Тема 10. Контактні напруження.
Лекція 18.Стискання двох куль. Стискання двох циліндрів. Загальний випадок контакту двох тіл.
Контактні деформації і напруження виникають при взаємному натисканні двох стичних тіл на дуже малих площадках. Матеріал поблизу такої площадки зазнає об’ємного напруженого стану. Прикладом об’ємного напруженого стану може бути робота матеріалу в процесі передавання зусилля в шарикових і роликових підшипниках, зубчастих колесах, елементах кулачкових механізмів. Теорія розподілу контактних напружень (контактна задача) була розроблена методом теорії пружності Герцем (1885 р.). Визначення контактних напружень в інженерній практиці дуже важливо при розрахунку шарикових і циліндричних підшипників, а також при розрахунку кульових і циліндричних катків в опорних вузлах. Слід зауважити, що напруження в міру віддаляння від місця контакту швидко зменшується, а тому контактні напруження мають місцевий характер.
Нижче наведено залежності для напружень, переміщень і розмірів площинок стикання, які ґрунтуються на рівняннях плоскої задачі теорії пружності.
1. Стискання двох куль.При взаємному стисканні силами Р двох куль, радіуси яких R1 і R2 (рис.10.1), утворюється кругла площадка контакту, радіус якої позначаємо через а.
Із умов симетрії можна установити, що епюра стискуючого напруження по площадці контакту буде симетрична відносно осі Z і максимальна інтенсивність по осі Z буде σmax . Із умови рівноваги маємо
|
|
.
Звідки , тобто максимальне напруження на поверхні контакту дорівнює 1,5 σср, де – σср середнє напруження.
Методом теорії пружності знайдено радіус площадки контакту
, (1)
де Е1 і Е2 - модулі пружності матеріалів куль. Нормальні (стискальні) напруження на площадці контакту розподілені по півсфері.
Найбільше нормальне напруження розміщено в центрі площадки контакту і визначається за формулою
. (2)
Головні стискуючі напруження, що діють на грані вирізаного паралелепіпеда (рис.10.1.б), дорівнюють
; .
Визначимо напруження в центрі площадки контакту за четвертою теорією міцності:
.
Звідки , .
Встановлено, що найнебезпечніша точка лежить на осі Z приблизно на глибині, що дорівнює половині радіуса площадки контакту. Головні напруження в цій точці дорівнюють:
, .
Якщо в формулі (2) брати не суму, а різницю R1-R2, отримаємо значення для розрахункового випадку тиску кулі на угнуту сферичну поверхню (рис.10.2)
. (3)
У випадку, коли стискається куля і площина (рис.10.3), тобто R2=∞, R1=R, отримаємо для напруження такий вираз:
|
|
.
2. Стискання двох циліндрів.При взаємному стиску двох циліндрів з паралельними твірними рівномірно розподіленим навантаженням q, Н/м (рис.10.4), утворюються прямокутні площадки контакту шириною в. Параметр в визначається за формулою:
, (4)
де Е1, Е2 – модулі пружності матеріалів циліндрів. Найбільше стискуюче напруження, що виникає в точках осі площадки контакту, визначається за формулою
. (5)
Слід відзначити, що небезпечна точка матеріалу лежить на вертикальній осі Z на глибині . Головні напруження в цій точці будуть такі:
, , .
Наведені формули отримані при µ=0,3.
Розрахунки на міцність матеріалів при контактних напруженнях проводяться за третьою або четвертою теоріями міцності. Якщо підставити у вирази для теорій міцності значення головних напружень у небезпечній точці, виражені через в центрі площадки контакту, то умови міцності можна записати так:
,
звідки ,
де - допустиме значення найбільшого напруження в місці контакту.
Значення коефіцієнта m залежить від відношення півосей еліптичної площадки контакту і вибраної теорії міцності. Допустимі значення контактних напружень наведені в довідниках з міцності конструкцій. Наприклад, для шарикових і роликових підшипників із хромистої сталі беруть МПа.
|
|
3. Загальний випадок контакту двох тіл. Розглянемо тепер загальний випадок контакту двох тіл, верхнє з яких має головні радіуси кривизни в точці дотику першого тіла і , а нижнє – і (рис10.5). Обидва тіла в точці дотику мають загальну дотичну площину АВ і загальну нормаль Z. Уздовж нормалі Z спрямовані сили Р. Головними кривизнами криволінійної поверхні називають найбільшу і найменшу її кривизни, розташовані в двох взаємно перпендикулярних площинах. Тут , .
