Первая интерполяционная формула Ньютона
Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).
Пусть функция y = f ( x ) задана своими значениями в n +1 узлах интерполирования, т.е.
y 1 = f ( x 1 ); y 2 = f ( x 2 ); … f ( xn +1 ); … f ( xn +1 ) = yn +1
h = xi+1-xi = const, n+1=m.
Требуется найти многочлен Pn ( x ) такой, чтобы
Pn(x1) = f(x1)
Pn(x2) = f(x2)
.
.
Pn(xn+1) = f(xn+1)
(6)
В этой формуле D n у1 означает конечную разность n-го порядка в точке у1. Понятие конечной разности связано с понятием производной. По определению производная
В нашем случае D х = xi +1 - xi = h и, как правило, не является бесконечно малой величиной.
D у1 = у2 – у1
D 2 у1 = D у2 – D у1 = у3 – 2у2 + у1
.
.
D n у1 = D ( D n -1 y 1 ).
Первая интерполяционная формула Ньютона не использует последнего узла интерполирования.
ПРИМЕР
Рассмотрим ту же задачу.
Количество экспериментальных точек m =3. Порядок1-й интерполяционной формулы Ньютона n=2.
Формула (6) для n=2 будет выглядеть следующим образом:
D у1 = у2 – у1
D 2 у1 = D у2 – D у1 = у3 – 2у2 + у1
h=4
или, подставив табличные значения, получим:
.
.
a0=-1,59375, a1=3,8125, a2=-0,21875.
При x=3 P 2 ( x )= 7,875.
Вторая интерполяционная формула Ньютона
(7)
Вторая формула Ньютона используется для интерполирования в конце таблицы, т.к. не рассматривает 1-го узла интерполирования (х1, у1).
ПРИМЕР
Рассмотрим ту же задачу.
|
|
Количество экспериментальных точек m =3. Порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютона n=2.
Формула (7) для n=2 будет выглядеть следующим образом:
D у2 = у3 – у2
D 2 у1 = D у2 – D у1 = у3 – 2у2 + у1
h=4
.
.
a0=-1,59375, a1=3,8125, a2=-0,21875.
При x=3 P 2 ( x )= 7,875.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулировать задачу интерполяции.
2. Сформулировать условие интерполирования.
3. Какие бывают методы интерполяции?
4. Что называют шагом и узлом интерполирования?
5. Что такое равностоящая и не равностоящая интерполяция?
6. Построить полином Лагранжа.
7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
9. Решить систему линейных уравнений методом обращения матриц.
10. Написать первую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.
11. Написать вторую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.
12. Рассчитать неизвестные коэффициенты степенного полинома, используя формулы Лагранжа и Ньютона.
5. Требования к отчету
Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, 2 схемы алгоритмов, 2 листинга программ, 2 распечатки результатов, анализ полученных результатов.
|
|
Библиографический список
Бахвалов Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 632 с.
Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ/ Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш. –2-е изд., стер. – М.: Мир, 2001.- 575 с.
Самохин А.Б. Численные методы и программирование на фортране для персонального компьютера/ А.Б. Самохин, А.С. Самохина. – М.: Радио и связь, 1996.- 224 с.
Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. шк, 1998. – 479 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Метод Крамера
Пусть имеется система уравнений 3-го порядка
, (8)
где, применительно к рассматриваемым примерам , ,
или в матричном виде
С A = Y
где C – матрица коэффициентов системы; A – вектор неизвестных; Y – вектор правых частей.
Согласно теореме Крамера решение может быть найдено из формулы:
, (9)
где C i – матрица C у которой i-й столбец заменен вектором свободных членов – вектором Y.
Т.е.
Найдем определители матриц С, С0,С1, С2.
|
|
,
,
.
Найдем a0, a1, a2.
, , .
Метод Гаусса
В основе метода Гаусса используются элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы с целью приведения ее к более простому виду (например, треугольному) решение которой не представляет труда. В качестве таких преобразований используются:
а) вычитание из одной строки другой, умноженной на константу, отличную от нуля;
б) перестановка строк;
в) умножение строки на число отличное от нуля.
Пусть имеется система линейных уравнений 3-го порядка:
,
и матрица коэффициентов системы не имеет нулевых диагональных элементов и ее определитель отличен от нуля. Тогда решение может быть получено следующим образом.
1. Разделим все элементы первой строки на с11 (включая y):
2. Исключим элементы первого столбца из второго и третьего уравнений системы (элементы c21 и c31). Для этого элементы первой строки умножим на c21 и c31, т.е. получим:
и
Затем из элементов второй и третьей строки вычтем соответствующие элементы полученных уравнений, т.е.
или
где
, , , , ,
, , , .
Вновь полученную вторую строку, разделим на
3. Исключим элемент из третьей строки. Для этого элементы второй строки умножим на
|
|
Затем из элементов третьей строки вычтем элементы полученного уравнения.
