22 |
| 1 | 2 | 4 | 9 |
|
| 0,59 | 0,32 | 0,07 | 0,02 | |
| №23 |
| 1 | 3 | 7 | 11 |
|
| 0,56 | 0,31 | 0,07 | 0,06 | |
| №24 |
| 1 | 4 | 5 | 7 |
|
| 0,51 | 0,39 | 0,06 | 0,04 | |
| №25 |
| 1 | 2 | 5 | 9 |
|
| 0,63 | 0,29 | 0,06 | 0,02 |
табл. 6.1
Знайти закон розподілу випадкової величини х.
1. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 
0,3; 
2,2; 
7,56;
2. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,2; 2,6; 0,64;
3. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,3; 3,1; 1,89;
4. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,4; 2,6; 0,24;
5. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,1; 1,6; 1,44;
6. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,2; 2; 4;
7. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,7; 3,3; 0,21;
8. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,8; 3,4; 0,64;
9. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,9; 4,1; 0,09;
10. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,1; 0,8; 0,36;
11. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,1; 1,7; 0,81;
12Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,2; 1,4; 1,44;
13. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,2; 2,6; 0,64;
14Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,2; 4,6; 7,84;
15. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,6; 1,4; 0,24;
16. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,6; 1,4; 0,24;
17. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,4; 2,2; 0,96;
18. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,4; 0,8; 2,16;
19. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,2; 4,4; 10,24;
20Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,5; 1; 9;
21 Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,5; 1; 4;
22 Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,6; 0,2; 2,16;
23. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,1; ;3,4 3,24;
24. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,3; 3,4; 0,84;
25. Знайти закон розподілу випадкової величини х, якщо вона може приймати тільки два значення і > і відомо, що 0,4; 1; 4,2;
3.Розвязати задачу
1. На вихід у чвертьфінал з футболу на кубок У ЕФА грає 16 команд, з яких 8 виходять у півфінал. Навмання вибирається три команди. Скласти закон розподілу випадково величини Х - кількості команд які вийдуть у півфінал з вибраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення ,моду.
.2.У партії з 6 деталей є 4 стандартних. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу ДВВ Х- числа стандартних деталей серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення ,моду.
.3.У обмінному пункті валюти 15% старих купюр. Навмання відібрано при обміні 3 купюри. Скласти біноміальний закон розподілу ДВВ X- числа старих купюр серед 3 відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
.4.Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність виходу з ладу елемента при одному включенні, дорівнює 0,13. Скласти закон розподілу числа елементів, які відмовили в одному включенні та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
.5.У лотереї "Спортлото" є 49 видів спорту. Навмання відмічено? видів спорту. Після того, як відправлено картку, проведено тираж 6 із 49. Якщо виявиться, що не менше 3 з них співпадає з тами, що занесені на картку, то є виграш Скласти ймовірність виграшу та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє крадратичне відхилення, моду.
.6.Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність виходу з ладу елемента при одному включенні дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, які відмовили в одному включенні та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
.7.У партії телевізорів 10% мають хиби в налаштуванні якості та контрастності. Навмання відбирається 4 телевізори . Скласти біноміальний закон розподілу ДВВ Х-числа неналаштованих телевізорів серед 4 відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
.8.Комплекс по виробництву деяких лікарських препаратів складається з 4 незалежно працюючих ліній. Ймовірність виходу з ладу кожної лінії протягом місяця дорівнює 0,05. Скласти закон розподілу числа ліній, ідо вийшли з ладу протягом місяця та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
9.Екзаменатор задає студент додаткові запитання Ймовірність того, що студент відповість на будь-яке задане питання, дорівнює 0,9. Викладач припиняє екзамен, як тільки студент не відповідає на запитання. Необхідно скласти біноміальний закон розподілу ДВВ Х - числа додаткових питань, які викладач задасть студенту та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
10.У комплекті є 6 коробок цукерок, з них 4 коробки з шоколадними цукерками. Навмання відібрано 3 коробки. Скласти закон розподілу числа коробок з шоколадними цукерками серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
11.При розіграші призів на іподромі біжать 8 коней з них 5, які можуть прийти першими до фінішу. Навмання вибирається 3 коні. Скласти закон розподілу числа коней, що прийдуть першими до фінішу серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