Радіуси кривизни є додатними, якщо центри кривизни розташовані усередині тіла. Позначимо через φ кут між головними площинами кривизни тіл, в яких лежать менші радіуси і .
У загальному випадку поверхня контакту в місці стикання двох тіл з одного матеріалу обмежена еліпсом з півосями
;
,
де μ - коефіцієнт Пуассона.
Тут коефіцієнти α і β є функції допоміжного кута ψ, що визначається за формулою
.
Знак чисельника у цьому виразі вибирають так, щоб cosψ був додатним.
|
|
Найбільше напруження стискання в центрі еліпса на поверхні стискання визначається за формулою:
.
Найбільш небезпечна точка знаходиться на осі Z на деякій глибині, яка залежить від відношення .
Але найбільше дотичне напруження в небезпечній точці дорівнює і не залежить від відношення . Звернемо увагу на те, що контактні напруження залежать від пружних сталих матеріалу.
Досліди показують, що формули для розмірів площинки стискання і зближення тіл, що стискаються, справедливі з достатньою точністю, поки навантаження, яке прикладене до цих тіл, не викликає у місці стискання залишкового деформування.
Значення коефіцієнтів α і β знаходимо в такій таблиці:
α | β | α | β | ||
20 | 3,778 | 0,408 | 60 | 1,486 | 0,717 |
30 | 2,731 | 0,493 | 65 | 1,378 | 0,759 |
35 | 2,397 | 0,530 | 70 | 1,284 | 0,802 |
40 | 2,136 | 0,567 | 75 | 1,202 | 0,846 |
45 | 1,926 | 0,604 | 80 | 1,128 | 0,893 |
50 | 1,754 | 0,641 | 85 | 1,061 | 0,944 |
55 | 1,611 | 0,678 | 90 | 1,000 | 1,000 |
Розв’язання задач по темі “Контактні напруження”.
Задача 10.1.Шарик підшипника зазнає найбільшої стискуючої сили Р=100 Н. Вважаючи, що шарик підшипника розміщено на вгнутій сфері радіуса R=100 мм, визначити розміри площі контакту, а також найбільше напруження в центрі площі контакту. Перевірити міцність шарикопідшипника за четвертою теорією міцності, якщо діаметр шарика d=20 мм, матеріал шарика і сферичної поверхні виготовлені із сталі 30ХГСА, для якої [σ]=1000 МПа, Е=2,1∙105 МПа.
Розв’язання.Стиск шарика, який розміщений на вгнутій сферичній поверхні, зображено на рис.10.2, де мм, мм.
Розміри контакту а=r (радіус круглої площадки) визначимо за формулою (1), якщо Е1=Е2=Е:
м= =0,193 мм.
Найбільше напруження на цій площадці знайдемо згідно виразу
МПа.
Головні напруження в найбільш небезпечній точці шарикопідшипника будуть такі:
; .
Підставивши значення головних напружень σ1, σ2, σ3 у вираз для четвертої теорії міцності
,
отримаємо:
,
або МПа, тобто МПа.
Оскільки МПа менше за допустиме МПа, то міцність шарикопідшипника забезпечена.
Задача 10.2. Упорний шариковий підшипник з плоскими кільцями без жолобків (рис.10.6) статично стиснутий силами Q=6,4 кН. Визначити розміри площадки контакту між шариком і кільцем та найбільше напруження на цій площадці; перевірити міцність. Діаметр шарика d=15 мм; кількість шариків і=20; коефіцієнт нерівномірності розподілу навантаження між окремими шариками підшипника – 0,8. Матеріал шариків і кілець – хромиста сталь; допустиме найбільше напруження в місці контакту [σконт]=3500 МПа; модуль пружності Е=2,12∙105 МПа.
Розв’язання.З урахуванням нерівномірності розподілу навантаження між окремими шариками визначимо силу, яка стискає шарик:
кН.
У місцях контакту кілець і шариків (рис.10.6) точки К виникає кругла площадка, радіус якої згідно виразу (1) дорівнює
см.
В даному випадку см; , Е1=Е2=Е.
Найбільше напруження на площадці контакту визначимо за формулою:
МПа.
Таким чином, .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1170; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!