или
где , , ,
4. Из последнего уравнения находим a2, из второго a1 и из первого – a0.
Метод обращения матриц
Пусть имеется система линейных уравнений С A =Y
Если это уравнение умножить слева и справа на обратную матрицу C-1
C -1 × CA = C-1Y, то учитывая, что C-1 × C =Е получим A= C-1Y. E – единичная матрица.
Сложность этого метода заключается в нахождении С-1, которая рассчитывается следующим образом. Находится СТ, т.е., если
, то .
Затем рассчитывается матрица алгебраических дополнений:
,
где С i,j – алгебраические дополнения элементов С i,j ( ), которые находятся следующим образом
, , ,
, , ,
, , .
Знак “-” ставится перед определителем в том случае, если сумма индексов определителя является нечетным числом.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Номер варианта | Табличные зависимости
| Контрольная температура | Метод решения системы линейных уравнений | |||
i | 1 | 2 | 3 | |||
1.1 | ti,°С Ri,Oм | 32 85. | 70 92 | 100 98 | 38 | Гаусса |
1.2 | ti,°С Ri,Oм | 5 50 | 45 56.1 | 85 63.5 | 55.5 | Обращения матриц |
1.3 | ti,°С Ri,Oм | 5 100 | 25 105. | 45 111 | 25 | Крамера |
1.4 | ti,°С Ri,Oм | 5 80 | 35 103 | 75 112.3 | 72 | Обращения матриц |
1.5 | ti,°С Ri,Oм | 40 111 | 60 117 | 80 126 | 63 | Гаусса |
1.6 | ti,°С Ri,Oм | 5 50 | 45 61 | 85 69.1 | 68 | Обращения матриц |
1.7 | ti,°С Ri,Oм | 5 80 | 32 88 | 70 99.5 | 16 | Крамера |
1.8 | ti,°С Ri,Oм | 5 100 | 25 113 | 45 123 | 28 | Гаусса |
1.9 | ti,°С Ri,Oм | 20 106 | 60 116 | 100 142.5 | 88 | Крамера |
1.10 | ti,°С Ri,Oм | 5 50 | 35 56.1 | 75 63.5 | 23 | Обращения матриц |
1.11 | ti,°С Ri,Oм | 5 111 | 45 117 | 85 126 | 43 | Гаусса |
1.12 | ti,°С Ri,Oм | 2 50 | 25 61. | 45 99.1 | 34 | Крамера |
1.13 | ti,°С Ri,Oм | 40 100 | 60 113 | 80 123 | 74 | Крамера |
Окончание прил. 2
Номер варианта
| Табличные зависимости
| Контрольная температура | Метод решения системы линейных уравнений | |||
i | 1 | 2 | 3 | |||
2.1 | ti,°С Ri,Oм | 22 45. | 70 92 | 100 98 | 28 | Крамера |
2.2 | ti,°С Ri,Oм | 25 52 | 55 56.1 | 85 62.5 | 55.5 | Обращения матриц |
2.3 | ti,°С Ri,Oм | 4 1. | 14 10. | 24 101 | 5 | Гаусса |
2.4 | ti,°С Ri,Oм | 5 88 | 32 103 | 70 110. | 16 | Обращения матриц |
2.5 | ti,°С Ri,Oм | 40 113 | 60 115 | 80 126 | 63 | Гаусса |
2.6 | ti,°С Ri,Oм | 5 50 | 25 61 | 85 69.1 | 68 | Крамера |
2.7 | ti,°С Ri,Oм | 5 10 | 30 88 | 70 99.5 | 16 | Обращения матриц |
2.8 | ti,°С Ri,Oм | 15 100 | 35 103 | 55 113 | 28 | Гаусса |
2.9 | ti,°С Ri,Oм | 22 100 | 64 116 | 100 122.5 | 80 | Крамера |
2.10 | ti,°С Ri,Oм | 5 10 | 35 46.1 | 65 53.5 | 23 | Обращения матриц |
2.11 | ti,°С Ri,Oм | 25 11 | 65 14 | 105 106 | 40 | Крамера |
2.12 | ti,°С Ri,Oм | 2 5 | 25 6. | 45 9.1 | 7 | Гаусса |
2.13 | ti,°С Ri,Oм | 40 1 | 60 10 | 80 13 | 7 | Крамера |
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Номер варианта | Вещество | Табличные зависимости | Заданная температура | Метод интерполирования | ||||||
I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||
1.1 | Глицерин (50 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 0 1136 | 20 1126 | 40 1116 | 60 1102 | 80 1090 | - | 24 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.2 | NaOH (50 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 0 1540 | 20 1525 | 60 1497 | 80 1483 | 120 1454 | - | 36 | Полином Лагранжа |
1.3 | Сероугле-род | ti,°С r, кг/м3 | -20 1323 | 20 1263 | 60 1200 | 100 1125 | - | - | 53 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.4 | NaOH (30 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 20 1328 | 40 1316 | 60 1303 | 80 1289 | 100 1276 | - | 63 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.5 | Толуол | ti,°С r, кг/м3 | 0 884 | 20 866 | 40 847 | 60 828 | 80 808 | - | 42 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.6 | Фенол | ti,°С r, кг/м3 | 20 1075 | 40 1058 | 60 1040 | 80 1022 | 100 1003 | - | 63 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.7 | Олеум (20 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 0 1922 | 40 1870 | 60 1844 | 100 1792 | - | - | 61 | Полином Лагранжа |
