Релятивистік динамика элементтері. Дәріс 1-бөлім 3 Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасы Қатты дененің айналмалы
Дәріс 1-бөлім 3 Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасы Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасын жылжымайтын осьі бар Обербек маятнигінде бақылауға болады (3.1-сур.). Оның төрт жағындағы жүк массаларын және және олардың айналу осьіне қатысты симметриялы орналасу нүктелерін және тәуелсіз өзгертуге болады. Бұл жүктерді өзгерткен кезде бұрыштық жылдамдық қалай өзгеретінін қарастырайық (қалған үшеуі өзгермейді). 1) Егер массаны арттырсақ күшінің әсерінен маятник жылдам айналады, яғни айналып жатқан дененің бұрыштық үдеуі оған әсер етуші күштің шамасына ( ) тәуелді болады.2) Жіптің ұзындығы артқан сайын маятник жылдам айналады. Демек, айналып жатқан дененің бұрыштық үдеуі оған әсер етуші күштің айналу осі бойынша орналасуына байланысты ( ). 3) Егер -ні арттырсақ маятник ақырын айналады, яғни оның бұрыштық үдеуі азаяды. Демек, айналып жатқан дененің бұрыштық үдеуі оның массасына тәуелді .4) Жүктер ( ) орналасқан қашықтықты -ды арттырсақ маятник баяу айналады.Яғни, айналып жатқан дененің бұрыштық үдеуі оның массасының айналу осі бойынша орналасуына ( ) тәуелді. 3.1-сурет. Обербек маятнигі Тәжірибе бойынша алынған нәтижеге жаңа екі физикалық шама енгізуімізге тура келеді; біріншісі бірдей уақытта күштің әсер етуін қарастырса, екіншісі айналып тұрған дене массасының бұрыштық жылдамдыққа әсерін сипаттайды. Бұл физикалық шамаларды күш моменті ( ) және инерция моменті ( ) деп аталады. 3.1 Күш моменті Дене айналу үшін оған түсірілетін күш оське байланысты момент тудыруы қажет. күшінің моменті деп қозғалмайтын О (3.2-сур.) нүктесіне қатысты векторды айтамыз. , (3.1) мұндағы - күштің түсірілу нүктесінің радиус-векторы. векторы О нүктесі арқылы өтеді. Ол сурет жазықтығына перпендикуляр және бізге қарай бағытталған. 3.2-сурет. Күш моменті Күш моментінің модулінің теңдеуі: (3.2) Мұндағы - күш иіні деп аталады (О нүктесінен күш сызығына жүргізілген перпендикуляр). Қозғалмайтын Zось айналасында дене айналған кезде айналу моментін оған әсер етуші бір ғана күштің құраушысы тудырады (3.3-суруе), дәлірек айтқанда - нүкте траекториясына жүргізілген жанама. Демек, күшінің моментіОкоорданатбасына байланысты мынаған тең: 3.3-сурет. Қозғалмайтын осі бойымен дененің айналуы (3.3) векторының бағыты суретте көрсетілген. Оның модулі мынаған тең: . (3.4) осі бойынша күш моменті (3.3-сур.) векторының осы оське түсірілген проекциясы. Ол осі бойынша бағытталған, нақты нүктесі жоқ, оның модулі мынаған тең: (3.5) мұндағы – айналу осінен күш сызығына дейінгі қашықтық. 3.2 Дененің инерция моменті Дененің инерция моменті - дененің айналу кезіндегі инерттілігін сипаттайтын шама. Ілгерілмелі қозғалыс динамикасында дененің инерттілігіноның массасы анықтайды. Дененің айналмалы қозғалыс динамикасындағы қасиеттері ілгерілмелі қозғалысқа қарағанда күрделі болады. Материялық нүктенің инерция моменті айналу осі бойынша нүкте массасының нүктеден осы оське дейінгі арақашықтығының квадратына көбейтіндісіне тең: . (3.6) Дененіңинерция моменті айналу осіне байланысты оныңбарлық материялық нүктелерінің инерция моменттерінің қосындысына тең: . (3.7) Айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерттілігіне дене пішіні мен геометриялық өлшемі, айналу осінен қандай қашықтықта орналасуы, массаның көлемдік орналасуы әсер етеді. 