12.Проводиться турнір з міні футболу між командами країн СНГ в якому приймає участь 7 команд серед яких є 3 команди фаворити. Навмання відбирається 2 команди. Скласти закон розподілу числа команд, які можуть зайняти перші місця серед вибраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
13.У списку на посаду президента України внесено 15 осіб з яких 4 особи, які можуть вийти в друге коло голосування. Навмання вибирається дві особи. Скласти закон розподілу осіб, які можуть вийти в друге коло із вибраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
14.В урні с 12 кульок з них 8 чорних. Навмання виймаємо 3 кульки. Скласти закон розподілу чорних кульок серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
15.Пристрій складається з чотирьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента при одному включені дорівнює 5%. Скласти закон розподілу числа відмовлень елементів при одному включенні та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
16.У обмінному пункті валют 20% нових купюр. Навмання відібрані при обміні 4 купюри. Скласти закон розподілу ДВВ X- числа нових купюр серед 4 відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
17.Комплекс по виробництву соків складається з трьох незалежно працюючих ліній. Ймовірність виходу з ладу кожної лінії протягом місяця дорівнює 0,15. Скласти закон розподілу числа ліній, що вийшли з ладу протягом місяця та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
8.18.Ткаля обслуговує 1500 веретен. Ймовірність обриву нитки на одному веретені протягом однієї хвилини, дорівнює 0,002. Скласти ймовірність того, що протягом однієї хвилини обрив станеться на 4 веретенах та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
19.Імовірність враження вірусним захворюванням куща полуниці дорівнює 0,2.Скласти закон розподілу кількості кущів полуниці ,що заражені вірусом, з чотирьох посаджених кущів та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
20.Урекламних цілях торгівельна фірма запаковує у кожну десяту одиницю товару грошовий приз у розмірі 100 грн. Скласти закон розподілу ДВВ- розміру виграшу при п’яти зроблених покупках кущів та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
21 .Клієнти банку, не пов’язані один з іншим, не повертають кредити у певний термін з імовірністю 0,2.Скласти закон розподілу числа повернень у певний термін кредитів з п’яти виданих та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.
22. Стріляють у ціль до першого влучення. Влучення при різних пострілах — незалежні події, ймовірність влучення при кожному пострілі 
. Нехай випадкова величина — число зроблених пострілів. Знайти розподіл випадкової величини , математичне сподівання 
, 
та .
23. Побудувати ряд розподілу випадкової величини — кількості попадань м’ячем у кошик при двох киданнях, якщо ймовірність попадання дорівнює 0,4. Знати математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.
24. Під час виготовлення деталі робітникові необхідно виконати чотири незалежні між собою технологічні операції. Імовірність того, що при виконанні першої операції робітник не допустить дефекту, дорівнює 0,95; для другої, третьої і четвертої операцій ця ймовірність становить відповідно 0,9; 0,85; 0,8. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини — числа операції, під час виконання яких робітник не допустить браку.
25. Два гральних кубики одночасно підкидують двічі. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини — числа появ парного числа очок на двох кубиках. Обчислити , та .
26. На шляху руху автомобіля стоять п’ять світлофорів, кожний із яких з імовірністю 0,5 дозволяє або забороняє рух. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової — числа світлофорів, що їх автомобіль промине без затримки, та знайти , та .
27. Імовірність того, що футболіст реалізує одинадцятиметровий штрафний удар дорівнює 0,9. Футболіст виконав три такі удари. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа реалізованих штрафних. Обчислити , та .
28. Чотири прилади потрібно перевірити на надійність. Імовірність того, що прилад витримає перевірку на надійність, для кожного дорівнює 0,8. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х — числа приладів, які пройшли випробування.
29. В цеху можуть одночасно працювати три однотипних верстати, які вмикаються незалежно. Ймовірність того, що в даний момент працює перший, другий чи третій верстат дорівнює 0,2; 0,5; 0,3 відповідно. Записати ряд розподілу для дискретної випадкової величини — кількості одночасно працюючих верстатів та знайти , та .
Питання до захисту
1. Означення випадкової величини. Наведіть приклади.
2. Означення функції розподілу випадкової величини, її властивості.
3. Як знайти ймовірність улучення випадкової величини в заданий інтервал?
4. Означення моди, медіани випадкової величини.
5. Означення асиметрії, ексцесу.
6. Означення початкового і центрального моментів k-го порядку.
7. Біноміальний, рівномірний гіпергеометричний, геометричний розподіли.
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 83; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!