1.8 | NaOH (10 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 0 1117 | 40 1100 | 80 1077 | 120 1049 | - | - | 73 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.9 | Аммиак жидкий | ti,°С r, кг/м3 | -20 665 | 0 639 | 20 610 | 40 580 | - | - | 14 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.10 | Двуокись серы | ti,°С r, кг/м3 | 0 1434 | 20 1383 | 40 1327 | 60 1264 | 80 1193 | 100 1111 | 26 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.11 | Бутиловый спирт | ti,°С r, кг/м3 | -20 838 | 0 824 | 20 810 | 40 795 | 60 781 | 100 751 | 42 | Полином Лагранжа |
1.12 | NaOH (20 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 0 1230 | 20 1219 | 60 1196 | 80 1183 | 120 1155 | - | 73 | Полином Лагранжа |
1.13 | NaOH (40 %-ный) | ti,°С r, кг/м3 | 0 1443 | 20 1430 | 40 1416 | 60 1403 | 80 1389 | 100 1375 | 15 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
Окончание прил. 3
Номер варианта | Вещество | Табличные зависимости | Заданная температура | Метод интерполирования | ||||||
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||
2.1 | Анилин | ti,°С r, кг/м3 | 0 1039 | 20 1022 | 40 1004 | 60 988 | - | - | 55 | Полином Лагранжа |
2.2 | Ацетон | ti,°С r, кг/м3 | -20 835 | 0 813 | 20 791 | 40 768 | - | - | 12 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.3 | Этиловый эфир | ti,°С r, кг/м3 | -20 758 | 0 736 | 20 714 | 40 689 | 60 667 | - | 34 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.4 | Бензол | ti,°С r, кг/м3 | 0 900 | 20 879 | 40 858 | 60 636 | 80 815 | - | 11 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.5 | Бутиловый спирт | ti,°С r, кг/м3 | -20 838 | 40 795 | 60 781 | 80 766 | - | - | 34 | Полином Лагранжа |
2.6 | Дихлорэтан | ti,°С r, кг/м3 | -20 1310 | 20 1254 | 40 1224 | 60 1194 | 80 1163 | 100 1133 | 45 | Полином Лагранжа |
2.7 | Вода | ti,°С r, кг/м3 | 0 1000 | 20 998 | 40 992 | 60 983 | 80 972 | - | 24 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.8 | Хлорбензол | ti,°С r, кг/м3 | -20 1150 | 0 1128 | 20 1107 | 40 1085 | 60 1065 | 80 1041 | 45 | 1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.9 | Хлороформ | ti,°С r, кг/м3 | 20 1489 | 40 1450 | 60 1411 | 80 1380 | 100 1326 | 120 1280 | 56 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.10 | Этилацетат | ti,°С r, кг/м3 | -20 974 | 0 924 | 20 901 | 40 876 | 80 825 | - | 24 | Полином Лагранжа |
2.11 | Октан | ti,°С r, кг/м3 | -20 734 | 20 702 | 80 669 | 120 617 | - | - | 56 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.12 | Муравьиная кислота | ti,°С r, кг/м3 | 20 1220 | 40 1195 | 60 1171 | 80 1147 | 100 1121 | - | 67 | 2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.13 | Нитробензол | ti,°С r, кг/м3 | 0 1223 | 40 1183 | 80 1143 | 100 1123 | 120 1103 | - | 35 | Полином Лагранжа |
Учебное издание
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
Методические указания для выполнения лабораторной работы по дисциплине “Численные методы”
Для студентов специальностей 220400 и 220700
Составители ТИХОМИРОВ Сергей Германович,
ХАУСТОВ Игорь Анатольевич,
ХВОСТОВ Анатолий Анатольевич
Компьютерный набор и верстка И.А. Хаустов
ЛР № 020449 от 31.10.97. Подписано в печать
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Ризография.
Усл. печ. л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет
инженерных технологий»
Участок оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «ВГУИТ»
Адрес академии и участка оперативной полиграфии:
394000 Воронеж, пр. Революции, 19
Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!