3.1 - кестеде кейбір дұрыс геометриялық пішінді денелердің инерция моменттері келтірілген. 3.1- кесте Дене Айналу осінің орналасуы Инерция моменті Қуыс жұқа қабырғалы радиусы R цилиндр Симметрия осі Радиусы тұтас цилиндр немесе дискі Симметрия осі Ұзындығы жіңішке стержень Ось стерженнің ортасы арқылы өтеді және оған перпендикуляр. Радиусы тұтас шар Симметрия осьі Егер айналу осі дененің масса центрі арқылы өтпейтін болса, оның инерция моменті Штейнертеоремасы арқылы анықталады. Штейнер теоремасы кез-келген оське қатысты дененің инерция моментін осы оське параллель және массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты дененің инерция моментін осы осьтер арақашықтығының квадратын дене массасына көбейтіп қосқанға тең. 3.4-сурет. Біртекті жіңішке стержень . (3.8) Мысалы, біртекті жіңішке ұзындығы массасы стерженнің инерция моменті (3.4-сур.) осьіне қатысты мынаған тең: Айналу осін массалар центрінен стержень ұшына көшірсек, оның инерция моменті 4 есе артады. Әдебиеттер: Нег. 1 [99-125], 2 [41-47], 3 [56-66]. Қос. 12 [31-34]. Бақылау сұрақтары: 1. Айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерция моментінің маңызы қандай және ол неге байланысты? 2. Қозғалмайтын нүктеге қатысты күш моменті дегеніміз не? Қозғалмайтын оське қатысты күш моменті дегеніміз не? Күш моментінің бағыты қалай анықталады? 3. Айналмалы және ілгерілмелі қозғалыс динамикасының негізгі теңдеулерін жаз. 4. Штейнер теоремасын қорытыңыз және жазыңыз. 2-дәріс 2-бөлім 4.1 Айналмалы қозғалыстағы дененің жұмысы және кинетикалық энергиясы Қатты денеге күші әсер етсін. Жоғарыда Zосьіне байланысты әсер етуші күштің дене қозғалыс траекториясына жанама құраушысы қана айналдырушы момент тудыратынын көрсеткен едік. Өте кіші уақыт ішінде дене шексіз кіші бұрышқа бұрылады. Күш түскен нүкте жолға ығысады (4.1-сур.).Күштің құраушысы доғаға жанама бойынша болып, оның жұмысымына өрнекпен анықталады. . (4.1) Айналмалы дененің кинетикалық энергиясы оның бөлшектерінің кинетикалық энергияларының қосындысына тең және ( ) өрнекті ескеріп, энергия үшін мына теңдеуді жазуға болады: 4.1-сурет.Айналушы дененің жұмыс анықтамасы (4.2) Дененің жазықтық бойынша қозғалысы кезінде, мысалға цилиндрдіңілгерілемелі кинетикалық энергиясы және айналмалы қозғалыс энергиясы қосылады: , (4.3) – айналушы дененің массасы; – дененің массалар центрінің жылдамдығы; –массалық центрі арқылы өтетін оське қатысты дененің инерция моменті, – айналу бұрыштық жылдамдығы. 4.2 Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі Айналмалы қозғалыста күштің әсерінен дененің бұрышына бұрылуы кезіндегі күш жұмысы (4.1) оның кинетикалық энергиясының (4.2) артуына әкеліп соғады: , немесе . немесе (4.4) Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі: айналушы дененің бұрыштық үдеуі денелерге түсірілген күш моменттерінің қосындысына тура пропорционал, ал дененің айналу осіне қатысты инерция моментіне кері пропорционал. Келтірілген (4.4) өрнектен көретініміз айналу осіне қатысты дененің инерция моменті тұрақты болса ( ), онда ( ) бұрыштық үдеуде тұрақты . Егер =0, онда - дене бірқалыпты айналады. 