Математическое описание случайных процессов. Плотности распределения вероятностей.
Случайный процесс - это обобщение случайной величины при рассмотрении ее с введением дополнительной координаты времени.
Классическим методом описания случайного процесса является ансамбль реализаций - совокупность случайных функций, наблюдаемых одновременно на выходах множества однотипных объектов. В каждый момент времени t0 можно получить совокупность значений для каждой случайной функции (это называется сечением процесса в момент t0), которая является случайной величиной.
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Из формулы P{Α ≤ X < Β}=F(Β)-F(Α)следует, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной функции равна ее производной. Это позволяет ввести новую функцию для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания случайной величины в интервал [x,x+Δx]: P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x).
|
|
|
Пусть Х - непрерывная случайная величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также достаточно малой. Поделим ее на Δx и перейдем к пределу при Δx →0:
limΔx →0(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx).
Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):
limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).
Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:
P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx
Рассмотрим свойства плотности распределения f(x).
1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.
2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство:
F(x)=-∞∫xf(t)dt.
Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,
|
|
|
-∞∫∞f(t)dt=F(t)-∞ιx=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)
3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна:
P{Α≤X<Β}=Α∫βf(t)dt.
Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β} .
4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:
-∞∫∞f(t)dt=1 .
Рвенство -∞∫∞f(t)dt=1 представляет условие нормировки вероятностей для непрерывных случайных величин. По смыслу данный интеграл есть не что иное, как F(∞)=1. Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения.
Для иллюстрации геометрического смысла перечисленных свойств приведем пример графика плотности распределения вероятностей. Для большей наглядности на рис. представлен также график соответствующей функции распределения вероятностей.
Дискретное преобразование Фурье.???
Одномерное преобразование Фурье определяется интегралом вида:
(1)
Двумерное преобразование Фурье определяется следующим интегралом:
|
|
|
(2)
Но, на практике, Фурье-преобразование необходимо выполнять численно, что можно сделать, например, вычисляя определенные интегралы в формулах для всевозможных значений частот каким-либо методом численного интегрирования. Пусть исходная функция определена на интервале 
. Следовательно, на этом же интервале будет производиться интегрирование в выражении (1). Будем вычислять значение Фурье-образа 
в 
равноотстоящих по частоте с шагом 
точках и воспользуемся для этого методом прямоугольников с шагом 
, причем:
; 
; 
. (3)
В результате из формулы непрерывного Фурье-преобразования (1) приходим к выражению:
(4)
которое называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). На основе формулы (4) построен наиболее удобный и быстрый способ численного Фурье-преобразования. Вообще говоря, ДПФ может рассматриваться, как это часто делается, безотносительно к непрерывному Фурье-преобразованию, а именно как преобразование одного массива чисел 
в другой 
, и обычно записывается в виде:
, 
. (5)
Множитель 
выбирается из соображений симметрии и не является принципиальным.
В ДПФ как исходная функция, так и результат преобразования, представляют собой выборки некоторых функций. Пользуясь свойствами Фурье-преобразования, можно заметить, что ДПФ есть выборка длиной чисел с шагом 
Фурье-образа выборки с шагом 
исходной функции на интервале . Как следует из теоремы Котельникова, ДПФ точно соответствует непрерывному Фурье-преобразованию, если преобразуемая функция есть функция с финитным спектром, т.е. если ее Фурье-образ отличен от нуля только в области 
, и если шаг выборки исходной функции удовлетворяет условию 
, т.е. 
.
|
|
|
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Дискретное преобразования Фурье.Как следует из формулы (19.7) ХT(jω) имеет периодическую структуру с ωд = 2π/Т. Причем, как и спектр аналогового сигнала X(jω) спектр дискретного сигнала ХT(jω) является сплошным (см. рис. 19.6, 6). Вместе с тем при цифровой обработке сигналов используется не только дискретизация во времени, но и дискретизация в частотной области.
Для сигнала x(t) ограниченного во времени интервалом Тс (рис. 19.12, а) справедлива обратная теорема Котельникова, которая может быть получена из (19.3) путем замены 
С учетом вышеизложенного дискретное преобразование Фурье (ДПФ) можно получить, если в преобразовании (19.8) сделать замену ω= nΔω. Тогда получим
которое определяет прямое ДПФ.
С помощью (19.13) можно определить отсчеты спектра X(jn) по временным отсчетам сигнала x(k).
Обратное ДПФ можно получить из (19.13) воспользовавшись дуальностью прямого и обратного преобразований Фурье:
При k < О обратное преобразование Фурье определит x(k), расположенную слева от 0 (рис. 19.12, в).
Для ДПФ по аналогии с непрерывными преобразованиями Фурье справедливы основные теоремы и свойства (см. § 9.2).
В частности, свойство линейности
т. е. сдвиг последовательности отсчетов сигнала на т интервалов приводит лишь к изменению фазового спектра дискретного сигнала.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 688; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!