Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца
Завдання знаходження критерію стійкості для систем, динаміка яких описуються диференційними рівняннями будь-якого порядку, було сформульоване Максвелом в 1868 році. Вперше його вирішив Раус в 1873 р. для рівнянь четвертої і п’ятої степені, а в 1877 р. повністю. Критерій був незручний в користуванні. У 1895 р. математиком А.Гурвіцем за проханням словацького професора Стодоли, який займався процесами регулювання турбін, був сформульований критерій у більш зручній формі, в якій він використовується і в даний час. Цей критерій часто називають критерієм Рауса-Гурвіца.
Критерій Гурвіца (Рауса-Гурвіца) формулюється наступним чином. Система є стійкою, якщо при а0 > 0 всі n визначників Гурвіца більше нуля.
Визначники Гурвіца одержують з квадратної матриці Гурвіца. Матрицю Гурвіца будують таким чином.
1. Характеристичний поліном системи записують у вигляді
. (7.1)
У разі, якщо а0 < 0, потрібно помножити всі члени полінома на -1 так, щоб коефіцієнт а0 був додатнім а0 > 0
2. Записують по діагоналі квадратної матриці розміром n*n, (де n – степінь полінома), коефіцієнти, починаючи з а1 до an
3. Доповнюють клітку матриці коефіцієнтами із зростаючими індексом вверх і зі спадаючим індексом вниз. Матриця Гурвіца показана нижче:
(7.2)
4. Вільні місця матриці заповнюють нулями. Заповнена матриця показана нижче.
|
|
5. Визначники Гурвіца складають з матриці як квадратні діагональні матриці послідовно, як показано нижче:
(7.3)
(7.4)
(7.5)
.............................
Останній визначник включає всю матрицю.
6. Обраховують значення усіх n визначників Гурвіца.
7. Якщо всі визначники мають додатні значення, то система стійка. Якщо хоча б один з визначників має від’ємне значення, то система не стійка, коли хоча б один з визначників дорівнює нулю, а решта додатні, то система знаходиться на межі стійкості.
Критерій Гурвіца дозволяє визначити стійкість системи ,яка описується диференційним рівнянням будь-якого порядку. Проте цей критерій використовують, як правило, тільки для систем, рівняння яких має не вище ніж п’ятий порядок. Причина в тому, що для обрахунку матриць більш високих порядків потрібні значні зусилля та затрати часу.
Критерій стійкості Михайлова
Цей критерій був запропонований в 1938 р. Він дозволяє визначити стійкість системи за годографом Михайлова. Він зручний для дослідження стійкості складних систем, порядок диференційного рівняння яких більше ніж 5. Формулюється критерій таким чином.
|
|
Для стійкості системи потрібно, щоб годограф Михайлова, починаючись при ω = 0 на додатній частині дійсної осі, при зростанні ω проходив послідовно через n квадрантів комплексної площини де n – порядок полінома. Квадрантами називають області комплексної площини, що знаходяться обмежені півосями.
Годограф Михайлова будують як годограф характеристичного комплексу. Характеристичний комплекс одержують заміною оператора р в характеристичному поліномі на уявну величину j ω ( :
(7.6)
Після вказаної заміни можна виділити дійсну і уявну частини:
. (7.7)
Обраховують значення А(ω) та В(ω) при збільшенні ω від нуля ω = 0 до достатньо великої величини , і будують годограф в комплексній площині, відкладаючи послідовно обраховані значення. На рис. 7.1 наведено приклади годографа Михайлова для стійких і нестійких систем.
Рис. 7.1 – Приклади годографа Михайлова: а - для стійких систем, б - для нестійких систем
Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа через початок координат комплексної площини.
Запас стійкості системи можна визначити за величиною віддалі від точки перетину дійсної осі до початку координат. Варіантом цього критерію є визначення точок перетину годографом осей комплексної площини. Якщо годограф перетинає перемінно то дійсну, то комплексну площини, то система стійка, якщо в деякому діапазоні частот годограф двічі перетинає комплексну чи дійсну вісь, то система нестійка. У вірності такого правила можна переконатись, розглядаючи діаграми на рис. 7.1 б). Дане формулювання зручне тим, що просте за результатами розрахунку - не будуючи графіка, можна визначити стійкість системи.
|
|
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 654; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!