4.3 Импульс моменті және оның сақталу заңы Массасы қатты дененің кішкентай бөлшегін қарастырайық. Оның жылдамдығы және оған қатысты импульсі нүкте траекториясынажанама бойымен бағытталған. 4.2-сурет. Импульс моментін анықтау Қозғалмайтын О нүктесінеқатыстыимпульс моменті векторы материялық нүктенің радиус-векторы мен оның импульсінің векторлық көбейтіндісіне тең физикалық шама: . (4.5) Импульс моменті векторы векторлық көбейтінді ережесі арқылы анықталып, айналу осі бойында жатады, ал оның модулі мына өрнекпен анықталады: (4.6) Материялық нүктенің осіне қатысты импульс моменті векторы осы векторының айналу осіне түсірілген проекциясы арқылы анықталады. Ол айналу осінде жатыр және оның модулі мына теңдеу арқылы анықталады. (4.7) Қатты дененің осьіне қатысты импульс моменті векторы барлық нүктелерінің векторларының қосындысына тең. Барлық векторлар айналу осінде жатыр және бірдей бағытталған. Олардың модулі мынаған тең. (4.8) (4.8) теңдігін векторлық түрде былай жазуға болады: . (4.9) (4.9) уақыт бойынша дифференциалдап ( ) (4.4) мына өрнекті аламыз: . (4.10) Бұл қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі заңының бір түрі: ось бойыменқатты дененің айналу кезіндегіимпульс моменті уақыт бойынша туындысы сол денеге әсер ететін сыртқы күштердің моментіне( ) тең. Соңғы теңдікті былай жазуға болады. (4.11) Айналушы дененің импульс моментінің өзгерісі оған әсер етуші сыртқы күштердің әсерінен болады. Тұйық жүйеде сыртқы күштердің моменті нольге тең. және (4.12) Бұл теңдік импульс моментінің сақталу заңын құрайды: қозғалмайтын оське қатысты дененің импульс моменті тұйық жүйеде тұрақты болып, уақыт бойынша өзгермейді. Бұл тұжырым табиғаттың іргелі заңдарының бірі болып, кеңістіктің изотропты (барлық бағыттар тең құқықты) екендігінің салдары, яғни табиғатта оқшауланған бағыттың жоқ екендігін көрсетеді. Тұйық жүйенің бұрылуы оның механикалық қасиеттерін өзгерте алмайды. , онда тұйық жүйе үшін теңдік (4.13) Егер дененің инерция моменті өзгермейтін болса, онда дене тұрақты бұрыштық жылдамдықпен қозғалыс жасайды ( ), ( ). Егер шамасы өзгерсе, онда шамасы да өзгереді. Егер артса, онда азаяды. Импульс моментінің сақталу заңын Жуковскийдің тәжірибесінен көз жеткізуге болады (4.3-сурет). 4.3 Импульс моментінің сақталу заңын дәлелдеу Өз осі бойынша шеңбердің қозғалысын қарастырайық. Кір көтерген адам қолын екі жаққа керіп жылдамдықпен айналдырып отыр. Адамның инерция моменті тең. Адам жүкті айналу осьіне жақындатқанда инерция моменті азаяды. Бұл бұрыштық жылдамдықтың артуына әкеліп соғады, яғни (4.13) теңдігі бойынша , және . 4.1-кестеде дененің ілгерілемелі және айналмалы қозғалысының негізгі теңдеулері келтірілген. 4.1-кесте Ілгерілемелі қозғалыс Айналмалы қозғалыс Масса Инерция моменті Күш Күш моменті ; ; Импульс Импульс моменті ; Динамиканың негізгі теңдігі Динамиканың негізгі теңдіктері Жұмыс Жұмыс Кинетикалық энергия Кинетикалық энергия Арнайы салыстырмалы теорияның элементтері Классикалық механика заңдарын жарық жылдамдығына жақын жылдамдықпен қозғалатын денелер үшін қолдануға болмайды. Жылдамдығы жоғары денелердің қозғалысы арнайы салыстырмалылықтың теориямеханикасымен сипатталады. Арнайы салыстырмалылықтың теорияныңнегізін Эйнштейн тұжырымдаған екі постулат құрайды. 1. Табиғаттың барлық заңдары бір инерциалды санақ жүйесінен екінші инерциалдысанақ жүйесіне өтуіне қатысты өзгермейді (инвариант болады). 2. Жарықтың вакуумдағы жылдамдығы барлық инерциалды санақ жүйелерінде бірдей және жарық көзі мен қабылдағыштың қозғалу жылдамдығына тәуелсіз. Бұл постулаттардан төмендегі өте маңызды салдарлар келіп шығады: 1) Ұзындықтың қысқаруы , 2) Массаның артуы , 3) Уақыттың баяулауы , 4) Жылдамдықтарды қосу ережесі , 5) Дененің толық энергиясы , мұндағы индексінде «0» бар физикалық шамалардың мәндері тыныштық күйдегі санақ жүйесіне сәйкес келеді. Бұл постулаттар мен одан шыққан салдарлардың тәжірибеде дәлелдеу салыстырмалылық теориясына негізделген. Эйнштейн постулаттарынан уақыт мерзімінің салыстырмалы қасиетке ие екендігі көрінеді, яғни әр түрлі инерциал санақ жүйелерінде уақыттың өтуі әр түрлі болады (жылдам немесе баяу). Эйнштейн бір санақ жүйесінен екінші санақ жүйесіне өтудегі түрлендіруді зерттей отырып, оның постулаттарының Лоренц түрлендірулеріне толық сәйкес екендігін дәлелдеді. Лоренц түрлендірулері мына түрде анықталған: , , , . (4.14) Лоренц түрлендірулері аз жылдамдықтар кезінде Галилей түрлендірулеріне өтеді. Шындығында да егер болса (4.14) мына өрнекке айналады. , , , . (4.15) Сондықтан кезіндегі Галилей түрлендірулері Лоренц түрлендірулерініңшекті жағдайы болып табылады. Лоренц түрлендірулері К¢ және К жүйелеріндегі координаттармен уақыттың тәуелділігін өрнектейді. Бұл түрлендірулерді К жүйесіндегі координаттармен уақытты штрихталған санақ жүйесіндегі координат мен уақыт арқылы жазуға болады. , , , . (4.16)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Релятивистік динамика элементтері
Эйнштейннің бірінші постулаты салыстырмалылықтың механикалық принципінің жалпылама түрі болады. Оны механика заңдарына қолданайық. Импульстің жылдамдыққа тәуелділігі классикалық механикаға қарағанда біршама күрделі екендігі көрінеді.
. (4.17)
Кинетикалық энергияның шамасы қозғалыстағы дене мен тыныштықтағы дене энергияларының айырымы ретінде анықталады.
. (4.18)
Тек 
жағдайда, түбірді қатарға жіктеп, алғашқы екі мүшесін есепке алсақ
Және жоғарғы дәрежелі қатар мүшелерін есепке алмасақ:
Классикалық механика өрнегіне өтеміз.
Әдебиеттер:
Нег. 1 [125-130], 2 [52-55], 3 [66-74].
Қос. 12 [34-36].
Бақылау сұрақтары :
1. Қатты дененің, материялық нүктенің импульс моменті дегеніміз не? Олардың бағыттары қалай анықталады?
2. Импульс моментінің сақталу заңын жазыңыз.Ол қандай жүйеде орындалады. Мысал келтір.
3. Дененің ішкі күші дененің импульс моментін өзгерте алама? Ішкі күштер жүйенің механикалық қозғалысын өзгерте алама?
4. Эйнштейннің арнайы салыстырмалылық теориясының постулаттарын жазыңыз.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 2020; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!